Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/f13/shaposhnikov-prog.pdf Дата изменения: Thu Aug 22 21:26:45 2013 Дата индексирования: Thu Feb 27 23:22:12 2014 Кодировка: Windows-1251

Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка

Полугодовой курс

Краткое описание курса

Эллиптические уравнения с частными производными один из самых красивых и востребованных разделов математики. Классическим примером таких уравнений является уравнение Лапласа u = 0, описывающее, например, стационарное распределение температуры. Уравнение Лапласа обсуждается практически в любом курсе уравнений с частными производными. Наш курс посвящен общему эллиптическому уравнению:

tr(AD2 u) + b, u + cu = f .
Такие уравнения естественным образом появляются, например, в теории диффузионных процессов. Кроме того, эллиптические уравнения с непостоянными коэффициентами появляются даже в задачах, в которых изначально рассматривалось уравнение Лапласа, но на сложной области. В этом случае делают замену переменных, отображая сложную область в простую. Ясно, что уравнение при таком преобразовании перестает быть уравнением Лапласа. Кроме того, исследование нелинейных уравнений очень часто начинается с ?замораживания? коэффициентов и сведения задачи к линейному уравнению. Например, про решение задачи Дирихле u - u3 = f , u| = 0 можно многое сказать априори, рассматривая уравнение как линейное u - cu = f . Отметим, что для эллиптических уравнений с непостоянными коэффициентами многие факты, очевидно верные для уравнения Лапласа, уже перестают выполняться, например, принцип максимума или теорема Лиувилля. При исследовании эллиптических уравнений привлекаются идеи и методы анализа, алгебры, геометрии, теории вероятностей и других разделов математики. Ярким примером является принцип максимума А.Д. Александрова, тесно связанный с геометрией выпуклых поверхностей. Таким образом, курс будет интересен специалистам совершенно разных математических направлений. Кроме того, для понимания курса требуются знания по стандартной программе первых двух курсов любого физико-математического факультета.

Программа курса

1. Классический принцип максимума. 2. Оценки С.Н. Бернштейна и их следствия: неравенство Харнака и теорема Лиувилля. 3. Пространства Соболева. Теоремы вложения. Понятие слабого решения. 4. Принцип максимума и существование слабых решений задачи Дирихле. 5. Принцип максимума Н. Трудингера. 6. Интегрируемость положительных решений. Функции Ляпунова. 7. Метод итераций Ю. Мозера. Неравенство Харнака для слабых решений. 8. Априорные оценки и повышение гладкости слабого решения. 9. Сильные решения. Принцип максимума А.Д. Александрова.



10. 11. 12. 13. 14. 15.

Литература

k гессианы и обобщения принципа максимума А.Д. Александрова. Оценки Крылова-Сафонова. Неравенство Харнака для сильных решений. Перенормированные решения П. Бауман. Оценки функции Грина. Lp оценки и разрешимость задачи Дирихле. Лемма Зарембы-Хопфа-Олейник. Граничные оценки производной. Лемма Надирашвили. Задача Неймана.

1. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989. 2. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1988, т. 32, с. 99215. 3. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973. 4. Эванс, Л. К. Уравнения с частными производными : пер. с англ. Л. К. Эванс . Новосибирск : Тамара Рожковская, 2003 . 576 с. (Университетская серия ; Т. 7). 5. Krylov N.V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces (Graduate Studies in Mathematics) 2008.