Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/repr2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:05:06 2007 Кодировка: koi8-r

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 2
Категория представлений группы
На прошлой лекции были определены объекты этой категории (представления) и морфизмы (отображе-
ния) между ними (сплетающие операторы). Начнем с описания объектов.
Теорема 1. (Машке) Пусть группа G | конечна и количество элементов в ней jGj не делится на харак-
теристику поля. Тогда всякое представление G изоморфно прямой сумме неприводимых.
Доказательство. Если поле | R или C , то, как обсуждалось на предыдущей лекции, можно построить
инвариантное скалярное произведение. Вместо этого построим инвариантный проектор на подпредставле-
ние.
Определение 1. Пусть V 1 | подпространство линейного пространства V . Тогда линейное отображение
P : V ! V называется проектором на V 1 если P j V1 = Id и образ P совпадает c V 1 .
Упражнение 1. Докажите, что в этом случае V = V 1  KerP .
Пусть теперь V 1 | подпредставление V , P|некоторый проектор на V 1 . Положим
P inv = 1
jGj
X
g2G
%(g) 1 ф P ф %(g):
Упражнение 2. Докажите, что P inv | проектор на V 1 .
Кроме того, P inv | сплетающий оператор:
P inv ф %(h) = 1
jGj
X
g2G
%(g) 1 ф P ф %(gh) = 1
jGj
X
u2G
%(u(h 1 )) 1 ф P ф %(u) = %(h) ф P inv
(1)
для всех h 2 G.
Значит, V распадается в прямую сумму подпредставлений V 1 и Kerf . Индукция в конечномерном случае
и применение леммы Цорна в бесконечномерном случае завершает доказательство.
Задача 3. Приведите пример, когда утверждение теоремы нарушается для конечной группы при jGj
делящимся на характеристику поля.
Категория с такими свойствами называется полупростой. В ней достаточно описать морфизмы между
неприводимыми объектами. Но следующая теорема верна в другой общности.
Теорема 2. (Лемма Шура) Пусть поле алгебраически замкнуто, V 1 , V 2 | неприводимые представления
G. Тогда размерность пространства сплетающих операторов
dimHomG (V 1 ; V 2 ) =

1 V 1
 = V 2
0 иначе
Доказательство. Пусть f : V 1 ! V 2 | ненулевой сплетающий оператор. Тогда Kerf 6= V 1 и Imf 6= 0. В
силу неприводимости V 1 и V 2 это означает, что Kerf = 0, Imf = V 2 , а значит f | изоморфизм.
Осталось вычислить dimHomG (V; V ) для неприводимого представления V . Пространство HomG (V; V )
содержит одномерное подпространство скаляров fIdg. Пусть f | произвольный сплетающий оператор,
тогда операторы f Id | тоже сплетающие. Но в силу алгебраической замкнутости для некоторого 
Ker(f Id) 6= 0. Значит, поскольку любой ненулевой сплетающий оператор | изоморфизм, f = Id.
Упражнение 3. Пусть представления V 1 ; : : : ; V k | неприводимы, пусть
U = n 1 V 1  n 2 V 2 


 n k V k ; V = m 1 V 1 m 2 V 2 


 m k V k :
Тогда в предположениях леммы Шура dimHomG (U; V ) =
P
m i n i .
Указание: Докажите, что
HomG (U 1  U 2 ; V )  = HomG (U 1 ; V )  HomG (U 2 ; V ); HomG (U; V 1  V 2 )  = HomG (U; V 1 )  HomG (U; V 2 ):
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 2
Представления абелевых групп
Будем предполагать, что основное поле | поле комплексных чисел.
Предложение 1. Неприводимое конечномерное представление абелевой группы | одномерно.
Действительно, набор коммутирующих операторов в конечномерном пространстве имеет общий собствен-
ный вектор.
Заметим, что GL(1)  = C  как группа. Таким образом, неприводимое представление абелевой группы A
| отображение
 : A ! C  ; такое что (ab) = (a)(b); a; b 2 A:
Определение 2. Гомоморфизм из группы в C  называется характером группы.
Ясно, что характер группы (не обязательно абелевой) | то же самое, что ее одномерное представление.
Характеры любой группы сами образуют абелеву группу по умножению:
( 1
 2 )(g) =  1 (g) 2 (g); g 2 G:
При этом произведение характеров соответствует тензорному произведению соответствующих одномерных
представлений.
Упражнение 4. Пусть A | конечная абелева группа. Тогда группа характеров A изоморфна A.
Этот изоморфизм не канонический. Он напоминает изоморфизм конечномерного векторного простран-
ства и двойственного к нему.
Определение 3. Группа характеров абелевой группы A называется двойственной абелевой группой и
обозначается A  .
Предложение 2. (двойственность Понтрягина) Пусть A | конечная абелева группа. Тогда (A  )  кано-
нически изоморфна A.
Изоморфизм A ! (A  )  строится так: каждому элементу a 2 A сопоставляется гомоморфизм группы
характеров (A)  ! C  , переводящий характер  в число (a). Легко проверить, что для конечной A это
отображение | изоморфизм.
Упражнение 5. Группа характеров произвольной группы G изоморфна (G=[G; G])  .
Упражнение 6. Пусть  | нетривиальный характер группы G. Тогда
X
g2G
(g) = 0:
Это наблюдение приводит к важному следствию. Определим эрмитово скалярное произведение на ком-
плекснозначных функциях на G, полагая
hf 1 ; f 2 i = 1
jGj
X
g2G
f 1 (g)f 2 (g):
(2)
Упражнение 7. Характеры группы ортонормированы относительно этого скалярного произведения.
Это утверждение и подлежит обобщению.
Матричные элементы и характеры группы
Будем предполагать, что группа конечна и основное поле | C .
На предыдущей лекции было определено инвариантное скалярное произведение на пространстве V пред-
ставления % конечной группы G. Выберем ортонормированный базис в пространстве V и обозначим % ij (g)
матрицу оператора %(g) в этом базисе. Полученный набор функций на группе % ij назовем матричными
элементами представления. В силу инвариантности скалярного произведения матрицы % ij (g) унитарны, то
есть % ij (g 1 ) = % ji .
Теорема 3. Пусть % 1 , % 2 | неизоморфные неприводимые представления в пространствах V 1 ; V 2 . Тогда
для их матричных элементов выполнено
D
% i 1 j1
1 ; % i 2 j2
2
E
=
0,
% i 1 j1
 ; % i 2 j2

 = 1
dim V ф i 1 i 2
ф j1 j2 .
Доказательство. Пусть F : V 1 ! V 2 | произвольное отображение. Тогда, аналогично (1),
F inv = 1
jGj
X
g2G
% 2 (g 1 ) ф F ф % 1 (g)
сплетающий оператор.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 23
Пусть F = E j1 j2 | матричная единица ((E ab ) ij = 1 при i = a, j = b и нулю в остальных случаях). Тогда
(E j1j2 ) i 1 i 2
inv = 1
jGj
X
g2G
% j2 i 2
2 (g 1 )% i 1 j1
1 (g) = 1
jGj
X
g2G
% i 2 j2
2 (g)% i 1 j1
1 (g) =
D
% i 1 j1
1 ; % i 2j2
2
E
:
Поскольку V 1 не изоморфно V 2 , по лемме Шура (E j1j2 ) inv = 0, откуда следует первое утверждение тео-
ремы.
Пусть теперь V 1 = V 2 = V . Тогда по лемме Шура всякий сплетающий оператор | скаляр. Чтобы
вычислить скаляр (E j1 j2 ) inv заметим, что
tr F inv = 1
jGj
X
g2G
tr (%(g) 1 ф F ф %(g)) = 1
jGj
X
g2G
tr F = tr F;
а значит, tr (E j1j2 ) inv = ф j1 j2 и (E j1j2 ) inv = 1
dim V ф j1 j2 . Отсюда следует второе утверждение теоремы.
Недостаток матричных элементов | зависимость от базиса.
Определение 4. Характером представления % группы G называется функция  % : G ! C , сопоставляющая
элементу g 2 G число tr %(g).
Следствие 1. Характеры неприводимых представлений ортонормированы относительно скалярного про-
изведения (2).
Пример 1. Характер регулярного представления
R (g) =
 jGj g = e
0 g 6= e
Упражнение 8. Докажите, что  %1 %2 =  %1 +  %2 , а 
%1
%2 =  %1  %2 .
Теорема 4. Кратность вхождения неприводимого представления % в регулярное представление R равна
размерности пространства представления V .
Доказательство.
Искомая кратность равна
h % ; R i = 1
jGj
X
g2G
 % (g) R (g) =  % (e) = dimV:
Разложение регулярного представления на неприводимые приводит к важному следствию.
Следствие 2. (Теорема Бернсайда) Множество неприводимых представлений с точностью до изомор-
физма IrrepC (G) | конечно, причем X
V 2IrrepC (G)
(dimV ) 2 = jGj
Задача 4. Опишите неприводимые представления группы диэдра Dn .
Указание: Размерность этих представлений не превышает 2.