Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/calcex1.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:29:52 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п

Анализ-2000. 3 семестр, листок 1
Всюду в этом листке слово ЂгладкийЃ означает Ђгладкий класса C 1 Ѓ.
Введите естественную структуру многообразия на приводимых ни-
же множествах X . Найдите размерности этих многообразий.
1. X = SO(n)  Mat n (R) | множество ортогональных матриц размера
nn с действительными элементами и определителем 1. (На самом деле,
как известно, SO(n) | группа.)
2. X = G(n; k) | множество k-мерных векторных подпространств в R n .
(Это многообразие называется грассманианом.)
3. Пусть M | многообразие. X = TM = f(x; v) j x 2 M; v 2 T x Mg.
(Многообразие TX называется касательным расслоением многообра-
зия X ; введя на TX структуру многообразия, убедитесь, что естествен-
ная проекция p : TX ! X | гладкое отображение.)
4. X  Mat n (R) | множество матриц размера n  n ранга k.
5. Пусть f 2 C [x 1 ; : : : ; x n ], p 2 C n , f(p) = 0, но не все частные произ-
водные @f=@x j обращаются в 0 в p. Положим X = fx j f(x) = 0g \ U ,
где U | достаточно малая окрестность p.
6. Опишите касательные пространства к SL(n) и SO(n) в точке, соот-
ветствующей единичной матрице.
В трех следующих задачах нужно вычислить D v (f; U) для заданного
многообразия, касательного вектора v и ростка заданной функции f в
точке p 2 M .
7. M = RP 2 . Пусть (x 1
: x 2
: x 3
) | однородные координаты в RP 2 .
Функция f задается соотношением
f(x 1
; x 2
; x 3
) = x 1 x 2 x 3
x 3
1
+ x 3
2
+ x 3
3
:
Точка p = (0; 0; 1), вектор v 2 T p M задается кривой : t 7! (t : t 2 :
(1 t) 3 ).
8. M = SO(3), f(X) = Tr X , p = I . Вектор v 2 T p M задается следую-
щей кривой . Точка из SO(3) определяется однозначно ортогональным
репером, пусть (t) определяется репером, полученным из стандартно-
го координатного репера поворотом на угол t относительно прямой
x = y = z.
9. M = f(x; y) 2 C 2 j y 2 = x 3 + x + 1g \ V , V | достаточно малая
окрестность p = ( 1; i). f = jxj 2 + jyj 2 , касательный вектор задается
кривой , где (t) = (x(t); y(t)), y(t) = i(1 + t), x(t) | вещественный
корень уравнения x 3 + x + 1 + (1 + t) 2 = 0.
1

10. Пусть G(V; k) | грассманиан k-мерных подпространств в вектор-
ном пространстве V (см. задачу 2),  2 G(V; k), W  2 V | k-мерное под-
пространство, соотвествующее точке . Докажите, что T  G(n; k) есте-
ственно изоморфно Hom(W  ; V=W  ) (построенный вами изоморфизм не
должен зависеть от произвольных выборов, например, от выборов ба-
зисов в V или V  ).
11. Рассмотрим гладкое подмногообразие M  R n (dim M = k) и точ-
ку p 2 M . Докажите, что T p M естественно изоморфно множеству ~
T p ,
определяемому как
~
T p = fv j (p + tv; M) = o(t)g;
где (x; M) = inf y2M jx yj.
В трех следующих задачах требуется описать производную отобра-
жения многообразий f : X ! Y в данной точке p 2 X .
12. X = Y = SO(n), f : g ! g 1 , p | единичная матрица.
13. Пусть V 2  V 1 | векторное пространство и его подпространство,
X = G(V 1 ; k), Y = G(V 2 ; k), f : X ! Y | отображение, ставящее под-
пространству пространства V 1
его же, рассматривоемое как подпро-
странство в V 2 , p | точка, соответствующая подпространству W  V 1 .
14. X = Y = G(V; k), f переводит W в AW , где A 2 GL(V ).
2