Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an9.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:44:06 2007 Кодировка: koi8-r

Высший Математический Колледж
Математический анализ 1-й курс 1 ноября 2000 года
Определения. Метрическое пространство M называется линейно связным, если для
любых двух точек a; b 2 M существует непрерывное отображение f : [0; 1] ! M ,
такое, что f(0) = a, f(1) = b.
Пространство M называется связным, если его нельзя представить как объединение
двух непересекающихся непустых открытых подмножеств. Иными словами, если един-
ственными подмножествами, являющимися одновременно открытыми и замкнутыми,
являются M и ;.
1. Докажите, что отрезок является связным и линейно связным.
2. Докажите, что линейно связное пространство связно.
3. Опишите все связные подмножества а) прямой R; б) пространства Q p p-адических
чисел.
4. Пусть Ж  R 2 есть объединение графика функции y = sin 1=x и отрезка x = 0; 1 6
y 6 1. Покажите, что Ж является связным, но не линейно связным пространством.
5. Докажите, что непрерывная функция на связном пространстве принимает все проме-
жуточные значения.
6. Докажите, что образ связного пространства при непрерывном отображении связен.
Имеются следующие три определения компактности (из которых основным является
последнее): пространство M компактно, если
а) M есть замкнутое ограниченное подмножество R n ;
б) из любой последовательность точек в M можно выбрать сходящуюся подпосле-
довательность;
в) из любого покрытия M открытыми подмножествами можно выбрать конечное
подпокрытие.
7. Докажите, что для подмножеств в R n все три опреледения равносильны. Докажи-
те, что для любого метрического пространства M в) ) б) и в) ) M ограничено и
замкнуто.
8. Докажите, что непрерывная функция на компактном пространстве
а) ограниченна;
б) достигает максимума и минимума;
в) равномерно непрерывна.
9. Докажите, что замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
10. Докажите, что если непрерывное отображение компактного пространства взаимно
однозначно, то обратное отображение, заданное на образе исходного, также непре-
рывно.