Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/repr1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:04:58 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: sts-64

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ 1
Определение 1. Представление % группы G в линейном пространстве V | гомоморфизм групп G !
GL(V ), где GL(V ) | группа обратимых линейных преобразований пространства V .
Другими словами, это | действие группы G на пространстве V линейными преобразованиями. Часто
представлением называют и само пространство V , подразумевая действие группы на нем.
Определение 2. Представление % называется точным, если этот гомоморфизм | вложение.
Другими словами, представление точное, если элементы G, отличные от единицы, действуют нетожде-
ственными преобразованиями.
Пример 1. Тривиальное представление произвольной группы в произвольном пространстве V : все
элементы G действуют тождественными преобразованиями.
Пример 2. Трехмерное вещественное представление групп самосовмещений правильных многогранников
и их подгрупп, в частности A 4 , S 4 , A 5 .
Пример 3. Лево{регулярное представление конечной группы. Пусть G = fg 1 ; : : : ; g ng. Рассмотрим про-
странство R c базисом fe g i
g и действием %(g)e h = e gh , g; h 2 G. Получим точное jGj{мерное представление.
Пример 4. Право{регулярное представление конечной группы. Аналогично рассмотрим пространство
R 0 c базисом fe 0
g i
g и действием %(g)e 0
h = e 0
h(g 1 )
, g; h 2 G.
Пример 5. Прямая сумма и тензорное произведение представлений. Группа действует одновременно на
каждую компоненту.
Определение 3. Отображение представлений группы G (сплетающий оператор) % 1 и % 2 в пространствах
V 1 и V 2 | линейное отображение f : V 1 ! V 2 , такое что
f(% 1 (g)v) = % 2 (g)f(v) для всех g 2 G; v 2 V 1 :
Другими словами, диаграмма
V 1
%1 (g)
! V 1
# f # f
V 2
%2 (g)
! V 2
коммутативна для всех g 2 G
Докажите, что сплетающие операторы образуют подпространство в пространстве всех отображений V 1 !
V 2 .
Докажите, что композиция сплетающих операторов и обратный к сплетающему оператору | сплетающий
оператор.
Определение 4. Изоморфизмом представлений называется обратимый сплетающий оператор.
Пример 6. Скалярный оператор V ! V коммутирует с любым оператором, а значит является сплетаю-
щим оператором для любого представления любой группы.
Пример 7. Отображение регулярных представлений R ! R 0 , переводящее вектор e g в e 0
g 1
является
изоморфизмом представлений.
Пример 8. Пусть % | представление группы G в пространстве V , v 2 V | произвольный вектор, R |
регулярное представление G. Тогда определен сплетающий оператор R ! V , такой что
e g ! %(g)v для g 2 G:
Определение 5. Подпредставлением называется подпространство, инвариантное относительно действия
группы.
Другими словами, подпредставление | подпространство, само являющееся представлением.
Докажите, что ядро и образ сплетающих операторов | подпредставления.
Определите факторпредставление, то есть действие группы на факторпространстве по подпредставле-
нию.
Определение 6. Представление называется неприводимым, если у него нет нетривиальных подпредста-
влений.
1

2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, 1 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 1
Задача 1. У всякой ли группы есть точное неприводимое представление?
Предложение 1. Всякое неприводимое представление конечной группы | конечномерно.
Действительно, образ отображения из примера 8 является конечномерным подпредставлением.
Теорема 1. (Машке) Пусть основное поле | R или C . Тогда всякое представление конечной группы
изоморфно прямой сумме неприводимых.
Доказательство основано на следующей лемме.
Определение 7. Скалярное произведение на пространстве V представления % группы G называется ин-
вариантным, если
(%(g)v 1 ; %(g)v 2 ) = (v 1 ; v 2 ) для всех v 1 ; v 2 2 V; g 2 G:
Другими словами, элементы G действуют ортогональными/унитарными операторами относительно дан-
ного скалярного произведения.
Лемма 1. На всяком вещественном/комплексном представлении конечной группы существует инвари-
антное скалярное произведение.
Инвариантное скалярное произведение строится так. Пусть (; ) | некоторое скалярное произведение.
Тогда положим
(v 1 ; v 2 ) inv =
X
g2G
(%(g)v 1 ; %(g)v 2 ):
Легко проверить, что (; ) inv инвариантно и положительно определено.
Теорема следует из леммы поскольку для всякого подпредставления V 1  V выполняется V  = V 1  V ?
1
,
где V ?
1
| ортогональное дополнение к V 1 относительно инвариантного скалярного произведения.
Замечание 1. Условие конечности группы существенно. Рассмотрим представление группы Z, при
котором число n действует матрицей
%(n) =
 1 n
0 1

:
Это представление имеет ровно одно нетривиальное подпредставление (общий собственный вектор) и,
тем самым, не может быть разложено в прямую сумму неприводимых. Утверждение леммы 1 также при
этом нарушается.
Таким образом, основная задача | классификация неприводимых представлений. Но можно рассмотреть
и "обратную" задачу | у каких конечных групп бывает точное представление данной размерности. Дру-
гими словами, спрашивается, какие бывают конечные подгруппы у группы GLn .
Докажите, что всякая конечная подгруппа GL 1 (C ) | циклическая.
Известен и ответ для размерности 2. Для простоты избавимся от скаляров.
Теорема 2. (Макки) Всякая конечная подгруппа PGL 2 (C ) | одна из следующего списка:
"Серия An " | циклические группы
"Серия Dn " | группы диэдра (самосовмещений многоугольника)
"E 6 " | группа вращений тетраэдра (A 4 )
"E 7 " | группа вращений куба (S 4 )
"E 8 " | группа вращений икосаэдра (A 5 )
Доказательство этой теоремы сложно, но можно указать, что это за подгруппы. Согласно лемме 1 под-
группы имеет смысл искать внутри PSU 2  PSL 2 .
Задача 2. PSU 2 = SU 2 =fIdg  = SO 3 :
Указанные в теореме подгруппы легко найти внутри SO 3 .