Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/cal1exam2.ps Дата изменения: Tue Mar 2 12:31:17 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:09:09 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: южная атлантическая аномалия

Экзамен по математическому анализу.
I семестр (пересдача).
1. Теорема Вейерштрасса о достижении максимума и минимума.
2. Фундаментальные последовательности и их примеры в конечномер-
ном пространстве и в пространстве C[0; 1]:
3. Доказать иррациональность числа
p
2
p
3 +
p
5.
4. Найти все предельные точки множества

1
n + 1
m 2
; n; m 2 N

.
5. Исследовать ряд на сходимость (условную и абсолютную) a k = ( 1) k 1
k ln k .
6. Вычислить lim
x!1
x 3 sin 1
x


sin 1
x+1


1
x 2 +1


.
7. Вычислить f (20) (x), где f(x) = cos 2x sin 2 3x
8. Существует ли функция f : [0; 1] ! R, не равная тождественной
константе и такая, что jf(x) f(y)j  jx yj 1;1 для любых x; y ?
9. Вычислить первообразную функции cos(
p
x).
10. При каких значениях параметра a отображение F : C[0; 1] !
C[0; 1]; [F y](x) = a
x
R
0
y 2 (t) + t 2


dt переводит единичный шар простран-
ства C[0; 1] в себя (т.е. из kyk  1 следует, что kFyk  1)? При каких
значениях a оно является сжимающим на единичном шаре ?
11. Равномерная непрерывность функции непрерывной на отрезке и
полнота пространства C[0; 1]:
1