Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/f97/alg3.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:00:36 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:43:02 2012
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: vela
Algebra, 3rd semester, Fall 1997

На главную страницу НМУ

А.Л.Городенцев

Алгебра 3 семестр (обязательный курс)

Это - третья часть трехсеместрового курса. Имеются также материалы по первому и второму семестрам.

Экзаменационные задачи (Exam problems)

Gzipped postscript (34K; may be viewed directly by some versions of Ghostview)|Запакованный zip-ом postscript-файл (34 K)]

Программа курса

Полилинейная алгебра и представления

Тензорные произведения

Практические навыки:

Отыскание базисов и размерностей тензорных произведений; вычисление тензорных произведений и сверток полилинейных форм и операторов; жорданова нормальная форма тензорной степени оператора; умение по-разному интерпретировать один и тот же тензор посредством канонических изоморфизмов. Вырожденность полилинейной формы и детерминанты матриц многомерного формата (по желанию преподавателей и студентов).

Симметрическая алгебра

Практические навыки

Переходы между стандартными базисами в пространстве симметричных $n$-линеных форм на $V$, пространстве однородных многочленов степени $n$ на $V$ и пространстве $S^n(V^*)$: умение вычислять симметрические произведения и свертки в терминах этих базисов; вычисление поляризаций; жордановы нормальная форма симметрической степени линейного оператора. Дискриминант однородного многочлена от нескольких переменных (по желанию).

Внешняя алгебра

Практические навыки

Переходы между стандартными базисами в пространстве кососимметричных $k$-линеных форм на $V$, пространстве однородных грассмановых многочленов степени $k$ на $V$ и пространстве $\Lambda^n(V^*)$: умение вычислять внешние произведения и свертки в терминах этих базисов; жордановы нормальная форма симметрической степени линейного оператора. Комплексы Кошуля и Де Рама (по желанию).

Грассман, Плюккер, Сегре и Веронезе

Практические навыки

Размерность грассманиана, число точек грассманиана над конечным полем, размерности клеток, квадрика Веронезе в $P_2$, квадрика Сегре в $P_3$, сколько плоских коник касается пяти данных прямых на $P_2$.

$G(2,4)$ и геометрия прямых в $P_3$

Практические навыки

Чем изобразятся на квадрике Плюккера два семейства прямолиненых образующих невырожденной квадрики в $P_3$; какую фигуру заметут в $P_3$ все прямые, пересекающие каждую их трех данных; сколько прямых пересекает четыре заданных попарно скрещивающихся прямых в (нашем обычном) пространстве и т. п.

Пространства с операторами

Практические навыки

Описание алгебр Ли групп $GL$, $SL$, $SO$, $SU$, строение (и простота) этих групп в размерностях $>2$, отождествление $SU_2$ с единичными кватернионами и универсальное накрытие $SU_2\longrightarrow SO_3$; примеры на вычисление характеров и двойственность абелевых грпп.

$sl_2$-модули

Практические навыки

Примеры $\gsl_2$-модулей, действие $sl_2$ и $SL_2$ на бинарные формы.

Предсталения конечных групп

Практические навыки

Умение вычислять характер данного представления и раскладывать его на неприводимые; умение раскладывать оператор, коммутирующий с действием группы, в прямую сумму гомотетий; знание неприводимых представлений и классов сопряженности для `` маленьких'' групп ($S_n$ и $A_n$ с $n\le5$, $SL_n(\ZZ/p\ZZ)$ при $n,p>$, групп многогранников, диэдров); характеры внешних степеней канонического представления $S_n$ самосовмещениями $(n-1)$-мерного симплекса.

Групповая алгебра конечной группы

Практические навыки

умение вычислять характеры ограниченных и индуцированных представлений и раскладывать их на неприводимые; понимание конструкции индуцирования. Более тонкие арифметические соотношения (типа того, что размерность неприводимого представления делит порядок группы -- по желанию).

Полупростые модули над некоммутативными кольцами

Действие $S_n$ на $V^{\otimes n}$

  • $S_n$-инвариантные эндоморфизмы $V^{\otimes n}$ и $GL(V)$-инвариантные эндоморфизмы $V^{\otimes n}$: соответствие между неприводимыми представлениями симметрических и линейных групп.
  • Тип симметрии тензора.
  • Симметризаторы Юнга.
  • Неприводимые представления $S_n$ (набросок).

    Практические навыки

    Представление о том, что кроме $S^n$ и $\Lambda^n$ бывают и другие полиномиальные функторы, взаимно-однозначно соответствующие диаграммам Юнга: поведение неприводимых представлений симметрической группы при ограничении (индуцировании) на меньшую (большую) симметрическую группу хотя бы для $S_n$ с $n\le 5$.

    Процедурные вопросы

    Курс рассчитан на один семестр, 2 часа лекций и 2 часа упражнений в неделю. Для получения зачета необходимо в течении семестра решить некоторое количество обязятельных задач, выданных преподавателем индивидуально каждому студенту (или вольнослушателю). Экзамен предполагается сделать `` домашними'' --- оценка будет выставлена по итогам устного обсуждения письменной работы, в которой решаются заранее выданные за 1-2 недели до экзамена задачи. Результаты зачета и экзамена за третий семестр курса алгебры, читаемого на мех-мате МГУ никак не учитываются в ходе предстоящего экзамена.

    Семинары ведут В.Долотин и П.Кацыло


    Rambler's Top100