Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/f15/f15-ASkopenkov.html
Дата изменения: Sun Sep 13 00:10:16 2015
Дата индексирования: Sun Apr 10 06:50:52 2016
Кодировка: koi8-r
Для многообразий важнейшие методы алгебраической топологии наиболее
наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных результатов.
На спецкурсе изучаются основные методы алгебраической и дифференциальной
топологии, полезнейшие для их приложений. Это гомотопические инварианты отображений,
конструкция Понтрягина, гомологии, характеристические классы и векторные расслоения. В
частности, будут даны построения и наброски доказательств знаменитых примеров нестан-
дартной 7-мерной сферы (Милнор) и трехмерного узла в 6-мерном пространстве (Хефлигер).
Основные идеи представлены на "олимпиадных" примерах: размерности не выше 3, на
простейших частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением к необходи-
мому минимуму алгебраического языка. За счет этого спецкурс доступен для начинающих,
хотя содержит красивые сложные результаты. Для его изучения достаточно знакомства с
основами топологии многообразий (например, в объеме глав 1-6, 8 и 10 из [S].)
Основная часть материала будет изучаться в виде решения задач участниками (с подроб-
ными указаниями и последующим разбором на занятии).
Программа
Три классические проблемы топологии: гомеоморфизма, вложимости и заузливания.
Простейшие результаты. Нестандартная сфера Милнора. Заузленная сфера Хефлигера.
Конструкция Понтрягина: оснащенные многообразия и их кобордизмы. Гомотопиче-
ская классификация отображений n-мерного многообразия в n-мерную сферу (Хопф) и в
(n - 1)-мерную сферу (Хопф-Понтрягин-Фрейденталь-Стинрод-Ву), а также ненулевых ка-
сательных векторных полей на многообразии.
Гомотопическая классификация отображений многообразия в окружность и в беско-
нечномерные проективные пространства (вещественное и комплексное). Реализуемость под-
многообразиями циклов коразмерности 1 и 2.
Гомологии многообразий. Пересечение в гомологиях многообразий. Двойственность
Пуанкаре (простая и сложная части).
Геометрическое определение характеристических классов Штифеля-Уитни и Понтря-
гина. Числа Штифеля-Уитни и Понтрягина - инварианты кобордизма. Теорема Тома о клас-
сификации многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
Нормальные классы Уитни. Препятствия Уитни к погружаемости и к вложимости
многообразий. Инвариант Уитни вложений многообразий.
Векторные расслоения. Теорема о трубчатой окрестности. Нормальные расслоения.
Несуществование алгебр с делением и невложимость проективных пространств.
* Теорема Хирцебруха о сигнатуре для 4- и 8-мерных многообразий. Набросок вывода
из теоремы Тома. Применение: инвариант Милнора 7-мерных гомотопических сфер.
* Классификация оснащенных узлов и тел с ручками. Инвариант Хефлигера.
Литература
[FF] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989.
[P] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, Москва, МЦНМО, 2015,
http://www.mccme.ru/prasolov
[S] А.Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, Москва,
МЦНМО, 2015, http://www.mccme.ru/circles/oim/home/combtop13.htm#photo
