Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/calcca4.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:29:35 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п р п

А. М. В е р б о в е ц к и й , И. С. К р а с и л ь щ и к
Дифференциальное исчисление в коммутативных алгебрах
Листок 4
З а д а ч а 1. Вычислите гомологии Diff-комплекса Спенсера для алгебр из задач 8 и 9
в Листке 1.
О п р е д е л е н и е 1. Алгебра A называется гладкой, если
1) A есть Q-алгебра.
2)  1 является проективным модулем конечного типа.
З а д а ч а 2. Докажите, что если A {{ гладкая алгебра, то алгебра дифференциальных
операторов Diff(A) мультипликативно порождена дифференцированиями и оператора-
ми нулевого порядка.
З а д а ч а 3. Покажите, что для гладких алгебр имеют место следующие изоморфизмы
A-модулей:
1) D k (P ) = D k
(A)
A P .
2) D k (A) = D 1 (A) ^ : : : ^ D 1 (A)
| {z }
k раз
.
3) Diff(P ) =
Diff(A)
A P .
З а д а ч а 4. Покажите, что для гладких алгебр имеют место следующие утверждения:
1) Алгебра символов SmblA изоморфна симметрической алгебре
L
k S k (D 1 (A)) моду-
ля D 1 (A), где S k обозначает k-ю симметрическую степень.
2) Имеет место изоморфизм Smbl(A)-модулей SmblP =
SmblA
A P .
О п р е д е л е н и е 2. Пусть P {{ A-модуль. Его модулем косимволов порядка k называ-
ется ядро проекции J k (P ) !J k 1 (P ):
0 ! Cosmbl k P !J k (P ) !J k 1 (P ) ! 0:
З а д а ч а 5. Докажите, что если A {{ гладкая алгебра, то
1) Cosmbl k P = Cosmbl k
A
A P .
2) Cosmbl k A = S k ( 1 ).
З а д а ч а 6. Докажите, что Diff-операторы Спенсера согласованы с естественными
вложениями  k : Diff +
k P ! Diff +
k+1 P , т. е. коммутативны диаграммы
D i Diff +
k P S
! D i 1 Diff +
k+1 P
D i ( k 1 )
x ? ?
x ? ?D i 1 ( k )
D i Diff +
k 1 P S
! D i 1 Diff +
k P
З а д а ч а 7. Из задачи 6 следует, что существует комплекс
: : : ! D i Diff +
k P
D i Diff +
k 1 P
ф P
! D i 1 Diff +
k+1 P
D i 1 Diff +
k P
! : : : (1)
Пусть A {{ гладкая алгебра. Покажите, что в этом случае комплекс (1) изоморфен ком-
плексу
: : : !D i Smbl k P ф P
! D i 1 Smbl k+1 P ! : : : ; (2)
1

причем дифференциал ф P действует по правилу
ф P (X 1 ^ : : : ^ X
i

p) =
i
X
j=1
( 1) i j X 1 ^ : : : ^ X j 1 ^ X j+1 ^ : : : ^ X
i
X j


p;
где X 1 ; : : : ; X i 2 D 1 (A),  2 Smbl k A, p 2 P (см. задачи 3 и 4).
О п р е д е л е н и е 3. Комплекс (2) называется ф-комплексом Спенсера, а его гомоло-
гии {{ ф-гомологиями Спенсера модуля P и обозначаются H ф
i;k (P ).
З а д а ч а 8. Докажите, что если алгебра A гладкая, то ф-комплексы ацикличны. По-
лучите отсюда ацикличность Diff-комплексов.
Подсказка. Для получения первого результата докажите его сначала в случае, когда
 1 {{ свободный модуль, а затем воспользуйтесь тем, что всякий проективный модуль
является прямым слагаемым в свободном. Второй результат вытекает по индукции из
первого, если воспользоваться точной последовательностью тройки.
З а д а ч а 9. Пусть
: P ! Q {{ дифференциальный оператор порядка 6 l. Тогда
его Diff-продолжения определяют семейство A-гомоморфизмов ' k

: Diff +
k P ! Diff +
k+l Q
(см. Листок 1). Докажите, что диаграммы
D i Diff +
k P S P ! D i 1 Diff +
k+1 P
D i (' k

)
? ? y
? ? yD i 1 (' k+1

)
D i Diff +
k+l Q SQ
! D i 1 Diff +
k+l+1 Q
коммутативны, S P , SQ {{ Diff-операторы Спенсера.
Покажите также, что если A {{ гладкая алгебра, то коммутативны диаграммы
D i Smbl k P ф P ! D i 1 Smbl k+1 P
D i ( k (
))
? ? y
? ? yD i 1 ( k+1 (
))
D i Smbl k+l Q
ф Q
! D i 1 Smbl k+l+1 Q
(3)
где отображения  k (
) : Smbl k (P ) ! Smbl k+l (Q) определяются формулой  k (
)(s) =
Sm k+l (
ф r) для любого s = Smr 2 Smbl k P .
Таким образом, с каждым линейным дифференциальным оператором можно связать
ядерный и коядерный Diff- и ф-комплексы Спенсера.
З а д а ч а 10. Докажите, что если алгебра A гладкая, то гомологии соответствующих
ядерных и коядерных комплексов совпадают с точностью до сдвига градуировки.
О п р е д е л е н и е 4. Гомологии коядерного комплекса, соответствующего диаграмме (3),
называются ф-гомологиями Спенсера оператора
и в члене coker D i ( k (
)) обознача-
ются через H ф
i;k (
).
З а д а ч а 11. Введем в A-модулях D i SmblP структуру Smbl(A)-модулей:
(sr)(a 1 ; : : : ; a i ) = sr(a 1 ; : : : ; a i ); s 2 SmblA; r 2 D i SmblP; a 1 ; : : : ; a i 2 A:
Докажите, что
1) отображения D i ((
)) : D i SmblP ! D i SmblQ являются гомоморфизмами Smbl(A)-
модулей;
2) для любого s 2 SmblA и r 2 D i SmblP имеет место равенство
ф P (sr) = sф P (r):
2

Из сказанного, в частности, следует, что ф-гомологии Спенсера оператора
наследу-
ют структуру Smbl(A)-модуля.
З а д а ч а 12 (ф-лемма Пуанкаре). Пользуясь полученными результатами, докажите сле-
дующий фундаментальный факт:
Если A {{ гладкая нетерова алгебра над полем нулевой характеристики и Q {{ модуль
конечного типа, для любого оператора
: P ! Q найдется такое число k 0 , что H ф
i;k (
) =
0 для всех i > 0 и k > k 0 .
3