Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f02/ratsing1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:16:17 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п

Задачи по курсу \Рациональные особенности", листок 1.
Срок сдачи 16 сентября 2002 (письменно; на лекции или в учебную
часть).
1. а) Покажите, что многообразие Y нормально ,   (O e
Y ) = O Y ; где
 : e
Y ! Y | разрешение особенностей.
б) Покажите, что многообразие Y имеет рациональные особенности
,R  (O e
Y ) = O Y ; где  : e
Y ! Y | разрешение особенностей, а равен-
ство означает изоморфизм в производной категории.
в) Приведите пример двух комплексов, гомологии которых изоморф-
ны, но сами комплексы не изоморфны в производной категории. Каково
минимальное число элементов кольца, из модулей над которым можно
составить такой пример?
2. а) Выведите важный частный случай теоремы Буто из критерия Ко-
вача.
б) Покажите, что особенность |[x; y; z]=(x 2 +y 3 + z 7 ) не рациональна.
3. Показать, что f : X ! Y тогда и только тогда является морфизмом
конечного типа, когда для любого аффинного открытого U  Y су-
ществует конечное покрытие f 1 (U) спектрами конечно порождённых
(U;O Y )-алгебр, и тогда для любого аффинного открытого V  f 1 (U)
(V;OX ) | КП (U;O Y )-алгебра.
4. а) Покажите, что морфизм аффинных схем отделим.
б) Пусть S | некоторая схема, X приведённая и Y | отделимая
схемы над S: Пусть f и g суть S-морфизмы из X в Y; совпадающие на
плотном открытом подмножестве X: Покажите, что f = g; но что если
X не приведена или Y не отделима над S; то это неверно. (Указание:
рассмотрите отображение X ! Y  S Y; построенное по f и g:)
5. Пусть f : X ! Y | морфизм отделимых схем конечного типа над
нетеровой схемой S; а Z | замкнутое подмножество в X; собственное
над S: Покажите, что f(S) замкнута в Y и собственна над S: