На главную страницу НМУ
А.М.Филимонов
Уравнения с частными производными
Комментарий
Этот курс можно рассматривать, как продолжение курса, прочитанного в предыдущем
семестре. Однако, изложение материала почти не будет
опираться на этот предыдущий курс. Необходимые сведения будут
кратко напоминаться с указанием литературных источников, из
которых можно почерпнуть детали.
Программа
- Уравнения с частными производными первого порядка.
- Связь с группами и алгебрами Ли. Пример применения: принцип
суперпозиции в нелинейных задачах.
- Метод характеристик.
- Факторизация одномерного волнового оператора.
Обобщения. Волны от движущегося
источника. Что будет, если скорость движения
источника выше скорости звука?
- "Бегущие волны" и метод характеристик для гиперболических
систем уравнений. Канонические формы Шаудера и Римана. Волны
Римана. Пример: волны в нелинейных одномерных средах. "Истинно
нелинейные" (в смысле Лакса) системы.
- "Бегущие волны" для нелинейных уравнений высших порядков.
Примеры: уравнение Буссинеска, уравнение КДФ, квазилинейное
уравнение теплопроводности.
- Метод "стоячих волн".
- Схема метода Фурье. Дисперсионные соотношения. Обобщения.
Примеры.
- Линейные уравнения высших порядков. Нестрого гиперболические
(в смысле Гординга) уравнения и их связь с проблемой Ферми - Паста
- Улама.
- "Стоячие волны" в нелинейных задачах. Связь с
колмогоровскими поперечниками
соболевских классов функций.
- Вариационный метод.
- Принцип экстремального действия. Задачи.
- Задача о минимуме квадратичного функционала. Положительно
определенные операторы. Энергетическое пространство. Обобщенное
решение и его интерпретация. Простейший вариант теоремы вложения
Соболева. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи
Жермен).
- Вариационный подход в нелинейных задачах.
