Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f02/top2p8.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:46:30 2007 Кодировка: koi8-r

Рис. 1. Коэффициент зацепления
Листок 8. Степень отображения. Индекс пересечения (30 октября)
73. Пусть M 2 | сфера с g ручками, где g > 1. Докажите, что степень любого гладкого ото-
бражения f : S 2 !M 2 равна нулю.
74. Докажите, что deg(fg) = (deg f)(deg g).
75. Пусть P (z) | многочлен степени n. Докажите, что отображение C ! C , заданное форму-
лой z 7! P (z), продолжается до гладкого отображения C P 1 ! C P 1 . Вычислите степень этого
отображения.
76. Пусть R(z) | несократимое отношение двух многочленов, степени которых равны m и n.
Докажите, что отображение, заданное формулой z 7! R(z), продолжается до гладкого отобра-
жения C P 1 ! CP 1 . Вычислите степень этого отображения.
77. Сопоставим отображению f : S n ! S n отображение f : S n ! S n , отображая S n  ftg
в S n  ftg посредством f для всех t. Докажите, что deg f = deg f .
78. Пусть S 2n 1 | единичная сфера в пространстве C n с координатами (r 1 e i' 1 ; : : : ; r n e i'n ).
Вычислите степень отображения f : S 2n 1 ! S 2n 1 , заданного формулой
(r 1 e i' 1 ; : : : ; r n e i'n ) 7! (r 1 e ik 1 ' 1 ; : : : ; r n e ikn 'n );
где k 1 , : : : , k n | целые числа.
79. Вычислите индекс пересечения по модулю 2 RP n и RP m в RP n+m .
80. Вычислите целочисленный индекс пересечения C P n и CP m в C P n+m .
81. Пусть (M p ; N q ) | целочисленный индекс пересечения двух ориентированных подмного-
образий в ориентированном (p + q)-мерном многообразии. Докажите, что
(M p ; N q ) = ( 1) pq (N q ; M p ).
82. Докажите, что следующие определения коэффициента зацепления lk двух ориентирован-
ных замкнутых непересекающихся кривых c 1 и c 2 в R 3 (или в S 3 ) эквивалентны с точностью до
знака.
а) Рассмотрим проекцию данных кривых на плоскость в общем положении и будем учитывать
только те перекрёстки, на которых кривая c 1 проходит под кривой c 2 . Каждому перекрёстку
соответствует число " i = 1 (рис. 1). Коэффициент зацепления lk(c 1 ; c 2 ) | это сумма всех чисел
" i .
б) Натянем на кривую c 1 ориентированную поверхность C 1 (это означает, что краем ори-
ентированной поверхности C 1 служит ориентированная кривая c 1 ). Коэффициент зацепления
lk(c 1 ; c 2 ) | это индекс пересечения поверхности C 1 и кривой c 2 в R 3 .
в) Рассмотрим диск D 4 , краем которого служит данная сфера S 3 . Натянем в D 4 на кривые
c 1 и c 2 (ориентированные) поверхности C 1 и C 2 . Коэффициент зацепления lk(c 1 ; c 2 ) | это индекс
пересечения поверхностей C 1 и C 2 в D 4 .
г) Рассмотрим отображение T 2 = c 1  c 2 ! S 2 , которое сопоставляет паре (x; y), где x 2 c 1
и y 2 c 2 , точку !
xy
j !
xyj
2 S 2 . Коэффициент зацепления lk(c 1 ; c 2 ) | это степень этого отображения.