Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/an6.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:43:21 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п

Высший Колледж Математики
Математический анализ, 1-й курс, 11 октября
Открытые и замкнутые множества
Пусть M есть произвольное метрическое пространство с метрикой .
Определение. Окрестностью точки x 2 M называется произвольный от-
крытый шар U = fy 2 M; (x; y) < rg. Подмножество A  M открыто,
если всякая точка этого множества содержится в A вместе с некоторой
окрестностью.
1. Как выглядит открытое подмножество на прямой R?
2. Открыто ли подмножество в R 2 (точнее, в R 2
2 , R 2
1 и R 2
1 ), заданное
неравенством
a) x + y > 0; б) x 3 + y 3  0; в) (x 2 + y 2 ) 2 < x 2 y 2 ?
3. Покажите, что объединение любого семейства открытых подмно-
жеств открыто. Верно ли то же самое для пересечения открытых мно-
жеств?
Определение. Множество A замкнуто, если оно содержит все свои пре-
дельные точки.
4. Замкнуто ли пересечение любого семейства замкнутых подмножеств?
А объединение?
5. Привести пример множества без предельных точек, для которого inf
расстояний между точками равен нулю.
6. Пусть A  M | открытое подмножество метрического пространства
M , а B  М | замкнутое. Что можно сказать о множествах AnB и B nA?
7. Докажите, что A замкнуто тогда и только тогда, когда дополнение
к A | открыто.
8. Проверьте, что замкнутый шар в 10-адических (p@-адических) чи-
слах открыт.
9. Пусть A  M | произвольное подмножество метрического простран-
ства M .
Определения. Точка x 2 A называется внутренней точкой множества A,
если A содержит некоторую окрестность точки x. Точка x 2 M называется
граничной точкой множества A, если любая ее окрестность содержит точ-
ку, принадлежащую множеству A, и точку, не принадлежащую множеству
A. Множество всех граничных точек множества A называют его границей
и обозначают @A.
10. Верны ли утверждения:
а) Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все
свои граничные точки.
б) Всякая граничная точка множества является его предельной точкой.
1

в) Любая окрестность граничной точки множества A содержит как вну-
тренние, так и внешние (т. е. внутренние дополнения) точки этого множе-
ства.
11. Докажите, что граница @A произвольного множества A является
замкнутым множеством.
12. Докажите, что кривая, заданная уравнением (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2
замкнута, а функция x 13 + y 22 достигает на ней максимума.
13. Докажите, что любое открытое множество на прямой есть объеди-
нение конечного или счетного набора непересекающихся интервалов.
14. Рассмотрим открытые множества на отрезке [0; 1]. Длину открытого
множества A =
S
k
(a k ; b k ) определим формулой
l(A) =
X
k
(b k a k ):
Найдется ли такое открытое множество A, что l(A) < 1, содержащее все
а) рациональные б) иррациональные
точки отрезка?
15. Докажите, что множество предельных точек любой последователь-
ности вещественных чисел замкнуто. Более того, всякое замкнутое множе-
ство на прямой является множеством предельных точек некоторой после-
довательности.
16. Докажите, что из любой последовательности точек а) отрезка [a; b],
б) сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 можно выбрать сходящуюся подпоследователь-
ность.
17. Докажите, что из любого покрытия а) отрезка [a; b], б) сферы x 2 +
y 2 + z 2 = 1 открытыми множествами можно выбрать конечное подпокры-
тие.
18. Верно ли, что любое замкнутое множество на прямой (даже огра-
ниченное) есть объединение конечного или счетного набора непересекаю-
щихся отрезков?
Отображение f : x 7! f1=xg и его свойства
1. Показать, что
P 1
k=1
1
k(k+1)
= 1.
Рассмотрим отображение f : [0; 1] ! [0; 1], где f(x) = f1=xg (рис. 1).
Прообраз отрезка [0; 1] состоит из счетного числа полуинтервалов ( 1
2 ; 1] [
( 1
3 ; 1
2 ] [ ( 1
4 ; 1
3 ] [ : : : Длина k@-го интервала 1
k(k+1)
, а сумма длин всех интер-
валов есть длина отрезка [0; 1], т. е. 1.
Попробуем найти длину jf 1 ([a; b])j, где [a; b]  [0; 1]. Множество f 1 ([a; b])
состоит из счетного числа отрезков.
2. Показать, что jf 1 ([a; b])j =
P 1
k=1
b a
(k+a)(k+b) .
Для некоторых отображений очень легко искать длины прообразов.
3. а) Показать, что если g : [0; 1] ! [0; 1], g(x) = fmxg, m 2 N, то
jg 1 ([a; b])j = j[a; b]j.
2

б) Пусть g : [0; 1] ! [0; 1], g(x) = 1 j2x 1j (рис. 2). Показать, что
jg 1 ([a; b])j = j[a; b]j. (Это простое отображение играет важную роль в тео-
рии динамических систем и даже имеет собственное название: tent map).
Оказывается, что и отображение f обладает подобным свойством, нуж-
но только \правильно" определить, что считать длиной отрезка.
Определение. Пусть (x)-положительная, непрерывная функция, причем
R 1
0 (x)dx = 1 (будем называть (x) плотностью) (рис. 3). Определим j[a; b]j  =
R b
a
(x)dx:
Заметим, что для того, чтобы получить \обычную" длину, надо взять
(x) = 1:
Теорема (Гаусс). Пусть f : [0; 1] ! [0; 1], f(x) = f1=xg (рис. 1). Тогда если
(x) = 1
ln 2
1
1+x , то для любого отрезка [a; b]  [0; 1] jf 1 ([a; b])j  = j[a; b]j  .
Следствие.
P 1
k=1
b a
(k+a)(k+b) = j[a; b]j  =
R b
a
( 1
ln 2
1
1+x )dx = 1
ln 2
ln(1+b)
ln(1+a) .
4. Пусть h : [0; 1] ! [0; 1]-кусочно-линейное отображение, "похожее" на
отображение f , а именно: h(x) = (k + 1)(1 kx) при x 2 ( 1
k+1
1
k
]: Найти
jh 1 ([a; b])j.
3