На главную страницу НМУ

С.М.Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шейнман

Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика

В осеннем семестре 2012 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.

Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:

Пятница, 28 декабря 2012, 17:00, ауд. 303

А. Феликсон

Многообразия с действием групп отражений и их мутации

Аннотация
Кластерная алгебра конечного типа соответствует конечной группе Вейля. Как показали недавно Barot и Marsh, при этом мутации колчана, отпределяющего кластерную алгебру, соответствует замена набора образующих в группе Вейля с помощью сопряжений.

По выбору образующих мы строим симплициальный комплекс с действием группы Вейля, который иногда оказывается многообразием. При мутации, специальная процедура (типа композиции факторизации и накрытия) превращает одно многообразие в другое. Например, в случае A3 можно промутировать сферу в тор, в случае B3 - сферу в поверхность рода 3, а в случае D4 -трехмерную сферу в трехмерный тор и в гиперболическое многообразие с 5-ю каспами.

Пятница, 7 декабря 2012, 17:00, ауд. 303

Антон Фонарев

Ступенчатые комплексы

Аннотация
Я расскажу о некотором классе точных комплексов эквивариантных расслоений на классических грассманианах. В частности, как их можно получить с помощью исключительных наборов. Кроме того, будет рассказано о возможном обобщении на случай других полупростых групп на примере лагранжева грассманиана, где их отголоски можно наблюдать на уровне представлений параболической подгруппы.

Пятница, 30 ноября 2012, 17:00, ауд. 303

Ю.Черняков

Порядок Брюа в обобщённой системе Тоды

Аннотация
Я расскажу о некоторых геометрических и топологических свойствах полной симметричной системы Тоды (обобщённая система Тоды). Можно отождествить критические точки потока системы Тоды с элементами группы перестановок. Оказывается, что точки связаны траекторией тогда и только тогда, когда соответствующие элементы сравнимы по Брюа, и диаграмма переходов для обобщённой системы Тоды совпадает с диаграммой Хассе порядка Брюа для симметрических групп. Можно показать, что обобщённая система Тоды является системой Морса-Смейла на флагах, так что стабильные (и, соответственно, нестабильные) подмногообразия эквивалентны двойственным (и, соответственно, обычным) клеткам Шуберта. Физически задача формулируется следующим образом. Пусть имеется система n шаров на прямой с экспоненциальным взаимодействием, у этих шаров есть определённые импульсы, как будут обмениваться импульсами шары через бесконечное время? Какие обмены импульсами разрешены? То есть, возвращаясь к обобщённой системе Тоды, пусть на минус бесконечности по времени матрица оператора Лакса имеет вид диагональной матрицы собственных значений в каком-то фиксированном порядке, как она будет выглядеть на плюс бесконечности по времени, какие перестановки собственных значений будут возможны? Метод, который используется для решения этой задачи основан на существование инвариантных подмногообразий в обобщённой системе Тоды, также используется результат, полученный в работах A. M. Bloch, R. W. Brockett, T. S. Ratiu (1990), A. M. Bloch and M. Gekhtman (1998), F. De Mari, M. Pedroni (1999), что обобщённая система Тоды является градиентной системой.

Пятница, 23 ноября 2012, 17:00, ауд. 303

Н. Гончарук

Комплексное число вращения

Аннотация
Каждому гомеоморфизму окружности можно поставить в соответствие вещественное число --- его число вращения. Число вращения замечательно тем, что оно отражает свойства гомеоморфизма как динамической системы (в частности, наличие периодических орбит) и не меняется при замене координат на окружности.

В 1978 году В.И.Арнольд предложил комплексный аналог числа вращения. Пусть f -- аналитический диффеоморфизм окружности |z|=1, a -- комплексное число, 0<|a|<1. Склеим границы кольца |a|<|z|<1 по отображению af. Модуль полученной эллиптической кривой и называется комплексным числом вращения отображения af.

В докладе будут рассказаны результаты, касающиеся предельного поведения комплексного числа вращения вблизи единичной окружности |a|=1.

Комплексное число вращения не определено на единичной окружности, но оказывается, что его можно продолжить по непрерывности на эту окружность (результат Ксавье Бюффа и докладчика). Образ единичной окружности --- фрактальное множество ("пузыри Федорова"), геометрическая структура оторого еще не изучена.

Пятница, 16 ноября 2012, 17:00, ауд. 303

Ю. Черняков

Интегрируемость в обобщённой системе Тоды

Аннотация
Я расскажу про интегрируемость в полной симметричной системе Тоды (обобщённая система Тоды). В этой системе у матрицы оператора Лакса заполнены все диагонали в отличие от обычной 3-х диагональной системы Тоды. Обощенная система Тоды тоже является интегрируемой системой, впервые это было показано в работе P. Deift, L. C. Li, T. Nanda, C. Tomei (1986) с помощью, так называемой, процедуры чоппинга. В работах A. M. Bloch, M. Gekhtman (1998), M. Gekhtman and M. Shapiro (1999) было показано, что полный набор всех интегралов движения составляет некоммутативное семейство, в котором существуют инволютивные семейства, обеспечивающие интегрируемость. В работе N. Ercolani, H. Flaschka, S. Singer (1993) то же самое было сделано для близкой интегрируемой системы - полной системы Костанта-Тоды (в которой заполнены снизу все диагонали до главной включительно, над главной диагонали - диагональ, состоящая из единиц, далее все диагонали нулевые). Я расскажу простой способ, как можно получать такие интегралы движения и всё семейство в явном виде. Этот способ основан на существовании полуинвариантов, построенных из миноров матрицы собственных векторов матрицы оператора Лакса. Эти полуинварианты являются однородными координатами в соответствующих проективных пространствах.

Пятница, 19 октября 2012, 17:00, ауд. 303

В.С.Жгун

Сферические многообразия, их вложения и инварианты

Аннотация
В докладе будет дан обзор теории сферических многообразий. Я расскажу об их эквивариантных бирациональных инвариантах, теории эквивариантных вложений (обобщающей теорию торических многообразий). Также будет обсуждено действие группы Вейля на множестве орбит борелевской подгруппы и связь этого действия с малой группой Вейля.

Пятница, 12 октября 2012, 17:00, ауд. 303

А. Слепцов

Разложение полиномов ХОМФЛИ с помощью операторов разрезания-и-склейки

Аннотация
Полиномиальный инвариант узла ХОМФЛИ зависит от двух переменных (q,A). Если положить А=1, то получится знаменитый полином Александера. А вот если положить q=1, то получится некий полином, который никто никогда особо не изучал. Тем не менее он обладает некоторыми примечательными свойствами, о которых я расскажу. Также рассмотрим поправки к этому полиному, то есть разложение ХОФМЛИ по (q-1). Эти поправочные члены выражаются через собственные значения операторов разрезания-и-склейки, что обеспечивает связь этой науки с теорией Гурвица

Пятница, 5 октября 2012, 17:00, ауд. 303

А.Буряк

Старшие тавтологические когомологии M_{g,n}

Абстракт:
В конце 90-х годов Фабер выдвинул три гипотеза, дающие полное описание тавтологического кольца пространства модулей гладких комплексных кривых. Две из них на данный момент доказаны. Недавно Д.Звонкин предложил обобщение этих гипотез для случая пространства модулей гладких кривых с n отмеченными точками. Одна из гипотез утверждает, что размерность старших тавтологических когомологий равна n. В докладе я расскажу, как эту гипотезу доказывать.

Пятница, 28 сентября 2012, 17:00, ауд. 303

Шевчишин

Интегрируемые и суперинтегрируемые метрики на поверхностях

Абстракт:
В докладе рассматриваются метрики на поверхностях, допускающие линейный и кубический по импульсам интегралы геодезического потока и даётся их классификация. В качестве приложения стриотся новый глобальный пример интегрируемой метрики определённый на сфере S^2.