Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/an3_1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:16:35 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: polar ring

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 2-й курс, 5 сентября 2001 г.
Определения.
1. Подмножество M  R n называется гладким подмногообразием раз-
мерности m, если для каждой точки x 2 M существует ее окрестность
U  R n такая, что пересечение M \ U задается системой уравнений
8
> <
> :
f 1 (x 1 ; : : : ; xn ) = 0;
: : : : : : : : : :
f n m (x 1 ; : : : ; xn ) = 0;
у которой ранг матрицы частных производных

@f i
@x j
(x)

максимален (го-
ворят, что M ЂЂЂ класса C k , бесконечно дифференцируемое или аналити-
ческое, если функции f i имеют соответствующий класс гладкости).
2. Пересечение M\U однозначно проектируется на одну из m@-мерных
координатных плоскостей, а оставшиеся n m координат выражаются че-
рез данные как гладкие функции.
3. Для любой меньшей окрестности ~
U  U точки x пересечение M \ ~
U
является взаимно однозначным образом при гладком отображении макси-
мального ранга ' : V ! R n , где V  R m ЂЂЂ некоторая область. Такое ото-
бражение ' вместе с областями V  R m и ~
U \M  M называется картой,
а произвольная совокупность карт, покрывающих M ЂЂЂ атласом. (Ясно,
что из определения 2 немедленно следует существование отображения '
для окрестности U , а, значит, и для любой меньшей окрестности. Однако,
если не потребовать выполнения условия 3 для всех меньших окрестностей,
можно получить подмножество типа обмотки тора);
4. Существует (криволинейная) система координат в U , в которой M\U
есть координатная m-мерная плоскость xm+1 =


= xn = 0;
5. Пересечение M \U задается системой уравнений ff i (x 1 ; : : : ; xn ) = 0g,
такой, что ранг матрицы частных производных

@f i
@x j
(x)

равен ровно n m
в каждой точке x 2 U (количество уравнений, вообще говоря, может даже
быть бесконечным).
Задачи.
1. Докажите эквивалентность определений 1{5.
В последующих задачах определите, при каких условиях данные множе-
ства являются многообразиями, найдите размерность, определите карты и
локальные координаты.
2. Окружность x 2 + y 2 = R 2 ; сфера x 2
1 + x 2
2 + x 2
3 = R 2 .
3. Поверхность x 2 + y 2 z 2 = a.
1

4. Множество 8
> <
> :
3x + y z + u 2 = a;
x + y + 2z + u = 0;
2x + 2y 3z + 2u = 0:
5. Подмножества SL(n)  R n 2
, SL(n; C )  R 2n 2
квадратных матриц с
вещественными и комплексными элементами соответственно, состоящее из
матриц с единичным определителем.
6. Подмножество   R n 2
матриц с нулевым определителем; подмноже-
ство  n f0g.
7. Множества O(n)  R n 2
, U (n)  R 2n 2
ортогональных и унитарных
матриц соответственно (AA  = E). (Указание: посчитать ранг дифферен-
циала отображения f : A 7! AA  , для начала ЂЂЂ в точке E).
8. Множество в R 2n , заданное уравнениями
(
z 2
1 +


+ z 2
n = a;
jz 1 j 2 +


+ jz n j 2 = 1:
Определение. Отображение M ! N называется гладким, где M 
R m , N  R n ЂЂЂ гладкие подмногообразия, если в каждой локальной карте
оно задается гладкими функциями. Подмногообразия M и N называются
диффеоморфными, если между ними существует биективное отображение,
гладкое вместе с обратным.
Вопрос. Обязан ли образ вложенного подмногообразия при гладком
отображении быть подмногообразием?
Это приводит нас к следующему общему понятию.
Определение. Гладким многообразием размерности n называется связ-
ное множество M , на котором задан класс эквивалентных атласов. Задание
атласа (состоящего из согласованных карт) означает, что M представлен-
но в виде объединения M = [U подмножеств U , для каждого из которых
заданно взаимно однозначное соответствие ' : U ! V , где V  R n ЂЂЂ
открытая область евклидова пространства. Тройки (' ; V ; U ) (а иногда
и сами подмножества U ) называются картами. При этом разные кар-
ты должны быть согласованы: если U = U \ U  6= ;, то отображе-
ния ' = '  ф ' 1
 : ' (U ) ! '  (U ) (функции перехода) должны
быть диффеоморфизмами областей евклидова пространства (в частности,
оба подмножества ' (U ) и '  (U ) должны быть открыты). Два атласа
называются эквивалентными, если их объединение тоже является атласом
(т. е. если любая карта из первого атласа согласована с любой картой вто-
рого).
Наличие атласа превращает многообразие в топологическое простран-
ство. Обычно требуется (и мы будем следовать этим соглашениям) выпол-
нение двух дополнительных условий: сепарабельности и отделимости. На
языке карт первое условие означает, что существует атлас, состоящий из
2

не более, чем счетного числа карт. Второе означает, что для любых двух
точек найдется допустимый атлас, в котором эти точки принадлежат раз-
личным непересекающимся картам.
Замечание. В зависимости от класса гладкости отображений ' мно-
гообразия делятся на топологические, C p -гладкие, бесконечно гладкие и
аналитические. При этом последние три класса многообразий эквивалент-
ны в следующем смысле: если некоторые два многообразия с некоторы-
ми структурами на них диффеоморфны, то можно на этих многообразиях
ввести (согласованные с исходными) структуры любой другой (одинако-
вой) гладкости с тем, чтобы они снова были диффеоморфны. Но существу-
ют такие гомеоморфные топологические многообразия, на которых нельзя
ввести даже C 1 -гладкой (согласованной с исходной) структуры с тем, что-
бы эти многообразия стали диффеоморфны.
9. Дайте определения гладких отображений гладких многообразий, диф-
феоморфизма гладких многообразий.
10. Для окружности x 2 + y 2 = 1 постройте три атласа: а) когда ло-
кальные координаты | это координаты x и y; б) когда локальные коорди-
наты угловые; в) когда отображения ' ЂЂЂ стереографические проекции.
Докажите эквивалентность этих атласов. Для каждого из них вычислите
функции перехода.
11. Докажите, что связное одномерное многообразие диффеоморфно ин-
тервалу или окружности.
12. Докажите, что если M компактно, то M диффеоморфно некоторому
подмногообразию евклидова пространства R N для некоторого N 2 N.
13. Докажите, что если n-мерное многообразие M является подмного-
образием евклидова пространства R N c N > 2n + 1, то в R N существует
такое направление l, проекция M вдоль которого задает вложение M в
R N 1 .
14. Определите структуру гладкого (трехмерного) многообразия на сле-
дующих множествах. Какие из них диффеоморфны?
а) Сфера S 3 .
б) Проективное пространство RP 3 (пространство прямых в R 4 ).
в) Прямое произведение S 1  S 2 .
г) Группа SO(3) вращений трехмерного пространства (ортогональных
3  3 матриц).
д) Группа SU(2) эрмитовых 2  2 матриц.
е) Пространство касательных единичных векторов к единичной сфере.
ж) Подмножество в C 3 , заданное уравнениями z 2
1 + z 2
2 + z 2
3 = 0; jz 1 j 2 +
jz 2 j 2 + jz 3 j 2 = 2.
з) Пространство конфигураций твердого тела с одной закрепленной
точкой.
3