Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/grass3.ps Дата изменения: Thu Oct 16 16:16:59 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:47:53 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Семинар 3.
Часто интересные семейства подпространств возникают при рас-
смотрении пересечения грассманиана G (N; r) с линейными подпро-
странствами L (как общего положения, так и специального). В слу-
чае грассманиана прямых для того, чтобы прямые из полученного
семейства попарно не пересекались, надо, чтобы на G (N; 1) \ L не
было прямых.
Для каждого проективного многообразия X n  P M можно рас-
смотреть подмногообразие на грассманиане (X)  G (M; 1), со-
стоящее из прямых, лежащих на X.
Задача 1. 1) Найти явно (X), когда X является гладкой дву-
мерной, трехмерной и четырехмерной квадрикой.
2) Найти dim((G (N; r))).
3) Пусть XL = X \ L общее гиперплоское сечение X  P M .
Доказать, что dim((XL )) = dim((X)) 2.
4) Найти, сколько раз надо посечь общими гиперплоскостями
грассманиан G (N; 1), чтобы получить семейство попарно непересе-
кающихся прямых. Заметим, что это семейство будет также являть-
ся и scroll'ом.
В частности, для G (2n + 1; 1) мы получаем n-мерное семейство
 n  G (2n + 1; 1).
Упражнение 2. Доказать, что поверхность S  G (5; 1), полу-
чаемая таким образом, является K3-поверхностью.
Общий вопрос об описании scroll'ов в G (N; 1) является откры-
тым.
Задача 3. Найти 4 scroll'а в G (5; 1).
При n  3 в G (2n + 1; 1) известны лишь два примера scroll'ов:
построенное выше  и семейство, соответствующее P n P 1  P 2n+1 .
Задача 4. Описать все scroll'ы и quasiscroll'ы, лежащие на общем
линейном сечении G (4; 1) \ P 5 , то есть на рассматриваемой нами
ранее поверхности дель Пеццо.
Упражнение 5. Найти такое специальное сечение G (4; 1) \ P 5 ,
которое состоит из v 2 (P 2 ) и P 2 . Найти на нем все scroll'ы и quasis-
croll'ы.
Вот еще один пример quasiscroll'а в P 4 :
Упражнение 6. Рассмотрим плоскую рациональную кривую C 
 = P 2  P 4 степени d, обладающую ровно одной особой точкой
| каспом кратности d 2. Выберем прямую l = P 1  P 4 , не пе-
ресекающуюся с  и морфизм нормализации ' : l ! C. Тогда
1

2
в G (4; 1) возникает семейство  d , соответствующее прямым вида
< x; '(x) >, где x 2 l.
1) Доказать, что  d является quasiscroll'ом степени d + 1, и что
 d  P 4 .
2) Найти явно  d для всех d.
Задача 7  . Понять, почему все quasiscroll'ы на грассманиане
G (4; 1) являются вырожденными, то есть лежат в линейных под-
пространствах малой размерности (в наших примерах размерность
не превосходит 5).
Теперь мы взглянем на вложения многообразий в грассманиа-
ны с точки зрения векторных расслоений. Пусть E r ! X вектор-
ное расслоение ранга r над проективным многообразием X. Для
каждой точки x 2 X можно рассмотреть подпространство V x в
пространстве всех сечений H 0 (X; E), состоящее из тех сечений,
которые обращаются в нуль над x. Пусть N + 1 = dim(H 0 (X; E)).
Если N > r, то codim H 0 (X;E) V x  r, и для общей точки x 2 X нера-
венство превращается в равенство. В этой ситуации мы получаем
рациональное отображение 'E : X 9 9 KG (N; N r).
Упражнение 8. 1) Показать, что при достаточно большом n,
описанное выше отображение ' корректно определено для рассло-
ения E(n) =
E
O(n) и является регулярным вложением с линейно
нормальным образом.
2) Пусть U  | расслоение над грассманианом, двойственное тав-
тологическому. Тогда прообраз ' 
E(n) (U  ) совпадет с исходным рас-
слоением E(n) на X.
В частности, расслоениям над проективными пространствами
P n мы сопоставили многообразия Веронезе vm (P n ), лежащие на
грассманианах.
Задача 9  . Найти все вложения кривых Веронезе vm (P 1 )  G (N; r)
при произвольных r и m = 3; 4. В частности, показать, что при
больших r >> m задача сводится к рассмотрению кривых Вероне-
зе при r, близких к m.
Важным свойством расслоения E является возможность разло-
жения его в сумму линейных, то есть представления в виде E  =
L 1  : : :  L r . Заметим, что это свойство не меняется при его под-
крутке на линейное расслоение, и таким образом мы можем рас-
сматривать лишь те расслоения, которые задают вложения в грас-
сманиан.
Таким образом, мы свели вопрос о разложимости произвольно-
го векторного расслоения к аналогичному вопросу об ограничении
тавтологического расслоения над грассманианом на соответству-
ющие подмногообразия.

3
Задача 10. 1) Доказать, что над P 1 все двумерные расслоения
разложимы, используя вложения кривых Веронезе vm (P 1 ) в грас-
сманианы G (N; N 2)  = G (N; 1). Начать со случаев m  4. (Ука-
зание. Для разложимости 2-расслоения достаточно наличия двух
всюду различных сечений у соответствующего расслоения на про-
ективные прямые).
2  ) Доказать таким способом, что над P 1 все расслоения разло-
жимы.
Пример. Рассмотрим непересекающиеся подпространства P m 1 ; P m 2 
P N и вложение P m 1  P m 2 ! G (N; 1), сопоставляющее паре точек
x 2 P m 1 ; y 2 P m 2 прямую < x; y >. Тогда расслоение, индуцирован-
ное на P m 1 P m 2 тавтологическим раслоением, раложимо.
Задача 11. Доказать, что при n  2 касательное расслоение над
P n неразложимо.
Гипотеза (Хартсхорн). Для любых m; r существует такое чи-
сло  r (m), что для любого n   r (m) и для любого N вложение
vm (P n )  G (N; r) соответствует разложимому r-расслоению над
P n .
Мало изучен интересный вопрос об ограниченности функции
 r (m) по m.
Каждому расслоению E r ! P n можно (неоднозначно) сопоста-
вить класс Эйлера | гладкое подмногообразие X коразмерности
r в P n , являющееся множеством нулей общего сечения E.
Теорема (Серр). При r = 2 гладкое подмногообразие X n r 
P n является классом Эйлера некоторого раслоения тогда и толь-
ко тогда, когда KX 2 Z
H, где KX каноничекий класс, а H |
гиперплоское сечение.
Напоследок заметим, что разложимость расслоения E ! P n рав-
носильна тому, что его класс Эйлера является полным пересечени-
ем, и приведём еще одну знаменитую гипотезу Хартсхорна.
Гипотеза Пусть X n  P N | проективное многообразие, удо-
влетворяющее условию n  2N
3
. Тогда X | полное пересечение.
Что эта гипотеза говорит о разложимости векторных расслое-
ний?