На главную страницу НМУ
А.Б.Скопенков
Характеристические классы и их применения в топологии многообразий
Спецкурс доступен второкурсникам; поскольку излагаемый в нем геометрический подход
важен, но забыт, то может быть интересен и для пятикурсников.
Аннотация
Для многообразий важнейшие методы алгебраической топологии наиболее наглядны.
(Например, второй класс Штифеля-Уитни замкнутого трехмерного многообразия есть
гомологический класс по модулю 2 объединения тех окружностей, на которых
линейно зависимы некоторые два касательных векторных поля общего положения.)
Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных
результатов.
На спецкурсе изучается один из основных методов алгебраической топологии ---
метод характеристических классов --- на примере применений к важным проблемам о
векторных полях, возникшим в приложениях.
Будут рассматриваться многообразия малых размерностей (т.е. не более чем
четырехмерные): именно такие многообразия наиболее интересны для приложений.
Венец спецкурса --- простое доказательство знаменитой теоремы Штифеля о
параллелизуемости трехмерных многообразий.
Будут предложены красивые задачи для исследования.
Для изучения спецкурса достаточно знакомства с основами топологии многообразий
(хотя бы размерности два и три), а также необходимо решать задачи.
Предварительных знаний по теории гомологий не предполагается.
Программа экзамена по курсу
(Большинство пунктов программы соответствует пунктам из [S])
-
1. Ориентируемость двумерных многообразий. Форма пересечений.
-
2. Критерии Эйлера-Пуанкаре и Хопфа существования ненулевых касательных
векторных полей на двумерных и трехмерных многообразиях.
-
3. Нормальные векторные поля. Класс Эйлера.
Существование ненулевого нормального векторного поля на гладкой сфере
с ручками в R^4.
-
4. Гомотопическая классификация ненулевых касательных векторных полей.
-
5. Характеристические классы для трехмерных многообразий.
-
6. Реализация циклов подмногообразиями в трехмерных многообразиях.
-
7. Двойственность Пуанкаре по модулю 2.
-
8. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости трехмерных
многообразий.
-
9. Степени двойки и классы Штифеля-Уитни: идеи доказательств теорем Уитни о
невложимости и Штифеля об алгебрах с делением.
Литература
-
[FF89] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва,
Наука, 1989.
-
[P04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии,
Москва, МЦНМО, 2004. http://www.mccme.ru, Материалы курсов НМУ.
-
[P06] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, Москва, МЦНМО, 2006.
http://www.mccme.ru, Материалы курсов НМУ.
-
[S] А. Скопенков, Алгебраическая топология с элементарной точки зрения,
МЦНМО, в печати. http://arxiv.org/abs/0808.1395
