Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an10.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:50:43 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Высший Колледж математики
Математический анализ 1-й курс 8 ноября 2000 года
Определение. Степенным рядом называется выражение вида
P
a k (x a) k , где a |
число, a k | постоянные коэффициенты, а x | переменная. Сумма числового ряда
P
a k (x 0 a) k при фиксированном x 0 (если этот числовой ряд сходится) называется
значением степенного ряда при x = x 0 .
1. При каких x 2 R сходятся ряды
X x k
k
;
X x k
k!
;
X
k! x k ;
X
(2 k + 3 k )x k ?
2. А на множестве Q p p-адических чисел? А на множестве C комплексных чисел?
Теорема. Степенной ряд
P
a k (x a) k либо сходится только при x = a, либо при
всех x, либо для некоторого R сходится при jx aj < R и расходится при jx aj > R.
Определение. Такое число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Всюду ниже a = 0.
Лемма. Если ряд
P a k z k сходится, то ряд
P a k x k сходится для любого x, такого
что jxj < jzj.
Доказательство.
P a k z k сходится ) ja k z k j < C ) ja k x k j = ja k z k j q k 6 Cq k , где
q =
  x
z
  < 1, т.е. ja k x k j мажорируется сходящейся геометрической прогрессией )
P a k x k сходится.
3. Выведите теорему из леммы. Докажите, что
R = sup
n
jzj : последовательность fa k z k g ограниченная
o
:
4. Придумайте ряды, областью сходимости которых является а) ( 1; 1); б) [ 1; 1);
в) ( 1; 1]; г) [ 1; 1].
5. Докажите лемму о мажорируемой сходимости: пусть последовательность сходя-
щихся рядов
P
a (k)
i
сходится почленно. Тогда предельный ряд сходится и
P
i
lim
k!1
a (k)
i
=
lim
k!1
P
i
a (k)
i
при условии, если ряды
P
a (k)
i
мажорируются единым сходящимся рядом,
ja (k)
i
j < c i ,
P c i < 1.
Определение. Если область сходимости степенного ряда состоит более, чем из одной
точки, и значение ряда в любой точке этой области совпадает со значением некоторой
функции f , то ряд называется разложением функции f в области сходимости.
6. Докажите, что сумма степенного ряда непрерывна на множестве сходимости.
7. Докажите, наконец, что
1
P
k=0
x k
k!
= e x .
8. Докажите(-таки!) признаки сходимости Коши и Даламбера и найдите области сходи-
мости рядов
X
x 2 n
;
X x n
2 n + 3 n
;
X 1
3
5


(2n + 1)
2
4
6


2n x n :

9. Найдите области сходимости степенных рядов, полученных из числовых рядов, встре-
чавшихся в предыдущих задачах:
X 1
n 
x n ;
X n 2 10n + 1
n 3 + 17n x n ;
X n 3
n 5 17 x n ;
X 1
n ln n
x n ;
X 1
n ln 2 n
x n ;
X 1
n ln n ln ln n
x n ;
1 1
x +
1
2 x 2 1
2 x 3 +
1
2 x 4 1
2 x 5 +
1
3 x 6



1
3 x 11 +


;
X
b n x n ; где b n | числа Фибоначчи.
10. Пусть ряд
P
a n x n имеет радиус сходимости R. Найдите радиусы сходимости рядов
X
a n b n x n ;
X
a 3
n x n :
Определение. Для степенных рядов
P a k x k и
P b k x k определены их сумма
P (a k +
b k )x k и произведение
P
k
 P k
i=0 a i b k i

x k (которое позволяет разумно определить и
произведение числовых рядов).
11. Пусть ряды
P
a n x n и
P
b n x n имеют радиусы сходимости R и r соответственно. Най-
дите радиус сходимости их суммы. Что можно сказать о радиусе сходимости их про-
изведения?
12. Докажите, что
а) если существует предел lim n
p
ja n j = q, то ряд
P a n x n имеет радиус сходимости
R = q 1 ;
б) в общем случае радиус сходимости степенного ряда выражается формулой R =
q 1 , где q = lim
n!1
n
p ja n j = q.
13. Разложениями каких функций являются ряды
X
x n ;
X 1
n
x n ;
X
nx n 1 ;
X
n(n 1)x n 2 ;
X
b n x n ; где b n | числа Фибоначчи ;
X
cat n x n ; где cat n | числа Каталана.
Определение. Числа Каталана cat n определяются следующим рекуррентным соот-
ношением:
cat 0 = 1; cat n+1 = cat 0 cat n + cat 1 cat n 1 + : : : + cat n cat 0 :
Вот начало этой последовательности: 1; 1; 2; 5; 14; 42; 132; : : :.
Определение. Рациональной функцией называется отношение двух взаимно простых
многочленов P (x)=Q(x).
14. Докажите, что всякая рациональная функция над полем комплексных чисел един-
ственным образом представляется в виде многочлена и суммы элементарных дробей,
т.е. в виде
P (x)
Q(x)
= p(x) + b 1
(x a 1 ) + b 2
(x a 1 ) 2
+ : : : + b  1
(x a 1 )  1
+ : : :
+ c 1
(x a n ) + c 2
(x a n ) 2
+ : : : + c n
(x a n ) n
;

где p | многочлен, a 1 ; : : : ; a n | комплексные числа,  1 ; : : : ;  n | целые положитель-
ные числа.
15. Докажите, что если степенной ряд представляет рациональную функцию, знамена-
тель которой не делится на x, то его радиус сходимости равен расстоянию от нуля
до ближайшего к нулю (вещественного или комплексного) корня многочлена Q.
16.  Докажите, что если каждый из рядов
P a n x n и
P b n x n представляет рациональную
функцию, то то же верно и для ряда
P
a n b n x n .