На главную страницу НМУ
В.В.Долотин, А.Б.Скопенков, А. Б. Сосинский
Основная проблема топологии многообразий
Спецкурс студентов 2 (и выше) курса НМУ и мехмата МГУ
Аннотация
Цель спецкурса - продемонстрировать мощь методов
алгебраической топологии путем их применения к основной проблеме
геометрической топологии (проблеме классификации многообразий).
Будут строиться и изучаться алгебраические препятствия, возникающие при
решении этой и близких топологических задач.
Материал будет преподноситься в основном на примерах размерностей 2, 3 и 4,
хотя соответствующие методы работают и в многомерном случае. Будут
предложены задачи для исследования.
Для понимания спецкурса достаточно начальных знаний по
топологии (например, в пределах полугодового вводного курса в НМУ
плюс основы теории (ко)гомологий и топологии
многообразий). Детали доказательств, требующие более продвинутого
материала, будут предлагаться в качестве задач более продвинутым
слушателям. Материал настоящего спецкурса не будет использовать
и практически не будет повторять материал спецкурсов "Алгебраическая топология с
геометрической точки зрения" (весна 2000) и "Классические и современные
проблемы геометрической топологии" (весна 2001).
Программа на сентябрь-октябрь (не все теоремы планируется
доказать, но все примеры планируется явно построить)
- Классификация одномерных и двумерных многообразий.
Гипотеза Пуанкаре. Хирургия Дена. Сфера Пуанкаре.
- Проблема характеризации фундаментальных групп 3-многообразий.
Линзовые пространства. Пересечение в гомологиях многообразий.
Негомеоморфные линзовые пространства с изоморфными фундаментальными
группами.
- Псевдошары и гипотеза Пуанкаре.
Сдавливание, регулярные окрестности, дом Бинга.
Шутовской колпак и четырехмерный псевдошар Мазура.
Гипотеза Зимана.
- Сигнатура. Теорема Рохлина и многообразие Рохлина.
Числа Бернулли и обобщение Милнора-Кервера теоремы Рохлина.
Пример Милнора нетривиальной гомотопической сферы.
- Обзор теории классификации многообразий. Препятствия к наличию
структуры PL-многообразия в терминах топологии классифицирующих пространств.
Строение группы PL(DIFF)-изотопий и классификация PL(DIFF)-структур.
- Общее положение и применение к вложениям.
Теорема Борсука-Улама.
Пример Ван Кампена двумерного полиэдра, невложимого в $R^4$, с
доказательством Щепина.
Пример стягиваемого двумерного полиэдра, невложимого в $R^3$.
- Конфигурационное пространство пар различных точек (взрезанный квадрат).
Препятствие и инвариант взрезанного квадрата.
Кольца Борромео и неполнота инварианта взрезанного квадрата.
Зацепление Уайтхеда, трехмерная визуализация четырехмерных 'пальцевых
движений' Кэссона и неполнота инвариантов высших взрезанных степеней.
- Гомотопческая классификация непрерывных отображений графа в
$S^1$ и двумерного полиэдра в $S^2$ (теорема Хопфа--Уитни).
%Когомологии и их вычисление.
- Препятствия Ван Кампена к планарности
графов и к aппроксимации путей на плоскости несамопересекающимися путями.
Препятствие Ван Кампена к вложимости двумерных полиэдров в $R^4$.
Теорема вложения Ван-Кампена--Шапиро--Ву. Препятствие
взрезанного квадрата и его связь с препятствием Ван Кампена.
Теорема вложения Хэфлигера--Вебера и ее усиление для кусочно-линейных
многообразий.
- Пример Фридмана--Крушкаля--Тайхнера неполноты препятствий Ван Кампена.
Его модификация при помощи 'пальцевых движений' Кэссона для
взрезанного квадрата и высших взрезанных степеней.
- Многомерные кольца Борромео, зацепление Уайтхеда, сфера Хэфлигера, тор
Хэфлигера и тор Уайтхеда.
Примеры кусочно-линейных, но несглаживаемых вложений и изотопий, а также
неполноты препятствия взрезанного квадрата.
- Лемма о поглощении. Доказательство Зимана многомерной гипотезы Пуанкаре.
Теоремы вложения и изотопии Пенроуза--Уайтхеда--Зимана--Ирвина.
