Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/repr6.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:05:29 2007 Кодировка: koi8-r

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 6
Двойственность Шура{Вейля
Цель этой лекции | используя представления Sn построить серию неприводимых представлений беско-
нечной группы GLm .
Пусть V | m{мерное пространство. Рассмотрим пространство
Wmn =
V
n =
V





V
| {z }
n
:
Группа Sn действует на этом пространстве перестановками сомножителей, а группа GLm действует
преобразованиями пространства V . То есть, для  2 Sn , A 2 GLm
(v
1





v n ) = v
(1)





v (n) ; A(v
1





v n ) = A(v 1
)





A(vn ):
Ясно, что эти действия коммутируют. Другими словами, на Wmn действует группа Sn GLm .
Обозначим R пространство неприводимого представления % группы Sn , связанного с диаграммой из n
клеток .
Предложение 1.
Wmn =
M
R
V ;
где V | представления GLm .
Доказательство. Это предложение следует из двух более простых утверждений.
Упражнение 1. Пусть W | конечномерное представление конечной группы G. Тогда W  =
L
i U
i
V i ,
где U i | различные неприводимые представления G, и размерность V i равна кратности представления U i в
W .
Тем самым, пространства V определены.
Упражнение 2. Докажите, что в условиях предыдущего упражнения всякий сплетающий оператор из W
в себя | линейная комбинация операторов из End(V i ).
Значит, всякий элемент GLm действует на Wmn линейной комбинацией операторов из End(V ), то есть
действует на V .
Упражнение 3. Пусть G 1 , G 2 | группы, одна из которых конечна. Докажите, что всякое неприводимое
представление G 1 G 2 | произведение
U
V неприводимого представления U группы G 1 и неприводимого
представления V группы G 2 .
Предложение 2. V 6= 0 тогда и только тогда, когда количество строк диаграммы не превышает m.
Доказательство. Пусть T | некоторая нумерация . Мы знаем, что % является подпредставлением
представления W тогда и только тогда, когда c T = a T b T 2 C [S n ] (вариант: b T a T ) действует на W не нулем.
Если диаграмма имеет более m строк, то альтернирование по первому столбцу, а следовательно, b T
действует на Wmn нулем, значит % не содержится в Wmn и V = 0.
Если диаграмма имеет не более m строк, то построим вектор, на котором b T a T действует не нулем.
Пусть T (i) | номер строки, в которой находится число i, пусть v 1 ; : : : ; v m | базис в V . Тогда рассмотрим
вектор
v T = v
T(1)





v T (n) :
(1)
Ясно, что a T v T = vT , а b T v T | линейная комбинация произведений базисных векторов, в которую v T входит
с коэффициентом 1. Значит, b T a T v T 6= 0 и V 6= 0.
Теорема 1. Представление V | неприводимо.
Доказательство. Доказательство основано на двух леммах, которые сами по себе часто называются
двойственностью Шура{Вейля.
Лемма 1. Всякий оператор Wmn ! Wmn , коммутирующий с действием Sn | линейная комбинация дей-
ствий элементов GLm .
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 6
Доказательство. Заметим, что
End(Wmn ) =
Wmn
W 
mn =
(V
V 
)
n = (End(V
))
n :
При этом операторы, коммутирующие с Sn | симметричные тензоры S n (End(V ))  (End(V
))
n , а GLm
действует диагональными тензорами вида
A





A.
Упражнение 4. Всякий симметричный тензор | линейная комбинация диагональных.
Лемма 2. Всякий оператор Wmn ! Wmn , коммутирующий с действием GLm | линейная комбинация
действий элементов Sn .
Доказательство. Докажем более общее утверждение. Пусть G | конечная группа, W | ее предста-
вление, M = HomG (W; W ) | пространство сплетающих операторов. Тогда всякий оператор из End(V ),
коммутирующий с элементами M | действие некоторого элемента C [G].
Разложим W по неприводимым представлениям U i группы G: W =
L
i U
i
V i . Мы знаем (упражнение 2),
что пространство сплетающих операторов M =
L
i End(V i ).
Упражнение 5. Докажите, что операторы в пространстве
L
i U
i
V i , коммутирующие с операторами из
L
i End(V i ) принадлежат
L
i End(U i ).
Для доказательства общего утверждения теперь вспомним, что отображение C [G] !
L
i End(U i ) |
сюръективно (оно было бы изоморфизмом, если бы все неприводимые представления входили в W ). А
для доказательства леммы еще воспользуемся тем, что по лемме 1 простанство сплетающих операторов
Hom Sn (Wmn ; Wmn ) порождено действием элементов GLm .
Пусть представление V 0
| приводимо, V 0
= V 1  V 2 . Тогда рассмотрим оператор из End(W ), действу-
ющий тождественно на всех R , на V для 6= 0 и на V 1 , и действующий нулем на V 2 . Он коммутирует с
действием GLm , но не совпадает с действием никакого элемента C [S n ].
Теорема 2. Если 6= 0 | диаграммы, у которых не более m строк, то V и V 0 не изоморфны.
Упражнение 6. Пусть и 0 имеют одинаковое количество клеток. Выведите утверждение теоремы для
этого случая из леммы 1.
Доказательство. Выберем базис v 1 ; : : : ; v m в пространстве V и запишем элементы GLm матрицами. Пусть
H  GLm | подгруппа диагональных матриц. Эта подгруппа коммутативна, в любом представлении GLm
найдется общий собственный вектор подгруппы H. Мы различим представления V по действию подгруппы
H на общие собственные векторы.
Рассмотрим вектор v i
1






v i n  Mmn . Он является общим собственным вектором подгруппы H.
Матрица diag( 1 ; : : : ; m )  H действует на этот вектор умножением на  1
1 : : :  m
m , где  s | количество
чисел i j , равных s. Поскольку векторы указанного вида образуют базис в пространстве Wmn , на всякий
общий собственный вектор в Wmn матрицы diag( 1 ; : : : ; m ) действуют умножением на  1
1
: : :  m
m . То же
самое верно и для любого подпространства Wmn , в частности V . Набор чисел ( 1 ; : : : ; m ) назовем весом
общего собственного вектора.
Упорядочим множество весов лексикографически (как ранее упорядочили диаграммы Юнга). Будем
говорить, что ( 1 ; : : : ; m ) > ( 0
1 ; : : : ;  0
m ), если для некоторого 1  r  m выполнено  i =  0
i при i < r и  r =
 0
r . Максимальный вес в представлении GLm будем называть старшим весом этого представления. Ясно,
что изоморфные представления имеют одинаковые старшие веса. Поэтому следующая лемма завершает
доказательство теоремы.
Лемма 3. Пусть = (f 1 ; : : : ; f r ) | диаграмма Юнга, r  m. Тогда старший вес представления V равен
(f 1 ; : : : ; f r ; 0; : : : ; 0).
Доказательство. Пусть T | нумерация диаграммы . Тогда оператор c T действует ненулевой констан-
той на V  Wmn и нулем на V 0 при 0 6= . Кроме того, c T сохраняет подпространства векторов данного
веса. Значит, чтобы убедиться, что данный вес | старший достаточно проверить, что c T действует не
нулем на подпространстве векторов данного веса и нулем на векторах большего веса.
Но мы знаем, что b T действует нулем на векторах большего веса, а сопряженный к c T оператор b T aT
действует не нулем на векторе v T (см. (1)).
Упражнение 7. Докажите, что в V имеется базис из общих собственных векторов H.
Задача 1. Изоморфны ли следующие представления GLm представлениям V :
одномерные det : GLm ! C  , (det) k : GLm ! C  (k 2 Z),
m{мерные
V
(det) k , V  , V

(det) k ?
Задача 2. GLm действует на пространстве End(V ) сопряжением. Разложите это представление в прямую
сумму V .