Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:42:45 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: rigel

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 1-й курс, 6 сентября
Ниже, до специального объявления, все числа (элементы последова-
тельностей и т. д.) предполагаются рациональными.
Определение. "-окрестностью точки a называется множество точек
U " (a) = fx j a " < x < a + "g. Точка a называется пределом после-
довательности fa n g (обозначение: a = lim a n ), если для любого " > 0
все члены последовательности, начиная с некоторого, находятся в "-
окрестности точки a.
1. Сформулируйте, что означает, что число a не является преде-
лом последовательности fa n g. Докажите, что 1 не является пределом
последовательности f1=ng.
2. Докажите, что у последовательности не может быть больше од-
ного предела.
3. Найдите предел последовательности
a n = 1
1
2
1
2
3
+



1
n
(n + 1)
:
4. Докажите, что если у последовательности fa n g есть предел, то
для любого положительного числа " существует номер K, такой что
ja k a k+1 j < " для всех k  K.
Определение. Точка a называется предельной точкой последователь-
ности fa n g, если в любой "-окрестности точки a, " > 0, найдутся точки
этой последовательности, отличные от a.
5. Докажите, что предел сходящейся последовательности является
единственной ее предельной точкой.
6. Существует ли последовательность, для которой все рациональ-
ные числа являются предельными точками?
Определение. Последовательность fa n g называется фундаменталь-
ной, если для любого " > 0 существует такой номер N , что для всех
n; m > N ja n am j < ".
7. Докажите, что всякая последовательность, имеющая предел, фун-
даментальна.
8. Приведите пример фундаментальной последовательности на мно-
жестве рациональных чисел, не имеющей предела.
9. Докажите, что для любой цепной дроби a 1 + 1
a 2 + 1
a 3 +:::
с натуральны-
ми a i последовательность подходящих цепных дробей A j (полученных
обрывом дроби на j-м месте) фундаментальна.
1

Модели вещественных чисел.
1) Десятичные числа с отношением эквивалентности на хвосты ну-
лей и девяток.
2) Сечения на множестве рациональных чисел.
3) Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей
рациональных чисел (две последовательности эквивалентны, если пре-
дел их разности существует и равен нулю).
Аксиома полноты в множестве вещественных чисел.
1) Любая последовательность вложенных отрезков имеет общую
точку .
2) Любая фундаментальная последовательность имеет предел.
3) Любая монотонно возрастающая ограниченная последователь-
ность имеет предел.
4) Любое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю
грань.
10. Докажите, что эти формулировки аксиомы полноты эквивалент-
ны между собой.
11. Докажите, что ваша любимая модель вещественных чисел удо-
влетворяет аксиоме полноты.
С этого момента все встречающиеся числа (элементы последователь-
ностей и т. д.) предполагаются вещественными, если специально не
оговорено противное.
Определение. Предельной точкой множества называется точка, в
любой "-окрестности которой имеются элементы этого множества.
12. Докажите, что у любой последовательности точек отрезка [0; 1]
имеется предельная точка.
13. Найдите предельные точки множеств
а)
n
2+( 1) n
n
o
; б)
 1
m + 1
n j m; n 2 N

; в) fsin ng.
14. Найдите разложение в цепную дробь <<золотого сечения>> (1 +
p
5)=2.
15. Докажите, что существует предел отношений последовательных
чисел Фибоначчи и найдите его.
16. Докажите, что
а) последовательность a n =
r
1 +
q
1 +


+
p
1
| {z }
n раз
имеет предел и най-
дите его;
2

б) последовательность, заданная соотношением a n+1 =
p
1 + a n , n 
2, a 1 = 1, имеет предел и найдите его.
17. Найдите предел последовательности p k =q k , заданной соотноше-
ниями p 0 = 0; q 0 = 1, p k+1 = p k + q k , q k+1 = 2p k + q k .
18. Последовательность f1 n g задана правилом
1 n = 1
n
(число чисел в множестве f2 0 ; 2 1 ; : : : ; 2 n g; начинающихся с 1):
Докажите, что эта последовательность имеет предел. Найдите его. То
же самое для последовательностей 2 n ; : : : ; 9 n , определенных аналогич-
ным образом.
3