На главную страницу НМУ

А.М.Вербовецкий, И.С.Красильщик

Гомологичесские аспекты геометрии дифференциальных уравнений

В осеннем семестре 2006 года продолжит работу семинар "Гомологиские аспекты геометрии дифференциальных уравнений" под руководством А. Вербовецкого и И. Красильщика.

Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.

Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.

В декабре заседаний не будет -- каникулы до следующего семестра.

15 ноября

А.М.Вербовецкий

Теорема Марвана о достаточных условия интегрируемости ортономных систем

Будет доложена работа Михала Марвана , в которой автор предложил новый простой алгоритм построения минимального набора условий интегрируемости в теории Рикье.

8 ноября

Обсуждение доклада И.С.Красильщика "Как коммутировать нелокальные тени?" от 27 сентября

1 ноября

В.Головко

Структуры Пуассона-Нийенхейса для нелокальных операторов

Рассмотрены нелокальные гамильтоновы операторы и операторы рекурсии, понимаемые как тени симметрий в соответствующих накрытиях; в этих терминах получено условие совместности гамильтонова оператора и оператора рекурсии.

25 октября

Gerard Helminck (Univ. of Twente, the Netherlands)

A flag variety relating matrix hierarchies and Toda-type hierarchies

Commutative subalgebras of the complex $k \times k$-matrices are known to generate both matrix and Toda-type hierarchies. In this talk a certain class of infinite chains of closed subspaces of a separable Hilbert space $H$ will be introduced. To each such a flag one associates a sequence of solutions of the matrix hierarchy related to this subalgebra. They compose to a solution of the lower triangular Toda hierarchy corresponding to the transposed algebra. Both solutions can be expressed in determinants of suitable Fredholm operators, the so-called $\tau$-functions. These last functions also have a geometric interpretation in terms of line bundles over the flagvariety. They measure the failure of equivariance w.r.t. to the commuting flows of certain global sections.

18 октября

Р.А.Саркисян

О теореме регулярности и теореме Трессе для псевдогрупп Ли (2)

11 октября

Р.А.Саркисян

О теореме регулярности и теореме Трессе для псевдогрупп Ли

Псевдогруппа Ли D, действующая на многообразии P, индуцирует действие на многообразии J^k, образованном k-струями подмногообразий данной размерности n в P. Теорема регулярности утверждает, что найдётся такое натуральное K, зависящее только от n, l=dimP и порядка q псевдогруппы Ли D, что многообразие J^K содержит открытое всюду плотное множество V, все точки которого сильно регулярны.

Сильная регулярность точки z \in J^k по определению означает, что касательное пространство \Delta_k(z) к формальной орбите индуцированного действия D на J^k в точке z имеет постоянную размерность в подходящей окрестности U \subset J^k точки z, и это же справедливо для любого s и любой точки w \in J^s такой, что \pi(s,k)(w) \in U. Здесь \pi(s,k): J^s --> J^k - естественная проекция.

Из этого результата следует существование натурального L, зависящего только от n, l и q, и открытого всюду плотного множества V_1 \subset J^L таких, что формальная теорема Трессе справедлива для любой точки w \in (\pi(\infty,k))^{-1}(V) \subset J^\infty.

Часто (например, в аналитическом случае, в случае геометрических структур) формальная теория совпадает с содержательной.

В заключение обсуждается одна задача, поставленная В.И.Арнольдом.

27 сентября

И.С.Красильщик

Как коммутировать нелокальные тени?

The problem of a well-defined commutator for shadows of nonlocal symmetries is discussed.

20 сентября

О.И.Морозов

Накрытия дифференциальных уравнений и структурная теория Картана псевдогрупп Ли (часть 2)

13 сентября

О.И.Морозов

Накрытия дифференциальных уравнений и структурная теория Картана псевдогрупп Ли

We establish relations between Maurer-Cartan forms of symmetry pseudo-groups and coverings of differential equations. Examples include Liouville's equation, the Khokhlov-Zabolotskaya equation, and the Boyer-Finley equation.