Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/calc1y2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:48:35 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: trees

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 2
Abstract. Свойства непрерывных функций. Связные и линейно связные
пространства.
Пусть X, Y , Z | топологические пространства, f : X ! Y , h : Y ! Z и
g : X ! Z | непрерывные отображения
Теорема 1. Композиция hф f непрерывна. Декартово произведение отобра-
жений (f; g) : X ! Y  Z (определяемое формулой (f; g)(x) = (f(x); g(x)))
непрерывно.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе: пусть U  Y  Z
открыто, и x 2 (f; g) 1 (U ) , (y; z) 2 U , где y = f(x), z = g(x). В силу
открытости множества U найдется пара множеств V  Y , W  Z такая, что
y 2 V , z 2 W и V  W  U . Тогда (f; g) 1 (U )  f 1 (V ) \ g 1 (W ) def
= R x . Это
означает, что вместе с каждой своей точкой x множество f 1 (U ) содержит
и некоторую ее (открытую) окрестность R x . Таким образом, отображение f
непрерывно в каждой точке, и, следовательно, непрерывно.
Определим теперь \базовые" функции на множестве действительных чисел:
 plus : (R) 2 nf(+1;1); (1;+1)g! R: plus(x; y) =
8
> > > > > > <
> > > > > > :
x + y; x; y 2 R
+1; x 2 R[ f+1g; y = +1
+1; x = +1; y 2 R[ f+1g
1; x 2 R[f1g; y = 1
1; x = 1; y 2 R[f1g
,
 mult : (R) 2 n f(0; 1); (1; 0)g ! R| аналогично, с заменой сложения
на умножение.
 inv : e R! e
R: inv(x) =
8
> <
> :
1=x; x 2 Rn f0g
1; x = 0
0; x = 1:
Предложение 1. Отображения plus, mult, inv непрерывны.
Доказательство | прямая проверка.
Примеры следствий из предложения 1 и теоремы 1:
 Сумма непрерывных функций непрерывна.
 Предел произведения равен произведению пределов, если последнее опре-
делено (т.е. кроме случая, когда один предел равен нулю, а второй бес-
конечен).
И т.п.
Теорема 2. Пусть M  X замкнуто, f : N ! M | последовательность, и
a = lim n!1 f(n). Тогда a 2 M . Если X = Q или R, то верно и обратное: если
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 2
для всякой сходящейся (имеющей предел) последовательности f : N ! M
верно, что a def
= lim n!1 f(n) 2 M , то множество M замкнуто.
Доказательство. Продолжим отображение f на множество N, полагая f(1) =
a. Тогда f : N ! X непрерывно и, следовательно, прообраз f 1 (XnM ) открыт.
Если 1 2 f 1 (X n M ) (что эквивалентно тому, что a =
2 M ), то существует N
такое, что при n > N имеем n 2 f 1 (X n M ), то есть f(n) =
2 M , вопреки
условию теоремы.
Обратное для X = Q или R: пусть M не замкнуто. Тогда имеется точка
a 2 XnM такая, что никакой интервал (a ф; a+ф) в множестве XnM не лежит.
Выберем в качестве f(n) произвольную точку из интервала (a 1=n; a+ 1=n),
не лежащую в X n M , т.е. лежащую в M . Тогда lim n!1 f(n) = a, вопреки
условию теоремы.
Нетрудно видеть, что список пространств во второй части предложения
можно существенно расширить | утверждение верно для X = R n , и вообще,
почти для всех пространств, используемых в анализе. Для произвольного то-
пологического пространства оно все же неверно.
Предложение 2. Пусть f : R! R. Тогда lim x!a f(x) = b тогда и только
тогда, когда для всякой последовательности g : N! Rтакой, что lim n!1 g(n) =
a выполнено равенство lim n!1 f(g(n)) = b.
Доказательство. Пусть lim x!a f(x) = b. Продолжим последовательность g
до непрерывного отображения N ! R, полагая g(1) = a. Поскольку компо-
зиция непрерывных отображений непрерывна, то отображение f ф g : N ! R
непрерывно в точке 1 | это как раз и означает, что lim n!1 f(g(n)) = b.
Обратно, пусть lim x!a f(x) 6= b. Зафиксируем какую-нибудь счетную си-
стему вложенных окрестностей U 1  U 2 


3 a такую, что T
n Un = fag
(если a 2 R, то можно взять Un = (a 1=n; a + 1=n), если a = +1, то
Un = (n; +1], и т.п.) Тогда найдется такая окрестность V точки b, что для
всякого n существует элемент xn 2 Un , для которого f(xn ) =
2 V . Положим
g(n) = xn , тогда lim n!1 g(n) = a в силу выбора системы окрестностей Un , но
lim n!1 f(g(n)) 6= b.
В произвольном топологическом пространстве X множества ? и X явля-
ются одновременно открытыми и замкнутыми. Пространство X называется
связным, если в нем нет никаких других подмножеств, обладающих этим свой-
ством. Если подмножество A  X открыто, замкнуто и связно (т.е. не содер-
жит собственных подмножеств, открытых и замкнутых одновременно), то оно
называется компонентой связности пространства X.
Теорема 3. Пусть f : X ! Y | непрерывное отображение топологиче-
ских пространств, и пространство X связно. Тогда образ f(X)  Y также
связен.
Доказательство. Пусть множество f(X)  Y несвязно. По определению то-
пологии на подмножестве пространства Y это означает, что существуют два
открытых подмножества Y 1 ; Y 2  Y такие, что f(X)  Y 1 [Y 2 , f(X)\Y 1 6= ? 6=
f(X) \Y 2 , но f(X) \Y 1 \ Y 2 = ?. По определению непрерывного отображения
прообразы X 1 = f 1 (Y 1 ) и X 2 = f 1 (Y 2 ) открыты в X. Нетрудно видеть, что
X = X 1 \ X 2 , X 1 6= ? 6= X 2 , но X 1 \ X 2 = ?. Это противоречит связности
пространства X.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 23
Важнейший для анализа пример связного множества | отрезок [a; b]  R.
Доказательство связности отрезка мы отложим до следующей лекции.
Топологическое пространство X называется линейно связным, если для про-
извольных двух точек a; b 2 X существует непрерывное отображение f :
[0; 1] ! X такое, что f(0) = a, f(1) = b (иными словами, существует не-
прерывная кривая, соединяющая точки a и b).
Теорема 4. Линейно связное топологическое пространство X связно.
Доказательство. Пусть X линейно связно, но не связно: X = X 1 [ X 2 , где
X 1 и X 2 открыты и не пересекаются. Возьмем a 2 X 1 , b 2 X 2 и рассмотрим
отображение f : [0; 1] ! X из определения линейно связного пространства.
Тогда множества T 1 = f 1 (X 1 )  [0; 1] и T 2 = f 1 (X 2 )  [0; 1] открыты (по-
скольку отображение f непрерывно), непусты (поскольку 0 2 T 1 . 1 2 T 2 ) и не
пересекаются (поскольку не пересекаются X 1 и X 2 ), а их объединение | весь
отрезок [0; 1]. Это противоречит теореме 3.
Пример 1. Примеры линейо связных (и, следовательно, связных) пространств:
R, R n , шар в R n , произвольное выпуклое множество в R n , и т.д.
Пример 2. Пространство Q несвязно. Действительно, если A = fx 2 Q j x 2 <
2g, то Q n A = fx 2 Q j x 2 > 2g, и оба множества открыты и непусты. Более
того, пространство Q не содержит ни одного открытого связного подмноже-
ства (и, следовательно, напрашивающееся утверждение, что всякое топологи-
ческое пространство можно разбить на компоненты связности, неверно). Дей-
ствительно, если подмножество A  Q содержит более одной точки, то рассу-
ждение, аналогичное только что приведенному (проведите его !), показывает,
что A несвязно. Одноточечные же подмножества Q не являются открытыми
(т.е. топология Q не дискретна), и тем самым не могут быть компонентами
связности.