Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/ag1.ps Дата изменения: Wed Oct 8 12:49:34 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:12:44 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 63

Задачи по курсу алгебраической геометрии от A L G Задание 1
Алгебро-геометрический словарик
1 ф . Вычислите: а)
(Z=2Z)
Z
(Z=3Z) б)
(Z=3Z)
Z
(Z=3Z) в)
(Z=4Z)
Z
(Z=8Z)
г)
k[x]
k
k[y] д) k[x;
y]
k[x]
k[x; z] е)
(A=I)
A
I, где I  A является идеалом кольца A.
2. Опишите многообразие V (J)  A 3 и идеал I(V (J))  C [x; y; z] для идеалов
а) J = (xy; (x y)z) б) J = (xy + yz + zx; x 2 + y 2 + z 2 )
3. Для пары идеалов I; J 2 k[x 1 ; : : : ; x n ] положим K = fab j a 2 I; b 2 Jg и обозначим через IJ
идеал, порождённый K. Верно ли, что: а) K = IJ и так идеал, б) K = I \ J ,
в) V (IJ) = V (I \ J ), г) I \ J идеал, д)
p
IJ =
p
I \ J , е)
p
IJ =
p
I
p
J?
4. Докажите, что полином f делит нуль в k[x 1 ; : : : ; x n ]=(g 1 ; g 2 ; : : : ; g m ), если и только если V (f)
содержит неприводимую компоненту многообразия V (g 1 ; g 2 ; : : : ; g m ).
5. Верно ли, что множество нильпотентов произвольного коммутативного кольца совпадает с
пересечением всех простых идеалов?
6 (топология Зарисского). Покажите, что множества нулей V (I) всевозможных идеалов I 
k[X] составляют систему замкнутых множеств некоторой квазикомпактной 1 топологии на
аффинном алгебраическом многообразии X.
7. Всегда ли а) главное б) произвольное открытое подмножество аффинного алгебраиче-
ского многообразия является аффинным алгебраическим многообразием?
8. Докажите, что две функции f; g 2 k[X] на неприводимом аффинном многообразии X со-
впадают 2 тогда и только тогда, когда они принимают одинаковые значения во всех точках
некоторого непустого открытого подмножества U  X.
9. Верно ли, что проекция любой гиперповерхности V (f)  A n из любой точки p 62 V (f) на
любую гиперплоскость H 63 p доминантна?
10. Верно ли, что любой доминантный морфизм неприводимых алгебраических многообразий
X
' - Y раскладывается в композицию замкнутого вложения в тривиальное аффинное рас-
слоение: X 
- Y  A m и проекции: Y  A m  -- Y .
11. Опишите все направления, вдоль которых параллельная проекция гиперболы V (xy 1)  A 2
на первую координатную ось A 1  A 2 является конечным морфизмом.
12 (конечность слоёв конечного морфизма). Верно ли, что:
а) SpecmA конечен () k-алгебра A конечномерна как векторное пространство над k;
б) все слои конечного морфизма аффинных многообразий конечны;
в) любой морфизм аффинных многообразий с конечными слоями конечен?
13 (лемма Нётер о нормализации). Постройте конечный сюрьективный морфизм произволь-
ной гиперповерхности V (f)  A n на некоторую гиперплоскость A n 1  A n .
14. Пусть X аффинно, а k[X] факториально 3 . Верно ли, что всякое подмногообразие коразмер-
ности 1 в X является гиперповерхностью 4 ?
15. Объясните, как по уравнениям алгебраических многообразий X  A n , Y  A m написать
уравнения, задающие X  Y как аффинное алгебраическое многообразие в A n+m и докажите,
что X Y неприводимо, если X и Y неприводимы.
1 т. е. такой, что всякое открытое покрытие X содержит конечное подпокрытие
2 как элементы кольца k[X]
3 утешительный вариант: пусть X = A n
4 т. е. имеет вид V (f) для некоторого f 2 k[X]