Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/RS4.ps Дата изменения: Fri Oct 10 19:19:30 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:14:34 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 106

Высший Колледж Математики
Римановы поверхности и -функции
Якобиан и теорема Абеля.
Упражнение 4.1. Докажите, что на кривой рода g > 0 две различные точки не могут
представлять линейно эквивалентные дивизоры.
Комплексная кривая рода g > 1 называется гиперэллиптической, если на ней есть
мероморфная функция степени два; кривая называется тригональной, если на ней есть
мероморфная функция степени три.
Упражнение 4.2. Найдите неопределенный интеграл
Z dx
p
x 2 + ax + b
:
Более общим образом, найдите неопределенный интеграл
Z
R(x; y)dx;
где y 2 = x 2 + ax + b, а R | произвольная рациональная функция.
Упражнение 4.3. Пусть ;  | два линейно независимых цикла на эллиптической кри-
вой, ! | ненулевая голоморфная 1-форма на ней. Докажите, что периоды
a =
Z

! и b =
Z

!
линейно независимы над полем вещественных чисел.
Упражнение 4.4. Докажите, что если классы гомологий кривых ;  с обшим началом
и концом порождают группу гомологий тора над целыми числами, то можно выбрать
таких представителей этих классов, которые не имеют самопересечений и пересека-
ются трансверсально в одной точке.
Упражнение 4.5. Периоды na + mb эллиптической кривой образуют решетку на ком-
плексной прямой. Докажите, что фактор по этой решетке изоморфен исходной элли-
птической кривой.
Упражнение 4.6. Пусть C | плоская эллиптическая кривая, p | точка этой кривой,
q 1 ; q 2 ; q 3 | точки пересечения кривой C с некоторой прямой L. Докажите, что
Z q 1
p
! +
Z q 2
p
! +
Z q 3
p
!
не зависит от выбора прямой L.
Упражнение 4.7. Более общим образом, пусть D = (f) | главный дивизор на элли-
птической кривой и   C | решетка ее периодов. Занумеруем нули p i и полюса q j
произвольным образом. Тогда
X
i
Z q i
p i
!  0 mod :

Более общим образом, рассмотрим g-мерное векторное
пространство
C) голо-
морфных 1-форм на кривой C рода g  1. С каждой замкнутой кривой на C можно
связать линейный функционал
! 7!
Z

!
на этом пространстве. Все такие функционалы образуют решетку в двойственном
пространстве
_ (C). Комплексный тор, являющийся фактором по этой решетке, на-
зывается якобианом кривой C и обозначается через J(C).
Упражнение 4.8. Докажите, что функционалы периодов действительно образуют 2g-
мерную решетку, т.е. среди них есть 2g линейно-независимых.
Упражнение 4.9. Докажите, что не всякая 4-мерная решетка в C 2 реализуется как
решетка периодов некоторой кривой рода 2. Каким условиям должна удовлетворять
4-мерная решетка, образованная функционалами периодов?
Сопоставим главному дивизору (f) мероморфной функции на кривой линейный
функционал  f : ! 7!
P R q i
p i
! на пространстве голоморфных 1-форм; здесь мы вы-
брали произвольную нумерацию нулей p i и полюсов q i функции f .
Упражнение 4.10. Докажите, что выписанный функционал корректно определен как
точка якобиана, т.е. он не зависит от выбора путей, соединяющих p i с q i , а также от
выбора нумерации нулей и полюсов.
Упражнение 4.11. Докажите, что построенный линейный функционал совпадает с ну-
лем как точка якобиана.
Распространим определение функционала  f на произвольные дивизоры нулевой
степени (функционал, отвечающий дивизору D, будем обозначать через D ).
Упражнение 4.12. Докажите, что функционал D корректно определен.
Упражнение 4.13 (теорема Абеля). Докажите, что функционал D совпадает с нулем
как точка якобиана в том и только в том случае, если дивизор D главный.
Упражнение 4.14. Докажите, что отображение D 7! D задает изоморфизм фактор-
группы группы дивизоров нулевой степени по подгруппе главных дивизоров на яко-
биан.
Упражнение 4.15. Зафиксируем на кривой C точку p 2 C и определим отображение
 : C ! J(C) кривой в ее якобиан формулой
 : q 7!
Z q
p
:
Будем говорить, что кривая C симметрична, если u(c) = u(C) (обратите внимание
на то, что знак " " в якобиане корректно определен). Докажите, что кривая симме-
трична тогда и только тогда, когда она гиперэллиптическая.
Упражнение 4.16. Докажите, что отображение  кривой рода 2 в ее якобиан является
изоморфизмом на образ.