Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/geoex2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:38:12 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: rigel

МК НМУ. Первый курс. Геометрия.
14 сентября 2001 г. Листок 2
1. Из Санкт-Петербурга (60 ф с.ш., 30 ф в.д.) в Магадан (60 ф с.ш.,
150 ф в.д.) самолет летит по кратчайшему пути.
а) Сравните длину пути с R=3, не находя её самой;
б) найдите координаты самой северной точки пути.
2. Существует ли отображение сферической области на плос-
кую область, при котором отрезки (сферических) прямых перехо-
дят в отрезки (плоских) прямых?
3. Докажите, что у сферического треугольника в одной точке
пересекаются его а) биссектрисы; б) медианы; в) высоты.
4. Докажите теорему синусов для сферического треугольника
(a, b, c | стороны, , , | противолежащие им углы):
sin a
sin 
= sin b
sin 
= sin c
sin
:
Две следующие задачи для тех, кто немного знает анализ.
5. Докажите, что при малых длинах сторон теоремы косинусов
и синусов превращаются в соответствующие теоремы евклидовой
геометрии.
6. В какую формулу переходит формула для площади сфериче-
ского треугольника, когда его длины сторон малы?
Сдвигом вдоль прямой мы будем называть собственное движе-
ние, переводящее прямую в себя.
7. Докажите, что для любой пары точек на плоскости или на
сфере существует единственный сдвиг вдоль прямой, их соединя-
ющей, переводящий первую из двух точек во вторую. Какие дви-
жения являются сдвигами в каждом из этих случаев?
8. Какой вектор будет являться образом касательного вектора
к сфере при композиции сдвигов вдоль сторон сферического тре-
угольника? Рассмотрите сначала случай треугольника со всеми
прямыми углами.
9. Найдите стороны и углы автополярного (полярного самому
себе) треугольника.
10. Докажите, что для любого сферического треугольника a +
b + c < 2.
11. Дано несколько отрезков сферических прямых, сумма длин
которых меньше . Докажите, что найдётся сферическая прямая,
не пересекающая ни одного из этих отрезков.