Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/repr3.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:05:15 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: solar eclipse

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 3
Количество неприводимых представлений
На прошлой лекции было доказано, что множество IrrepC (G) комплексных неприводимых представлений
конечной группы G с точностью до изоморфизма | конечно.
Теорема 1. Количество элементов IrrepC (G) равно количеству классов сопряженности группы G.
Пример 1. Количество классов сопряженности конечной абелевой группы равно количеству ее элементов,
что равно количеству представлений.
Упражнение 1. Проверьте утверждение теоремы для группы диэдра.
Доказательство.
Определение 1. Функция f : G ! C называется центральной, если она постоянна на классах сопряжен-
ности группы G (f(ghg 1 ) = f(h)).
Так как след зависит только от класса сопряженности матрицы, характеры представлений | центральные
функции. Докажем, что характеры неприводимых представлений образуют базис в пространстве централь-
ных функций.
Прежде всего, как доказано в предыдущей лекции, характеры ортогональны относительно естественного
скалярного произведения на пространстве функций, следовательно они линейно независимы.
Для доказательство полноты этого множества векторов докажем лемму.
Лемма 1. Пусть f | центральная функция, %|неприводимое представление в пространстве V . Тогда
оператор
%(f) =
X
g2G
f(g)%(g)
скаляр jGj
dim V hf;  % i.
Доказательство. Во первых, этот оператор | сплетающий:
%(h) 1 %(f)%(h) =
X
g2G
f(g)%(h 1 gh) =
X
u2G
f(huh 1 )%(u) = %(f);
то есть %(f)%(h) = %(h)%(f). Значит, по лемме Шура %(f) | скаляр. Вычислим его.
tr %(f) =
X
g2G
f(g)tr %(g) = jGj hf;  % i ;
а %(f) = tr %(f)
dim V .
Предположим, характеры неприводимых представлений не образуют базис в пространстве центральных
функций. Значит найдется ненулевая центральная функция f , ортогональная всем таким характерам. Тогда
%(f) = 0 для любого неприводимого представления, а значит, в силу теоремы Машке, для любого предста-
вления.
Но в регулярном представлении
(% R (f)) (e h ) =
X
g2G
f(g)e gh ;
что равно нулю только если f(g) = 0 для всех g 2 G.
Задача 1. Докажите, что матричные элементы неприводимых представлений образуют базис в простран-
стве всех функций на конечной группе.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3
Комплексные представления симметрической группы
Напомню, что классы сопряженности в группе перестановок Sn соответствуют разбиениям перестановок
на циклы. Таким образом, классы сопряженности нумеруются наборами натуральных чисел (длин циклов)
f 1  f 2 


 f k , таких что f 1 +


+ f k = n.
Определение 2. Набор таких натуральных чисел (f ; : : : ; f k ) называется диаграммой Юнга из n клеток.
Диаграмма Юнга изображается графически как таблица из k строк, длины которых равны f i , например,
диаграмма (3; 2; 2; 1) избражается так:
Мы сопоставим каждой диаграмме Юнга из n клеток представление группы Sn , а именно, построим
проектор на это представление из регулярного представления R.
Заметим, что на пространстве R определено два коммутирующих действия группы G. Одно из них
стандартное, %R (g)e h = e gh , другое определено так: % 0
R (g)e h = e hg 1 . Поскольку эти действия коммутируют,
любой оператор, составленный из % 0 будет сплетающим.
Пример 2. Симметризация, = (n). Рассмотрим отображение из R в R
Sym = 1
n!
X
2Sn
% 0
R ():
Легко проверить, что Sym | проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором
X
2Sn
e  ;
то есть на одномерное тривиальное представление.
Пример 3. Альтернирование, = (1; 1; : : : ; 1). Рассмотрим отображение из R в R
Alt = 1
n!
X
2Sn
sgn()% 0
R ():
Легко проверить, что Alt | проектор на одномерное подпространство, порожденное вектором
X
2Sn
sgn()e  ;
то есть на одномерное знаковое представление.
Пример 4. Пусть | произвольная диаграмма Юнга из n клеток. Пронумеруем ее клеки числами от 1
до n, например так:
1 2 3
4 5
6 7
8
и обозначим нумерованную диаграмму T . Нумерация вводится для того, чтобы задать действие Sn на
клетках диаграммы.
Пусть A T  Sn | подгруппа перестановок, сохраняющих строки . Ясно, что A T = A 1
T 


 A k
T , где
A i
T
 = S f i
| перестановки клеток i{той строки. Положим
a T =
X
2AT
% 0
R ():
Заметим, что
aT
f 1 ! : : : f k ! =
k
Y
i=1
1
f i !
X
2A i
T
% 0
R ()
произведение коммутирующих проекторов.
Упражнение 2. Докажите, что P | проектор на некоторое подпространство тогда и только тогда,
когда P 2 = P . В частности, произведение коммутирующих проекторов | проектор (на что?).
Пример 5. Пусть T | нумерованная диаграмма, B T  Sn | подгруппа перестановок, сохраняющих
столбцы . Положим
b T =
X
2BT
sgn()% 0
R ():
Упражнение 3. Докажите, что b T пропорционален проектору.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 33
Определение 3. Оператор c T = b T ф a T , действующий из R в R, называется симметризатором Юнга.
Упражнение 4. Докажите, что если T и T 0 | разные нумерации диаграммы , то c T и c T 0 | сопряжены,
а их образы | изоморфны как представления.
Теорема 2.
i) c T ф c T = c T , причем  6= 0, то есть c T пропорционален проектору.
ii) Образ c T | неприводимое представление.
iii) Если T и T 0 соответствуют разным диаграммам Юнга, то образы c T и c T 0 | неизоморфны.
Упражнение 5. Докажите теорему для n = 3 вычислением.
Задача 2. Опишите явно представления группы S 4 .