Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f02/alg2sem6.ps Дата изменения: Fri Feb 21 15:00:09 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:13:06 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: р с р р с с с с р р с р с с р р

Листок 6 Алгебра-3 17.10.02
Задача 1. Пусть А - линейный оператор векторного пространства
V и G - группа всех операторов, перестановочных с А. Доказать, что G
- алгебраическая группа Ли.
Задача 2. а) Пусть Р(х) - полином на векторном пространстве
V n . Доказать, что группа GGL(V) линейных операторов, для кото-
рых Р является инвариантом, то есть Р(Ах)=Р(х), есть алгебраическая
группа.
б) Показать, что ортогональная группа может быть получена таким
образом.
в) Какая группа получается, если n=2 и Р(x 1 ,x 2 ) = x 3
1 +x 3
2 .
Задача 3. Доказать, что ряд ехр(А) =
P +1
n=0
A n
n! сходится для любой
матрицы А2Mat n (R) или Mat n (C) . Доказать, что ехр есть гладкое
отображение из пространства матриц в линейную группу, определяющее
диффеоморфизм окресности нуля на окрестность единицы.
Задача 4. Доказать, что det( еxp( А)) = ехр( tr( А) ) .
Задача 5. Найти ехp
0
B @
0
B @
1 x y
0 1 z
0 0 1
1
C A
1
C A.
Задача 6. Найти exp

a b
c d
!!
.