Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/f01/calc1y.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:00:34 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 02:42:01 2012
Кодировка: koi8-r
|
На главную страницу НМУ
Ю.М.Бурман
Математический анализ, 1 семестр (лекции)
Записки лекций (Lecture notes)
Postscript
[Лекция 1
(72K)|Лекция 2 (62K)|Лекция 3 (61K)|Лекция 4 (72K)
Лекция 5 (67K)|Лекция 6 (75K)|Лекция 7 (55K)|Лекция 8 (64K)
Лекция 9 (58K)|Лекции 10-11 (95K)]
Zipped postscript
[Лекция 1 (24K)|Лекция 2 (21K)|Лекция 3 (20K)|Лекция 4 (24K)
Лекция 5 (22K)|Лекция 6 (26K)|Лекция 7 (20K)|Лекция 8 (23K)
Лекция 9 (21K)|Лекции 10-11 (30K)]
Задачи к экзамену (Exam problems)
[Postscript (24K)|Postscript (10K)]
Второй экзамен (Exam problems: second exam)
[Postscript (26K)|Postscript (11K)]
Программа курса
Программа содержит основные утверждения, которые нужно уметь доказывать.
Предполагается знание всех соответствующих определений, служебных фактов
(лемм) и т.п. Предполагается также знакомство с основными примерами и
конструкциями курса --- такими как определение топологии в наиболее
употребительных пространствах, контрпример к лемме Гейне--Бореля в
$C[0,1]$, и т.п.
- Композиция и декартово произведение непрерывных отображений
непрерывны.
- Эквивалентность двух определений предела функции (через непрерывность
и через пределы последовательностей).
- Всякое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет
точную верхнюю грань.
- Отрезок действительной прямой связен. Линейно связное пространство
связно.
- Принцип вложенных отрезков.
- Теорема о промежуточном значении.
- Замкнутое подмножество компакта --- компакт.
- Компакт в метрическом пространстве содержит конечную $\eps$-сеть для
всех $\eps > 0$.
- Лемма Гейне--Бореля.
- Полнота пространств $\Real$ и $C[0,1]$.
- Перестановка пределов при равномерной сходимости.
- Отображение, непрерывное на компакте, равномерно непрерывно.
- Непрерывная функция интегрируема по Риману.
- Теоремы Лагранжа и Коши о промежуточной точке.
- Формула Ньютона--Лейбница.
- Принцип сжимающих отображений.
- Локальная разрешимость дифференциального уравнения.
- Явная формула для решения многомерного линейного дифференциального
уравнения $1$ порядка с постоянными коэффициентами.
- Формула Тейлора
- Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций, в т.ч.
функции $(1+x)^\alpha$ с произвольным $\alpha \in \Real$.
- Смешанные частные производные не зависят от порядка
дифференцирования.
- Формула для радиуса сходимости степенного ряда.
- Критерий почленной дифференцируемости ряда. Дифференцирование
степенного ряда.
- Теорема о разбиении единицы.
- Описание максимальных замкнутых идеалов в алгебре бесконечно гладких
функций.