Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/calc1y7.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:49:57 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: экстремум

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 7
Abstract. Разрешимость дифференциального уравнения. Явные реше-
ния уравнений с разделяющимися переменными и линейных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Теорема 1. Пусть задано непрерывное отображение F : R R n ! R n и
вектор v = (v 1 ; : : : ; v n ) 2 R n , такие что отображение F (t; x 1 ; : : : ; xn ) имеет
в некоторой окрестности точки (0; v) 2 R R n непрерывную производную
по каждой переменной x i . Тогда для некоторого числа T > 0 существует и
единственна функция f : [0; T ] ! R n , удовлетворяющая дифференциальному
уравнению f 0 (t) = F (t; f(t)) и начальному условию f(0) = v.
Доказательство. По условию теоремы существует такое число R > 0, что
при jx vj < R производные функции F по всем переменным x i существует
и ограничена по модулю константой M . В метрическом пространстве C =
(C[0; 1]) n рассмотрим замкнутый шар B радиуса R с центром в точке v(t)  v.
Пусть f; g 2 B; рассмотрим функцию s(t;  ) def
= F (t; (1  )f(t) + g(t))
F (t; f(t)). Производная @s(t;)
@ равна
P n
i=1
@F
@x i
(t; (1  )f(t)+g(t))(g i (t) f i (t))
и не превосходит по модулю nM
P n
i=1 jg i (t) f i (t)j. Отсюда следует, что
jF (t; g(t)) F (t; f(t))j =
  
R 1
0
@s(t;)
@ d
    nM
P n
i=1 jg i (t) f i (t)j.
Рассмотрим отображение A : B ! B, заданное формулой A(f)(x) = v +
R x
0
F (t; f(t)) dt. Решения дифференциального уравнения f 0 (t) = F (t; f(t)), удо-
влетворяющие начальному условию f(0) = v, суть неподвижные точки этого
отображения. Шар B | полное метрическое пространство; докажем, что ото-
бражение A сжимающее. Действительно, при f; g 2 B имеем %(A(f); A(g)) =
max jA(f)(x) A(g)(x)j  Mnxmaxt 2 [0; x] jf(t) g(t)j, поэтому достаточно
рассмотреть функции f и g на отрезке [0; T ], где T < 1=Mn. В силу теоремы о
сжимающем отображении неподвижная точка существует и единственна.
Следствие. Пусть F : R nN+1 ! R n | отображение, а v 0 ; : : : ; v N 1 2 R n |
набор векторов, причем F имеет непрерывные производные по всем перемен-
ным, кроме, возможно, первой, в некоторой окрестности точки (0; v 0 ; : : : ; v N 1 ) 2
R nN+1 . Тогда для некоторого числа T > 0 существует и единственна функ-
ция f : [0; T ] ! R n такая, что f (N) (t) = F (t; f(t); f 0 (t); : : : ; f (N 1) (t)) для всех
t 2 [0; T ], причем f(0) = v 0 , : : : , f (N 1) (0) = v N 1 .
Доказательство. Введем вспомогательные функции f 1 ; : : : ; f N 1 и заметим,
что система уравнений f 0 = f 1 ; f 0
1 = f 2 ; : : : ; f 0
N 1 = F (t; f; f 1 ; : : : ; f N 1 ) с на-
чальными условиями f(0) = v 0 , : : : , f N 1 (0) = v N 1 эквивалентна исходной
задаче.
Предложение 1. Пусть f; g : R! R | непрерывные функции, причем g >
0. Пусть v 2 R и ( ) =
R 
v dt=g(t). Тогда функция y(x) =  1 (
R x
0
f(t) dt)
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 7
является решением дифференциального уравнения y 0 = f(x)g(y) с начальным
условием y 0 (0) = v.
Доказательство. Заметим, что обратная функция  1 существует, так как
функция  непрерывна и возрастает (по теореме Ньютона{Лейбница). По тео-
реме о производной обратной функции имеем:y 0 (x) = 1
 0 (y(x)) f(x) = f(x)g(y(x)).
Начальное условие, очевидно, выполнено.
Лемма 1. Ряд exp(a) =
P 1
n=1 a n =n! сходится равномерно по a в любом шаре
jaj  R.
Доказательство. Поскольку K n = o(n!) при n ! 1 и любом K > 0, имеем
ja n =n!j < 1=2 n при достаточно больших n и произвольном a; jaj  R. То-
гда
  
P q
n=p a n =n!
   
P q
n=p 1=2 n . Но ряд
P 1
n=1 1=2 n сходится (к 1), поэтому
последовательность его частичных сумм удовлетворяет условию Коши. Сле-
довательно, последовательность частичных сумм ряда exp(a) удовлетворяет
условию Коши равномерно в шаре.
Лемма 2. Для произвольного линейного оператора B : R n ! R n существует
положительная константа M такая, что jBvj  M jvj для всех v 2 R n .
Доказательство. Пусть S = fw 2 R n j jwj = 1g, а функция f : S ! R
определяется формулой f(w) = jBwj. Множество S | компакт (поскольку
замкнуто и ограничено), а функция f | непрерывна. Следовательно, f огра-
ничена: f(w)  M для некоторой константы M и всех w 2 S. Пусть те-
перь v 6= 0 | произвольный вектор. Тогда w def = v= jvj 2 S и, следовательно,
jBvj = jvj jBwj  M jvj.
Предложение 2. Пусть A : R n ! R n | линейный оператор. Решением диф-
ференциального уравнения y 0 = Ay с начальным условием y(0) = v является
вектор-функция y(t) = exp(At)v, где exp(B) def
=
P 1
k=1 B k =k!.
Доказательство. Из леммы 2 следует, что
   P q
k=p A k t k v=k!
    P q
k=p M k t k jvj =k!
для некоторой константы M . Из леммы 1 следует теперь, что ряд exp(At)
удовлетворяет условию Коши равномерно по t на любом отрезке, откуда сле-
дует, что он сходится равномерно на любом отрезке. Теперь: d
dt exp(At)v =
lim !0 (exp(At+A ) exp(At))v= = lim !0 lim N!1
P N
k=1 A k v((t+ ) k t k )= =
lim N!1 lim !0
P N
k=1 A k v((t+ ) k t k )= =
P 1
k=1 A k vt k 1 =(k 1)! = A exp(At)v.