|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/globus/gl_f06.html
Дата изменения: Fri Jun 22 12:09:35 2007 Дата индексирования: Tue Oct 2 06:49:09 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: rings |
На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в осеннем семестре 2006 года.
What follows is the list of talks at the IUM general seminar "Globus" delivered during fall semester, 2006. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some there are lecture notes in postscript format.
Теорема Римана-Роха-Хирцебруха считает эйлерову характеристику векторного расслоения с помощью классов Чженя. Поскольку эйлерова характеристика представляет собой прямой образ в K-теории при отображении многообразия в точку, то более общая задача состоит в вычислении прямого образа при отображении многообразий. Эту задачу решает теорема Римана-Роха-Гротендика, описывающая связь прямого образа в K-теории с прямым образом в когомологиях. При этом K-теория связана с когомологиями характером Чженя и речь идет взаимодействии прямого образа с этой операцией. В топологии известна и более общая теорема Римана-Роха (Дайер), в которой характер Чженя заменен мультипликативной операцией между произвольными экстраординарными теориями когомологий. Для многообразий, ориентированных относительно обеих теорий, имеются прямые образы, а теорема Дайера описывает их взаимодействие с операцией. Ответ дан в терминах классов Тодда, определенных ориентациями стабильных нормальных расслоений многообразий.
Однако теорема Гротендика идет дальше теоремы Дайера в том смысле, что с помощью ряда z/(1-exp(-z)) дает явную формулу для классов Тодда. В докладе будет представлена аналогичная явная формула для операции между ориентированными теориями когомологий. Эта формула работает как в топологии, так и в алгебраической геометрии (для экстраординарных мотивных теорий). Кроме того, будет проведена параллель между теоремой Римана-Роха и формулой замены переменной в интеграле.
We prove existence of invariant measure for a large class of random processes with discrete time without assuming their linearity. Our main examples are "processes with variable length", in which components may appear and disappear in the course of functioning. One of these examples displays a version of 1-D non-ergocidity.
Доклад посвящен описанию основных эргодических свойств (консервативности и эргодичности) граничного действия подгруппы конечно порожденной свободной группы в терминах различных геометрических структур возникающих в этой ситуации (Нильсеновские образующие, граф Шрайера и т.д.). Он основан на совместной работе с Р.Григорчуком и Т.Нагнибедой.
All basic equations of Quantum Mechanics are linear Hamiltonian PDEs: the Schrodinger, Dirac, Yang-Mills eqn etc. On the other hand, the autonomous linear equations (with static potentials) are not compatible with basic quantum phenomena:
A: Transitions between quantum stationary states, and
B: Wave-particle duality.
A selfconsistent description of the phenomena needs the coupling to the Maxwell field since the transitions are followed by the electromagnetic radiation which is a solution to the Maxwell eqns. The coupling is nonlinear (it is the product of the wave function by the Maxwell potentials), that is known since the first Schroedinger papers (1926).
Hence, the questions arise
I. On a mathematical treatment of the phenomena as inherent properties of the coupled Maxwell-Schroedinger and Maxwell-Dirac eqns. We suggest the following treatment:
A: Global attraction to the set of "stationary states";
B: Soliton type asymptotics.
II. On a universal character of the phenomena in the context of general nonlinear Hamiltonian PDEs.
We will present the results for nonlinear Hamiltonian PDEs on the global attractors and soliton type asymptotics obtained in last decade.
In particular, the global attractors and definition of "stationary states" depend on the symmetry Lie group of the eqn.
В докладе предполагается рассказать о зеркальной симметрии с математической точки зрения. Данный подход к зеркальной симметрией обычно называется гипотезой о гомологической зеркальной симметрии для многообразий Калаби-Яу. Он был предложен Максимом Концевичем. При таком подходе зеркальная симметрия предстает как удивительное соотношение между алгебраическими и симплектическими сторонами геометрических объектов. Кроме того будет объяснено как зеркальная симметрия распространяется со случая многообразий Калаби-Яу на случай многообразий других типов. Для этого будут введены модели Ландау-Гинзбурга и определены категории D-бран типа А и типа В в этих моделях. Будут рассмотрены конкретные примеры зеркальной симметрии и рассказано о естественном появлении некоммутативных многообразий в данном контексте.
In the max-plus world, the addition is replaced by the maximum, and the multiplication is replaced by the usual addition. This world, in which many a familiar result has an analogue, has been brought to light by several schools under various names (idempotent analysis, tropical algebra, max-algebra, extremal algebra,...).
In this talk, I will present some recent developments concerning a basic max-plus theme: spectral theory.
One of the main motivations of max-plus spectral theory is the classical spectral theory, since the max-plus eigenproblem can be obtained as the limit of a ``deformation'' of the classical eigenproblem. The max-plus analogues of the eigenvalues can be found by solving a family of optimal assignment problems (i.e., special instances of the Monge-Kantorovitch mass transportation problem). I will show how max-plus techniques can be applied to solve some of the singular cases of a classical theorem in perturbation theory due to Vishik, Lusternik and Lidskii.
A second motivation comes from optimal control, or variations calculus: Maslov pointed out that the evolution semigroups of the Hamilton-Jacobi PDE associated to deterministic optimal control problems (Lax-Oleinik semigroups) are max-plus linear. I will discuss max-plus spectral problems over a non-compact spate space. The max-plus analogues of harmonic functions, which are the fixed points of Lax-Oleinik semigroups, can be determined by imitating the Martin representation arising in classical potential theory. The analogue of the Martin compactification turns out to coincide with the compactification of metric spaces by horofunctions introduced by Gromov. The harmonic functions which are extremal in the sense of max-plus convex analysis can be identified to the limits of semi-geodesics (Busemann points). An application to the representation of solutions of Hamilton-Jacobi PDE over a non-compact domain will be given.
A last motivation comes from non-linear Perron-Frobenius/Krein-Rutman theory. I will briefly discuss the extension of max-plus results to some non-linear order preserving maps arising in the study of stochastic control and game problems.
The materials of this talk are taken from joint works with several coauthors, specially M.Akian, R.Bapat, and C.Walsh.
Доклад основан на моей совместной работе с Ф.Ф. Вороновым.
Пусть A - алгебра функций на топологическом (компактном хаусдорфовом) пространстве X и V=A^* - пространство линейных функционалов на A со значениями в вещественных числах. Тогда подмножество в линейном пространстве V, состоящее из кольцевых гомоморфизмов, находится во взаимно-однозначном соответствии с точками пространства X. Это классический результат Гельфанда и Колмогорова 1939-го года.
Рассматривая суммы произвольных k-гомоморфизмов, мы приходим к подмножеству в V, которое находится во взаимно-однозначном соответствии с k-ой симметрической степенью Sym^k X топологического пространства X. Это было недавно доказано Бухштабером и Рисом. Суммы k-гомоморфизмов - это пример введенного ими понятия "k-гомоморфизма" (см. доклад В.М.Бухштабера в сборнике "Глобус", выпуск 2)
Рассмотрим в линейном пространстве V линейные комбинации \sum m_\alpha f_\alpha гомоморфизмов f_\alpha. Мы приходим к интересному понятию p|q-гомоморфизма, если коэффициенты m_\alpha - целые числа, где p-q=\sum m_\alpha и p+q=\sum|m_\alpha|. Мы вводим понятие p|q-гомоморфизма для произвольной коммутативной алгебры A с единицей, строим обобщенную симметрическую степень S^{p|q}A алгебры A и изучаем связь этих понятий. Главным инструментом нашего исследования является характеристическая функция R(f,a,z), вводимая нами для произвольного линейного отображения f из алгебры A. В случае если f(a)=Tr L(a), где L(a) - матричное представление алгебры A, R(f,a,z)=Ber(1+zL(a)). Здесь Ber - березиниан (супердетерминант). Это обстоятельство проливает свет на связь алгебраических свойств линейного отображения f с поведением функции R(z,f,a).
Предварительные результаты работы см. в arXiv:math.RA/0612072.
