Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an3.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:42:53 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: ic 4603

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 1-й курс, 20 сентября
Определение. Пусть M | множество. Функция  : M  M ! R+
называется расстоянием (или метрикой), если
а) (x; y) = 0 () x = y.
б) она симметрична, (x; y) = (y; x) для любой пары точек x; y 2 M ;
в) выполняется неравенство треугольника: (x; y) + (y; z)  (x; z)
для любой тройки точек x; y; z 2 M .
Множество, снабженное метрикой, называется метрическим про-
странством.
1. Для произвольного множества M положим (x; x) = 0, (x; y) = 1
при x 6= y. Докажите, что определенная таким образом функция явля-
ется метрикой.
2. Докажите, что следующие функции для пространства R n являют-
ся метриками:
а)  2 (x; y) =
pP
i (x i y i ) 2 (пространство R n
2 );
б)  1 (x; y) =
P
i jx i y i j (пространство R n
1 );
в) 1 (x; y) = max i jx i y i j (пространство R n
1 );
г)  p (x; y) = (
P
i jx i y i j p ) 1=p , p > 1 (пространство R n
p );
Докажите, что lim
p!1
 p (x; y) = 1 (x; y). Является ли метрикой  p (x; y)
при p < 1?
3. Опишите, как выглядит шар единичного радиуса в R 2 , R 3 отно-
сительно каждой из приведенных метрик.
Определение. Множество в метрическом пространстве называется огра-
ниченным, если оно содержится в некотором шаре конечного радиуса.
4. Докажите, что объединение двух ограниченных множеств огра-
ничено.
5. На пространстве N натуральных чисел 10@-адическая метрика
задается равенством (a; b) = 10 k , если k | наибольшее такое число,
что последние k цифр чисел a и b совпадают (мы полагаем, что (a; a) =
0, или, другими словами, что у одинаковых чисел совпадает бесконечно
много цифр). Докажите, что  | метрика.
6. Докажите, что на пространстве отрезков на прямой следующие
функции являются метриками:
1

а) ([a; b]; [c; d]) = ja cj + jb dj;
б) (I 1 ; I 2 ) = jI 1 j + jI 2 j 2jI 1 \ I 2 j (где jI j | длина отрезка).
7. Докажите, что всякое подмножество M 1 метрического простран-
ства (M; ) является метрическим пространством относительно метри-
ки  1 , заданной ограничением метрики  на пары точек из M 1 . Такое ме-
трическое пространство называется метрическим подпространством
в M .
8. Зададим функцию  на пространстве пар неотрицательных веще-
ственных чисел, положив (x; y) = 10 n , где n ЂЂЂ номер первого элемен-
та, в котором цепные дроби, представляющие числа x и y, различаются
(в частности, (x; x) = 0 для любого числа x). Верно ли, что функция 
задает метрику?
9. Пусть функция  задает метрику. Верно ли, что функция  2 также
задает метрику на том же множестве?
10. Пусть (M; ) ЂЂЂ метрическое пространство. Введем функцию R
на множестве пар ограниченных подмножеств множества M , положив
R(X; Y ) = sup
x2X;y2Y
(x; y):
Верно ли, что функция R задает метрику? А если изменить ее опреде-
ление, положив ее равной нулю на парах совпадающих множеств?
Определение. Последовательность a n в метрическом пространстве M
с метрикой  называется сходящейся к точке a 2 M , если для любо-
го ">0 существует такое натуральное число N , что 8n>N выполнено
неравенство (a n ; a)<". Последовательность называется фундаменталь-
ной, если для любого ">0 существует такое натуральное число N , что
8n; m>N выполнено неравенство (a n ; am )<".
11. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность фундамен-
тальна.
Метрическое пространство полно, если всякая фундаментальная по-
следовательность сходится. Пополнением пространства M называется
полное пространство f
M , если M  f
M | подпространство, и всякая
точка в f
M является предельной для M .
Проверьте, являются ли полными следующие пространства. Если
нет, определите их пополнения:
12. Пространство M = R с метрикой (x; y) = jarctg x arctgyj.
13. Пространство отрезков на прямой с одной из метрик задачи 6.
14. Сфера x 2 + y 2 + z 2 = 1 в R 3 с обычным расстоянием.
2

15. График функции y = sin 1
x , рассматриваемый как подмножество
плоскости R 2 .
16. Докажите, что у каждого пространства существует, и при том
единственное (с точностью до изоморфизма), пополнение. (Два метри-
ческих пространства называются изоморфными, если существует взаимно-
однозначное отображение одного из них на другое, сохраняющее рас-
стояние.)
17. Пространство O 10 10-адических чисел состоит из формальных
бесконечных последовательностей



a 3 a 2 a 1 a 0 ; a i 2 f0; 1; : : : ; 9g :
Докажите, что O 10 является пополнением пространства N по 10-адической
метрике. Определите сложение, умножение и вычитание в O 10 . (Заме-
тим, что в N вычитание не определено!)
18. Какие элементы пространства (кольца!) O 10 имеют обратные?
(Это такие элементы, на которые можно поделить любой элемент коль-
ца.)
3