Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/calcca7.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:29:42 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

А. М. В е р б о в е ц к и й , И. С. К р а с и л ь щ и к
Дифференциальное исчисление в коммутативных алгебрах
Листок 7
О п р е д е л е н и е 1. Элемент P 2 D 2 (A) называется пуассоновой структурой, ес-
ли [[P; P]] = 0. Пара (A; P) называется пуассоновой алгеброй, а операция (a; b) 7!
fa; bg P = P(a; b), a, b 2 A, {{ скобкой Пуассона, ассоциированной со структурой P.
З а д а ч а 1. Докажите, что P 2 D 2 (A) является пуассоновой структурой тогда и
только тогда, когда соответствующая скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби.
З а д а ч а 2. Пусть P 2 D 2 (A). Определим оператор @P : D i (A) ! D i+1 (A), полагая
@P (
) = [[P;
]],
2 D i (A). Предположим, что алгебра A такова, что в ней можно
сокращать на 2, т. е. из 2a = 0 следует, что a = 0, a 2 A. Докажите, что в этом случае
следующие утверждения эквивалентны:
1) P {{ пуассонова структура;
2) @P ф @P = 0;
3) @P (@ P (a)) = 0 для любого a 2 A.
О п р е д е л е н и е 2. Комплекс
0 !A @ P
! D 1 (A) ! : : : !D i (A) @ P
! D i+1 (A) !: : :
называется пуассоновым комплексом алгебры A, а его когомологии {{ пуассоновыми ко-
гомологиями и обозначаются H  (A; P) =
L
i>0 H i (A; P).
З а д а ч а 3. Докажите, что дифференциал @P обладает следующими свойствами:
1) @P(
^ r) = @P (
) ^ r+ ( 1)
1
^ @P (r);
2) @P [[
; r]] = [[@ P(
); r]] + ( 1)
[[
; @P (r)]],

, r 2 D  (A), и, следовательно, H  (A; P) наследует структуру градуированной ал-
гебры относительно внешнего умножения и градуированной алгебры Ли относительно
скобки Схоутена.
О п р е д е л е н и е 3. Пусть (A; P) {{ пуассонова алгебра.
1) Множество
ZP (A) = f a 2 A j fa; bg P = 0; 8b 2 A g
называется пуассоновым центром алгебры A.
2) Дифференцирование вида H a = fa;
g называется гамильноновым с гамильтониа-
ном a 2 A. Множество гамильтоновых дифференцирований обозначается Ham(A;P) 
D 1 (A).
3) Дифференцирование X 2 D 1 (A) называется каноническим, если Xfa; bg = fXa; bg+
fa; Xbg для всех a, b 2 A. Множество канонических дифференцирований обознача-
ется Can(A; P)  D 1 (A).
З а д а ч а 4. Пусть (A; P) {{ пуассонова алгебра. Докажите, что:
1) Ее пуассонов центр является подалгеброй в A.
2) Can(A; P) является |-подалгеброй Ли в D 1 (A), а Ham(A;P) {{ идеалом в Can(A; P).
1

О п р е д е л е н и е 4. Пусть P {{ пуассонова структура в алгебре A. Формальный ряд
P t = P + tP 1 + : : : + t i P i + : : :
P i 2 D 2 (A), называется формальной деформацией структуры P, если [[P t ; P t ]] = 0.
Элемент P 1 называется инфинитезимальной деформацией. Инфинитезимальная дефор-
мация называется тривиальной, если она имеет вид P 1 = [[P; X]] для некоторого
X 2 D 1 (A).
З а д а ч а 5. Пусть (A; P) {{ пуассонова алгебра. Докажите, что:
1) H 0 (A; P) = ZP (A);
2) H 1 (A; P) = Can(A; P)
ф
Ham(A;P);
3) H 2 (A; P) совпадает с множеством классов эквивалентности инфинитезимальных
деформаций по модулю тривиальных;
4) если H 3 (A; P) = 0, то всякая инфинитезимальная деформация может быть про-
должена до формальной.
З а д а ч а 6. Пусть g {{ алгебра Ли и U g
{{ ее универсальная обертывающая. Обозначим
через S g
соответствующую градуированную алгебру.
1) Покажите, что S g обладает естественной пуассоновой структурой. Обозначим ее
через P g .
2) Опишите пуассонов центр алгебры S g
.
3) Докажите, что если g {{ полупростая алгебра Ли, то H 1 (S g
; P g
) = 0.
4) Опишите когомологии H i (S g
; P g
) в терминах когомологий алгебры Ли g.
З а д а ч а 7. Поскольку отображение @P : A ! D 1 (A) {{ дифференцирование, имеет
место гомоморфизм ' 1
P :  1 (A) ! D 1 (A). Положим ' 0
P = id A : A ! A, а для i > 1
определим ' i
P :  i (A) ! D i (A) по индукции, полагая
' i
P (! ^ ) = ' 
P (!) ^ ' 
P (); ! 2   (A);  2   (A); ;  < i:
Докажите, что диаграмма
: : : !  i (A) d
!  i+1 (A) ! : : :
' i
P
? ? y
? ? y' i+1
P
: : : ! D i (A) @ P ! D i+1 (A) ! : : :
коммутативна и, таким образом, ' 
P индуцирует гомоморфизм H  (A) ! H  (A; P), где
H  (A) {{ когомологии де Рама.
З а д а ч а 8. Пуассонова структура P называется невырожденной, если все отобра-
жения ' i
P являются изоморфизмами.
1) Докажите, что если A {{ гладкая алгебра, то структура P является невырожденной
тогда и только тогда, когда ' 1
P {{ изоморфизм.
2) Со всякой невырожденной структурой P можно связать
2-форму
определяемую
равенством ' 2
P(
= P. Пусть P {{ пуассонова структура на SmblA, определен-
ная в Листке 1. Докажите, что если A = C 1 (M) {{ алгебра гладких функций на
многообразии M , то соответствующая форма совпадает с канонической формой
dp ^ dq на T  M .
З а д а ч а 9. Докажите, что для невырожденной структуры P скобка, индуцирован-
ная в H  (A; P) скобкой Схоутена (см. задачу 3), тривиальна. Покажите, что требование
невырожденности существенно.
2

О п р е д е л е н и е 5. Две пуассоновы структуры P и P 0 называются совместными
(или коммутирующими), если [[P; P 0 ]] = 0.
З а д а ч а 10. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1) P и P 0 {{ коммутирующие структуры;
2) P + P 0 {{ пуассонова структура для всех ,  2 |;
3) [@ P ; @P 0
] = 0;
4) @P (@ P 0 (a)) = @P 0 (@ P (a)) для любого элемента a 2 A.
З а д а ч а 11. Пусть V {{ |-модуль, наделенный двумя структурами алгебры Ли, g и
h. Тогда в симметрической алгебре S(V ) возникают две пуассоновы структуры (см. за-
дачу 6). Выпишите условия коммутирования этих структур в терминах алгебр Ли g и
h.
З а д а ч а 12 (теорема Магри). Пусть P и P 0 {{ коммутирующие пуассоновы струк-
туры, причем H 1 (A; P 0 ) = 0. Предположим, что существуют такие элементы a 1 , a 2 2 A,
что P(a 1 ) = P 0 (a 2 ). Докажите, что в этом случае существуют такие элементы a s , s > 3,
что
1) P(a s ) = P 0 (a s+1 ), s > 1;
2) все пары элементов a s , a t находятся в инволюции относительно обеих структур, то
есть fa s ; a t gP = fa s ; a t gP 0 = 0 для всех s, t > 1.
3