Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f04/calc1exam1.ps Дата изменения: Tue Dec 14 19:09:35 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:34:44 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Задачи письменного экзамена (28 ноября 2004 года)
1. Убывающая последовательность положительных чисел a 0 > a 1 > a 2 > : : : тако-
ва, что ряд
P
a i сходится. Покажите, что a n = o(1=n) (для всякого " > 0 для всех
достаточно больших n выполняется неравенство a n < "=n).
2. Нарисовать на плоскости точки (x; y), для которых
lim
n!1
n
p
x 2n + y 2n = 1:
3. Пусть X и Y | компактные метрические пространства. Рассмотрим их произ-
ведение X Y и пространство C(X Y ) непрерывных функций на этом произведении
с метрикой равномерной сходимости.
Функцию f 2 C(X  Y ) будем называть разложимой, если существуют функции
g 2 C(X) и h 2 C(Y ), для которых
f(x; y) = g(x)h(y)
при любых x 2 X и y 2 Y .
(а) Будет ли множество разложимых функций замкнуто в C(X  Y )?
(б) Найти замыкание в C(X;Y ) множества R k , состоящего из всех функций, пред-
ставимых в виде суммы не более чем k разложимых.
(в) Найти замыкание в C(X;Y ) объединения всех множеств R k .
4. Существует ли
(а) строго возрастающее отображение Q в R n Q?
(б) отображение Q на R n Q (слово ЂнаЃ означает, что отображение сюръективно,
то есть множество значений совпадает с R n Q).
(в) неубывающее отображение R n Q на Q?
5. Пусть M(h) | центр окружности, проведённой через три точки на графике y =
cos x, имеющие абсциссы ", 0 и ". Найти предельное положение точки M(") при " ! 0.
6. Число T называется периодом функции f : R! R, если f(x + T ) = f(x) при всех
x 2 R.
(а) Найдите множество периодов функции x 7! sin x + cos 2x.
(б) Каким может быть множество периодов для непрерывной функции?
7. Покажите, что если f : R ! R, причём jf(x) f(y)j 6 jy xj 3=2 , то функция f
постоянна.
8. (а) Известно, что для непрерывно дифференцируемой функции f : R! R предел
lim
x!1

f(x) + f 0 (x)

существует и равен A. Следует ли отсюда, что
lim
x!1
f(x) = A?
(б) Тот же вопрос, если известно, что
lim
x!1

f(x) f 0 (x)

= A: