На главную страницу НМУ

[Second semester|Third semester]

С.М.Львовский

Анализ 1 курс 1 семестр

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

[Лекция 1 (24K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (45K)
Лекция 4 (29K)|Лекция 5 (29K)|Лекция 6 (36K)
Лекция 7 (34K)|Лекция 8 (33K)|Лекция 9 (33K)
|Лекция 10 (45K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (24K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (45K)
Лекция 4 (30K)|Лекция 5 (30K)|Лекция 6 (36K)
Лекция 7 (34K)|Лекция 8 (33K)|Лекция 9 (33K)
Лекция 10 (46K)]

Экзамен 5 декабря 1999 (Exam, 5 december 1999)

Gzipped postscript (12K; may be viewed directly by some versions of Ghostview)
Zipped postscript (13K)

Экзамен 20 февраля 2000 (Exam, february 5, 2000)

Gzipped postscript (12K)
Zipped postscript (12K)

См. также листки к семинарам (See also exercise sheets)

Программа курса

1. Пределы и непрерывность. Топологические пространства. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Предел.
2. Простейшие свойства топологических пространств. Замыкание подмножества в топологическом и метрическом пространстве. Индуцированная топология. Хаусдорфовы и нехаусдорфовы пространства. Единственность предела.
3. Действительные числа. Действительные числа как сечения. Неравенства. Сложение и вычитание. Теорема о верхней грани. Верхний и нижний пределы. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши. Умножение и деление действительных чисел.
4. Компактность. Компактные топологические пространства. Компактность отрезка. Компактность образа компакта. Конечные произведения топологических пространств. Компактность (конечного) произведения компактов. Компактность и секвенциальная компактность метрических пространств. Полнота метрических компактов.
5. Связность; пополнение. Связные топологические пространства. Связность отрезка. Образ связного связен. Теорема о промежуточном значении. Линейная связность. Пополнение метрического пространства.
6. Равномерная сходимость; интеграл. Равномерная непрерывность. Равномерная сходимость. Равномерный предел непрерывных функций непрерывен. sup-норма. Полнота пространства ограниченных непрерывных функций. Интеграл от кусочно-непрерывной функции по Дьедонне. Почленное интегрирование равномерно сходящейся последовательности.
7. Производная. Определение производной Элементарные правила дифференцирования (обзор). Теоремы Ферма, Лагранжа и Ролля. Условия возрастания и убывания. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям. Формула Тейлора (остаточные члены Пеано, интегральный и Лагранжа).
8. Ряды. Критерий Коши для функционального ряда. Абсолютная сходимость (по sup-норме). Перестановка членов ряда. Двойные ряды. Произведение рядов.
9. Элементарные функции. Комплексная экспонента. Почленное дифференцирование рядов. Производная экспоненты. Логарифм и ряд для него. Степень вещественного числа. Синус и косинус. Число "пи". Натуральная параметризация единичной окружности.
10. Аналитические функции. Определение. Формула Коши-Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование степенного ряда. Единственность степенного ряда. Аналитичность суммы, произведения, композиции и отношения аналитических функций. Аналитичность элементарных функций. Аналитичность обратной функции. Принцип аналитического продолжения.