Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f02/matan1p2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:30:32 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 2

НМУ, 1 курс 16.09.2002
Предел последовательности. Полнота множества действительных чисел.
Задача 1. Докажите неравенство Бернулли: (1 + x) n  1 + nx, где n 2 N, x  1.
Задача 2. (Теорема о двух милиционерах.) Пусть an  b n  c n , и lim
n!1
an = lim
n!1
c n = a: Докажите,
что тогда существует lim
n!1
b n = a.
Задача 3. Пусть an  b n и существует lim
n!1
an . Докажите, что тогда существует lim
n!1
b n = lim
n!1
an .
Задача 4. Пусть lim
n!1
an = lim
n!1
b n = +1 и lim
n!1
c n = c 2 R. Исследовать, существуют ли следующие
пределы, и чему они могут быть равны: 1) lim
n!1
(a n +cn ); 2) lim
n!1
an c n ; 3) lim
n!1
1=an ; 4) lim
n!1
1=c n ;
5) lim
n!1
(a n b n ); 6) lim
n!1
an
bn .
Определение. Точная верхняя грань ограниченного сверху множества M  R | это число sup M =
minfc 2 R : x  c 8x 2 Mg (эквивалентно: число m 2 R называется точной верхней гранью множества
M , если x  m 8x 2 M и 8" > 0 9x 2 M : m " < x  m).
Задача 5. Докажите, что следующие пять формулировок свойства полноты действительных чисел экви-
валентны между собой.
1) Любая последовательность Коши сходится.
2) Если I 1  I 2  : : : | последовательность вложенных отрезков, то
1 T
k=1
I k 6= ?:
3) Если I 1  I 2  : : : | последовательность вложенных отрезков, и lim
n!1
(длина I n ) = 0, то
1 T
k=1
I k 6= ?:
4) Любое ограниченное сверху подмножество R имеет точную верхнюю грань.
5) Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Определение. Говорят, что множество M  R компактно, если для любого семейства интервалов
fU g2A , такого, что S
2A
U  M , найдутся такие  1 ; : : : ; n 2 A, что U1 [ : : : [ Un  M .
Задача 6. Докажите, что следующие два утверждения эквивалентны:
1) Любая ограниченная последовательность в R содержит сходящуюся подпоследовательность.
2) Любой отрезок [a; b]  R компактен.
Определение. Функции f и g, определенные в некоторой окрестности точки x 0 , называются эквива-
лентными при x ! x 0 (обозначение: f  g (x ! x 0 )), если существует такая функция h, определенная в
некоторой окрестности x 0 , что f = gh в некоторой проколотой окрестности x 0 и lim
x!x0
h(x) = 1.
Задача 7. Если f 1  f 2 (x ! x 0 ), f 2  f 3 (x ! x 0 ), то f 1  f 3 (x ! x 0 ).
Задача 8. Пусть f 1  g 1 (x ! x 0 ) и f 2  g 2 (x ! x 0 ).
1) Докажите, что f 1 f 2  g 1 g 2 (x ! x 0 ).
2) Если f 2 и g 2 не обращаются в 0 в некоторой окрестности x 0 , то f1
f2  g1
g2 (x ! x 0 ).
3) Верно ли, что f 1 + f 2  g 1 + g 2 (x ! x 0 )?
Задача 9. Числами Фибоначчи называется последовательность ffng, заданная рекуррентно: f 1 = f 2 =
1, fn = f n 1 + f n 2 при n > 2. Докажите, что существует lim
n!1
fn+1
fn
, и найдите его.