Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f00/notes/calcca2.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 19:29:05 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п п р п

А. М. В е р б о в е ц к и й , И. С. К р а с и л ь щ и к
Дифференциальное исчисление в коммутативных алгебрах
Листок 2
О п р е д е л е н и е 1. Рассмотрим A-модуль P и тензорное произведение
A
| P . В этом
тензорном произведении введем структуру A-модуля, положив
a(b
p) =
(ab)
p; a; b 2 A; p 2 P;
и рассмотрим |-линейное отображение  : P !
A
| P , определенное формулой (p) =
1
p. Обозначим через  k подмодуль в
A
| P , порожденный элементами вида (ф a 0 ;:::;a k
())(p),
для всех a 0 ; : : : ; a k 2 A и p 2 P . Фактормодуль
(A
|P )= k называется модулем k-
джетов модуля P и обозначается J k (P ).
З а д а ч а 1. Докажите, что отображение j k : P ! J k (P ), сопоставляющее элементу
p 2 P класс смежности
[1
p] в
(A
| P )= k , является дифференциальным оператором
порядка 6 k.
З а д а ч а 2. Докажите, что для каждого дифференциального оператора
2 Diff k (P; Q)
существует единственным образом определенный гомоморфизм '
: J k (P ) ! Q, обла-
дающий свойством
= '
ф j k , так что модуль k-джетов J k (P ) является представля-
ющим объектом для функтора P ) Diff k (P;
), Diff k (P; Q) = HomA (J k (P ); Q).
З а д а ч а 3. Рассмотрим гомоморфизм c k;l универсальной кокомпозиции, определен-
ный диаграммой
P j l
! J l (P )
j k+l
?
?
y
?
?
y j k
J k+l (P ) c k;l
! J k J l (P )
(см. задачи 1 и 2).
1) Докажите, что он задает естественное преобразование функторов J k+l )J k J l .
2) Сформулируйте и докажите его коассоциативность.
З а д а ч а 4. Jet-продолжения
l : P !J l (Q) дифференциального оператора
: P !
Q порядка 6 k определяются как композиции
l = j l ф
. Эти продолжения порождают
серию гомоморфизмов, определяемых коммутативной диаграммой
J k+l (P ) j k+l
P
'

l
?
?
y
?
?
y

J l (Q) j l
Q
Пусть A = P = Q = C 1 (R n ). Выпишите координатное представление операторов
l и
гомоморфизмов '

l .
О п р е д е л е н и е 2. Элемент X 2 Hom| (A; P ) называется дифференцированием алге-
бры A со значениями в модуле P , если он удовлетворяет правилу Лейбница
X(ab) = aX(b) + bX(b); a; b 2 A:
Совокупность всех дифференцирований обозначается через D(P ).
1

З а д а ч а 5. Проверьте, что всякое дифференцирование является дифференциальным
оператором порядка 6 1 и D(P ) является подмодулем в Diff 1 (P ), D(P )  Diff 1 (P ).
З а д а ч а 6. Пусть отображение i k : A ! J k (A) сопоставляет элементу a 2 A класс
смежности
[a
1] (ср. с задачей 1). Положим  1 = J 1 (A)= im i 1 и определим отображение
d : A !  1 как композицию j 1 с естественной проекцией J 1 (A) !  1 . Докажите, что:
1) i k {{ мономорфизм A-модулей.
2) d {{ дифференцирование.
3) Для каждого дифференцирования X 2 D(P ) существует единственным образом
определенный гомоморфизм ' X :  1 ! P , обладающий свойством X = ' X ф d, так
что модуль 1-форм  1 является представляющим объектом для функтора P )
D(P ), D(P ) = HomA( 1 ; P ).
З а д а ч а 7. Докажите, что J 1 (A) = A  1 .
2