Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/mathsc/mathsc.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:01:06 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 06:31:10 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: m 2
|
На главную страницу
Программа "Матшкольник"
Образцы задач
[Gzipped piostscript; may be viewed directly
by some versions of ghostview (81K)
Zipped postscript (81K)]
Нижеследующая программа примерно соответствует уровню знаний
сильного выпускника математической школы высокого уровня, и
именно на этой программе основан летний вступительный
экзамен. Вступительный экзамен, проводимый в сентябре, напротив,
не требует познаний, выходящих за рамки школьной программы;
предполагается, что студенты, поступившие к нам по результатам
сентябрьского экзамена, освоят материал программы "Матшкольник"
по ходу дела.
Если вы владеете этой программой --- вы точно потенциальный
студент НМУ (математического колледжа). Если нет, но вы готовы
много работать - приходите, попробуйте, мы постараемся вам
помочь. "Нагнать отставание" по этой программе не
невозможно (есть примеры), хотя и очень трудно.
Кольцо целых чисел. Кольца и поля вычетов
- Делимость целых чисел.
- Арифметика остатков.
- Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- Взаимно простые числа.
- Алгоритм Евклида.
- Решение уравнений вида ax+by=c.
- Основная теорема арифметики и ее следствия.
- Бесконечность множества простых чисел.
- Теорема Ферма--Эйлера.
Кольцо многочленов
- Деление многочленов с остатком.
- Теорема Безу.
- Корни многочленов и разложение на множители.
- Конечность числа корней.
- Многочлены, совпадающие как функции, имеют равные
коэффициенты.
- Интерполяция: существование и единственность.
- Квадратный трехчлен. Формула корней.
- Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
- НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.
- Однозначность разложения на неприводимые (для R[x]).
- Производная и кратные корни.
- Симметрические многочлены.
Поле комплексных чисел
- Комплексные числа и операции над ними.
- Возможность и однозначность деления.
- Сопряженные числа.
- Основная теорема алгебры (формулировка).
Следствие: всякий многочлен из R[x] разлагается на
линейные и квадратные множители в R[x].
- Тригонометрическая форма комплексного числа.
- Геометрический смысл умножения.
Комбинаторика. Группа перестановок
- Перестановки.
- Размещения с повторениями.
- Размещения.
- Сочетания.
- Бином Ньютона.
- Треугольник Паскаля.
- Формула включений и исключений.
- Умножение перестановок.
- Четные и нечетные перестановки.
- Разложение перестановок в произведение циклов.
Теория множеств
- Счетные множества.
- Произведение и сумма счетных множеств.
- Если A бесконечно, а B счетно,
то объединение A и B
равномощно A.
- Теорема Кантора--Бернштейна (формулировка).
- Пример несчетного множества.
- Теорема Кантора (для всякого множества существует множество
большей мощности).
- Равномощность прямой и плоскости.
Последовательности и пределы
- Предел последовательности.
- Единственность предела.
- Теорема о двух милиционерах.
- Предел суммы, разности, произведения и частного.
- Предел отношения показательной и степенной функций.
Свойства действительных чисел
- Точная верхняя грань.
- Вложенные отрезки.
- Предел монотонной ограниченной последовательности.
- Критерий Коши.
- Покрытие отрезка интервалами.
- Существование иррациональных чисел.
- Несчетность множества действительных чисел.
Числовые ряды
- Сходимость и абсолютная сходимость.
- Сумма и произведение рядов.
- Признак сравнения.
- Интегральный признак.
- Геометрическая прогрессия.
- Гармонический ряд.
Непрерывность на прямой
- Различные определения непрерывной функции на прямой.
- Достижение максимума.
- Прохождение нуля.
- Равномерная непрерывность.
- Непрерывность элементарных функций (многочлены,
тригонометрические функции, логарифм).
Дифференцирование на прямой
- Определение производной.
- Производные суммы, произведения, частного.
- Производная сложной функции.
- Производные элементарных функций.
- Теоремы Ролля и Лагранжа.
- Монотонность и первая производная.
- Выпуклость и вторая производная.
- Применение выпуклости к доказательству неравенств.
- Формула Тейлора.
Интеграл
- Интеграл непрерывной функции по отрезку.
- Первообразная непрерывной функции.
- Теорема Ньютона--Лейбница.
- Интегрирование по частям и замена переменной.
Группы преобразований плоскости и их комплексный смысл
- Движения: перенос, поворот, симметрии.
- Вычисление композиций различных видов движений.
- Формулировка теоремы Шаля о классификации движений.
- Преобразования подобия.
- Композиции гомотетий и движений.
- Дробно-линейные преобразования комплексной плоскости.
- Инверсия.
Геометрия векторных пространств
- Координатное пространство и его подпространства.
- Системы линейных уравнений и их геометрический смысл.
- Теорема: однородная система, в которой неизвестных больше,
чем уравнений, имеет ненулевое решение.
- Линейная зависимость.
- Базисы. Размерность.
- Пересечение и сумма подпространств: соотношение размерностей.
- Скалярное произведение.
- Неравенство Коши--Буняковского.
- Неравенство треугольника.
- Угол между векторами.