Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/calcca3.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:29:11 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п р п р п

А. М. В е р б о в е ц к и й , И. С. К р а с и л ь щ и к
Дифференциальное исчисление в коммутативных алгебрах
Листок 3
О п р е д е л е н и е 1. |-линейное отображение r :
A
k ! P называется кососимметри-
ческим полидифференцированием алгебры A со значениями в A-модуле P , если выпол-
нены следующие условия:
1) r(a 1 ; : : : ; a i ; a i+1 ; : : : ; a k ) +r(a 1 ; : : : ; a i+1 ; a i ; : : : ; a k ) = 0;
2) r(a 1 ; : : : ; a i 1 ; ab; a i+1 ; : : : ; a k ) =
= ar(a 1 ; : : : ; a i 1 ; b; a i+1 ; : : : ; a k ) + br(a 1 ; : : : ; a i 1 ; a; a i+1 ; : : : ; a k )
для всех a, b, a 1 ; : : : ; a k 2 A и любого i, 1 6 i 6 k.
Множество всех кососимметрических k-дифференцирований образует A-модуль, обо-
значаемый D k (P ): для любых r 2 D k (P ) и a 2 A положим (ar)(a 1 ; : : : ; a k ) = ar(a 1 ; : : : ; a k ).
По определению, D 0 (P ) = P .
З а д а ч а 1. Докажите, что определение 1 равносильно следующему <<функториально-
му>> определению модулей D k (P ).
О п р е д е л е н и е 2. Предположим, что для всех i 6 k построены функторы D i на
категории A-модулей и мономорфные естественные 1 операторы первого порядка i =
i (P ) : D i (P ) ! D i 1 (Diff +
1 (P )). Рассмотрим композицию
D k (Diff +
1 (P )) k
! D k 1 (Diff +
1 (Diff +
1 (P ))) D k 1 (c 1;1 )
! D k 1 (Diff +
2 (P ))
и определим D k+1 (P ) как ее ядро. Структуру A-модуля на D k+1 (P ) введем воспользо-
вавшись следующей конструкцией.
З а д а ч а 2. Пусть F {{ |-линейный 2 функтор из категории A-модулей в категорию
|-модулей. Покажите, что в |-модуле F(P ) можно ввести структуру A-модуля, положив
a_q = (F(a))(q), где q 2 F(P ) и F(a) : F(P ) ! F(P ) {{ гомоморфизм, соответствующий
умножению на a: p 7! ap, p 2 P . Обозначим полученный таким способом модуль через
F_(P ). Докажите, что любое естественное преобразование
(P ) : F(P ) ! G(P ) индуци-
рует естественный гомоморфизм A-модулей
_(P ) : F_(P ) ! G_(P ) (и, таким образом,
его ядро всегда является A-модулем).
З а д а ч а 3. Докажите, что вложение k+1 (P ) : D k+1 (P ) ! D k (Diff +
1 (P )) является есте-
ственным дифференциальным оператором первого порядка.
Таким образом, D k и k определены по индукции для всех k.
З а д а ч а 4. Докажите, что следующее, третье, определение модулей D k (P ) корректно
и эквивалентно двум предыдущим.
1 Отображение
=
(P ) : F(P ) ! G(P ), где F и G {{ функторы из категории A-модулей в кате-
горию |-модулей, называется естественным, если для любого гомоморфизма A-модулей f : P ! Q
коммутативна диаграмма
F(P )
(P )
! G(P )
f(P )
?
?
y
?
?
y f(Q)
F(Q)
(Q)
! G(Q)
2 т. е. отображения FP;Q : HomA (P; Q) ! Hom| (F(P ); F(Q)) линейны над |для всех A-модулей P и Q.
1

О п р е д е л е н и е 3. Построим по индукции последовательность A-модулей D k (P ) и
мономорфных дифференциальных операторов D k (P ) ! (Diff +
1 ) k (P ) порядка 6 1:
D k+1 (P ) = D 1 (D k (P )  (Diff +
1 ) k (P ));
D k+1 (P )  D 1 ((Diff +
1 ) k (P ))  (Diff +
1 ) k+1 (P );
где D 1 (D k (P )  (Diff +
1 ) k (P )) = f r 2 D 1 ((Diff +
1 ) k ) j imr  D k (P ) g, а структура A-
модуля на D k+1 (P ) индуцирована A-модульной структурой на D k (P ).
О п р е д е л е н и е 4. Дифференциальный оператор S : D k (Diff +
l (P )) ! D k 1 (Diff +
l+1 (P ))
порядка 6 1 равный композиции
D k (Diff +
l (P )) k
! D k 1 (Diff +
1 (Diff +
l (P ))) D k 1 (c 1;l )
! D k 1 (Diff +
l+1 (P ))
называется Diff-оператором Спенсера.
З а д а ч а 5. Покажите, что если r 2 D k (Diff +
l (P )), то
(S(r))(a 1 ; : : : ; a k 1 )(a) = r(a 1 ; : : : ; a k 1 ; a)(1):
З а д а ч а 6. Докажите, что S 2 = 0, т. е. последовательность операторов
0 P D
Diff + (P ) S
D 1 (Diff + (P )) S
D 2 (Diff + (P )) : : :
является комплексом (Diff-комплекс Спенсера).
З а д а ч а 7. Докажите, что функтор D k представим, D k (P ) = Hom( k ; P ), причем
представляющий объект  k есть k-я внешняя степень модуля  1 .
З а д а ч а 8. Покажите, что представляющим объектом для функтора D k (Diff +
l )_ слу-
жит модуль J l ( k ).
О п р е д е л е н и е 5. Оператор d = ' d ф j 1 :  k !  k+1 , где ' d : J 1 ( k ) !  k {{ гомо-
морфизм представляющих объектов, отвечающий естественному преобразованию функ-
торов k+1 : D k+1 ! D k (Diff +
1 )_, называется оператором де Рама.
З а д а ч а 9. Докажите, что гомоморфизмы ' d
l : J l+1 ( k ) ! J l ( k+1 ), порожденные
оператором d, двойственны Diff-операторам Спенсера.
З а д а ч а 10. Докажите, что  k+1 = coker ' d
1 , где ' d
1 : J 2 ( k 1 ) !J 1 ( k ).
З а д а ч а 11. Докажите, что d 2 = 0, т. е. последовательность
0 !A d
! 1 d
! 2 ! : : : ! k d
! k+1 !: : :
является комплексом (комплекс де Рама).
З а д а ч а 12. Из определения 1 следует, что для всякокго модуля P имеет место вло-
жение D k+l (P )  D k (D l (P )). Покажите, что эти вложения определяют естественное пре-
образование функторов D k+l ) D k D l , а соответствующий ему гомоморфизм предста-
вляющих объектов 
l
A  k !  k+l является внешним умножением.
З а д а ч а 13. Докажите, что для любых ! 2  k и  2  l имеет место равенство
d(! ^ ) = d! ^  + ( 1) k ! ^ d
(правило Лейбница).
З а д а ч а 14. Пусть A = C 1 (R). Покажите, что de x e x dx 6= 0.
2

О п р е д е л е н и е 6. Пусть M {{ гладкое многообразие. Модуль P над C 1 (M) называ-
ется геометрическим, если
\
x2M
 x P = 0;
где  x {{ идеал в C 1 (M ), состоящий из функций, обращающихся в нуль в точке x 2 M .
З а д а ч а 15. Пусть A = C 1 (M ). Покажите, что модуль  1 не является геометриче-
ским.
З а д а ч а 16. Пусть P {{ C 1 (M)-модуль и
G (P ) = P
.\
x2M
 x P:
Докажите, что G (P ) {{ геометрический модуль, а соответствие P ) G (P ) {{ функтор из
категории всех C 1 (M)-модулей в категорию G (M) геометрических C 1 (M)-модулей.
З а д а ч а 17. Покажите, что категория геометрических модулей G (M) замкнута от-
носительно тензорного произведения над C 1 (M) и относительно действия функторов
Diff (+)
k (P;
), Diff (+)
k (
; Q) и D k (
).
З а д а ч а 18. Докажите, что функторы Diff +
k (
; Q), Diff k (P;
) и D k (
) представимы в
категории геометрических модулей G (M) и найдите их представляющие объекты (P и
Q {{ геометрические модули).
З а д а ч а 19. Убедитесь, что комплекс де Рама, построенный в категории геометри-
ческих модулей G (M) изоморфен обычному комплексу де Рама на многообразии M .
3