Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f02/top2p2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:45:47 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: photosphere

Листок 2. Общее положение. n-связные пространства (17 сентября)
Про точки x 1 , : : : , x k в пространстве R n говорят, что они находятся в общем положении, если
любые m + 1 из этих точек не лежат в одном (m 1)-мерном аффинном подпространстве при
m 6 n.
11. Докажите, что для любого k в пространстве R n можно выбрать k точек общего положения.
12. Выберем попарно различные числа t 1 ; : : : ; t k и рассмотрим в R n точки (t i ; t 2
i
; t 3
i
; : : : ; t n
i
), где
i = 1; : : : ; k. Докажите, что эти точки являются точками общего положения.
13. Вершины двух симплексов, p-мерного и q-мерного, являются точками общего положения
в n-мерном пространстве. Каково должно быть n (при данных p и q), чтобы симплексы обяза-
тельно не пересекались?
14. Точка A и вершины двух симплексов, p-мерного и q-мерного, являются точками общего
положения в n-мерном пространстве. Каково должно быть n (при данных p и q), чтобы любая
прямая, проходящая через точку A, не пересекала одновременно оба симплекса?
* * *
15. Докажите, что n-связный CW -комплекс гомотопически эквивалентен CW -комплексу, у ко-
торого есть ровно одна вершина и нет k-мерных клеток, где 1 6 k 6 n.
16. Докажите, что CW -комплекс X с одной вершиной, не имеющий k-мерных клеток, где 1 6
k 6 n, n-связен.
17. Пусть X | n-связный CW -комплекс, Y | m-связный CW -комплекс (оба комплекса конеч-
номерные). Докажите, что:
а) X | (n + 1)-связный комплекс;
б) X ^ Y | (n + m+ 1)-связный комплекс;
в) X  Y | (n +m+ 2)-связный комплекс.
18. Пусть X и Y | связные CW -комплексы. Докажите, что X  Y  (X ^ Y ).
Для топологического пространства X можно определить его n-ю симметрическую сте-
пень SP n (X) следующим образом. На пространстве X n = X 


 X действует группа S n :
(x 1 ; : : : ; x n ) = (x (1) ; : : : ; x (n) ). Фактор пространства X n по этому действию | это и есть
SP n (X).
19. Докажите, что SP n (C P 1 )  C P n .
20. Докажите, что SP n (RP 2 )  RP 2n .