Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/f04/alg3s.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:00:35 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 02:05:45 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: movie
|
На главную страницу НМУ
В.В.Доценко (V.Dotsenko)
Алгебра, 3 семестр (Algebra, 3rd semester)
Листки (Exercise sheets)
Postscript
[Листок 1 (27K)|Листок 2 (29K)|Листок 3 (33K)|Листок 4 (25K)|Листок 5 (28K)
Листок 6 (26K)|Листок 7 (26K)|Листок 8 (20K)|Листок 9 (26K)|Листок 10 (27K)
Сводка результатов о
центральных простых алгебрах (85K)]
Zipped postscript
[Листок 1 (11K)|Листок 2 (12K)|Листок 3 (13K)|Листок 4 (25K)|Листок 5 (11K)
Листок 6 (10K)|Листок 7 (11K)|Листок 8 (9K)|Листок 9 (11K)|Листок 10 (11K)
Сводка результатов о
центральных простых алгебрах (25K)]
Домашний экзамен (Take-home exam)
[Postscript (44K)|Zipped postscript (17K)]
[Postscript (34K)|Zipped postscript (14K)]
Программа
Темы, отмеченные звёздочкой (*), знать скорее почётно,
чем обязательно. В темах, отмеченных ромбиком (♦),
нужно знать, в чём состоят основные результаты (возможно, без
доказательств). В остальных вопросах нужно знать и идеи
доказательств, при необходимости востанавливать технические
подробности.
Окончание семестра:
- 16 ноября состоится последняя лекция, за которой
последует консультация;
- 23 и 30 ноября, а также 7 декабря состоится зачёт;
- на неделе 13-20 декабря состоится домашний экзамен.
- Теория Галуа.
- Расширения полей. Присоединение корня многочлена. Поле
разложения.
- Конечные поля, их классификация и автоморфизмы.
- Неприводимость многочленов деления круга. Круговые поля, их
автоморфизмы.
- Нормальные и сепарабельные расширения. Теорема о
примитивном элементе.
- Расширения Галуа. Группа Галуа.
- Норма и след элемента в расширении, их выражение через группу Галуа.
- Симметрические функции. Основная теорема о
симметрических функциях с точки зрения теории Галуа.
- Применения симметрических функций.
- Результант, дискриминант. Формула [Сильвестра] для результанта.
- * Теорема Безу, ее применение для доказательства теоремы Паскаля.
- Алгоритм вычисления группы Галуа. Построение
циклических подгрупп в группе Галуа многочлена с
целыми коэффициентами с помощью редукции по простым модулям.
Дискриминант и критерий того, что группа Галуа является
подгруппой знакопеременной группы.
- Разрешимые группы. Эквивалентные определения.
- Приложения теории Галуа.
- Построения циркулем и линейкой.
- Разрешимость в радикалах.
- Случай, когда основное поле содержит нужные корни из единицы.
- * Корни из единицы выражаются "в неприводимых радикалах"
(через корни уравнений $x^p-a$, $p$ — простое, $a$ не является $p$-ой степенью).
- Основная теорема алгебры.
- Алгебры.
- Свободная ассоциативная алгебра. Эквивалентные определения (две конструкции,
универсальное свойство).
- Задание алгебр образующими и соотношениями. Примеры.
- Две образующих и полная система соотношений для матричной алгебры.
- * Алгебры Клиффорда (над разными полями).
- Алгебра дифференциальных операторов.
- Простые и полупростые алгебры.
- Простые конечномерные алгебры. Противоположная алгебра.
Изоморфизм $\End_A(A)\simeq A^{opp}$. Теорема о структуре
простых алгебр (в том числе теорема единственности).
- Полупростота. Эквивалентные определения полупростого модуля. Теорема о структуре
полупростых алгебр.
- Любой модуль над полупростой алгеброй полупрост. Классификация представлений
полупростой алгебры.
- Центральные простые алгебры (ц.п.а.).
- Замкнутость множества ц.п.а. относительно тензорного умножения. Отношение эквивалентности
на множестве ц.п.а. Группа Брауэра.
- Автоморфизмы. Теорема Сколема-Нетер.
- Формула для централизатора $Z_A(B)=\End_{B\otimes A^{opp}}(A)$.
- Теорема о двойном централизаторе для ц.п.а. (простота,
размерность, центральность в случае центральной подалгебры).
- Размерность центрального тела есть квадрат (размерности
максимального подполя).
- Теорема Веддерберна (конечное тело коммутативно).
- Теорема Фробениуса (классификация тел над~$\mathbb{R}$).
- Поле расщепления. Строго максимальное подполе как поле
расщепления. Вложение поля расщепления для~$A$ в алгебру,
эквивалентную~$A$, в качестве строго максимального подполя.
- ♦ Существование поля расщепления, являющегося расширением Галуа.
- Системы факторов и скрещенные произведения. Условие
эквивалентности двух скрещенных произведений. Биекция между
группой классов систем факторов (для расширения
Галуа~$E:F$) и подгруппой $\Br_E(F)\subset \Br(F)$.
- ♦ Теорема о произведении.
- Периодичность группы $\Br(F)$ для любого поля~$F$ (вывод из теоремы о произведении).
- Циклические алгебры в случае поля, содержащего нужные корни из единицы.
Символ $a_\xi(a,b)$, кососимметричность, билинейность, соотношение Стейнберга.
- Изоморфизм $\Br_E(F)\simeq F^*/N_{E/F}(E^*)$ для циклического
расширения~$E$. Символ $a_\xi(a,b)$ как символ норменного вычета.
- Норма, след, характеристический многочлен элемента ц.п.а.
Приведенная норма, корректность определения.
- Критерий обратимости элемента ц.п.а. Альтернативное доказательство теоремы Веддерберна.
- ♦ Поле $\mathbb{Q}_p$. Принцип Хассе. Группы
$\Br(\mathbb{Q}_p)$, $\Br(\mathbb{Q})$.