|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/globus/gl_f05.html
Дата изменения: Wed Jan 4 19:38:02 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 06:44:10 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: t tauri |
На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в осеннем семестре 2005 года.
What follows is the list of talks at the IUM general seminar "Globus" delivered during fall semester, 2005. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some there are lecture notes in postscript format.
Впервые граф-комплексы были введены Концевичем как средство описания весьма нетривиальных взаимоотношений между некоторыми бесконечномерными алгебрами Ли и такими топологическими объектами, как пространства модулей кривых, инварианты нечетномерных многообразий и группа внешних автоморфизмов свободной группы. Мы развиваем новую технику для вычисления когомологий некоторого важного класса (ориентированных) граф-комплексов через гораздо более простые чисто операдные граф-комплексы. В качестве приложения мы вычисляем когомологии нескольких классических граф-комплексов и даём новое доказательство теоремы Концевича о существовании *-произведений на формальных ростках многообразий Пуассона.
In this talk we introduce a new class of finitely additive measures on any smooth manifold which we call smooth valuations. This notion generalizes in a sense the classical notion of continuous valuation from convexity. This class of valuations appears naturally in various questions of integral geometry.
This object turns out to have quite rich structures to be discussed in the talk: multiplicative structure, canonical involution, filtration. Then we will describe their properties. Basic examples of smooth valuations are smooth densities and the Euler characteristic. The latter is the unit in the algebra of valuations.
References: math.MG/0509512, math.MG/0503399, math.MG/0503397.
In the 1960s, H. Steinhaus asked whether every closed curve in space has a pair of parallel tangent lines; a curve without parallel tangents is called a skew loop. I will survey work of a number of authors that stemmed from this question (starting with B. Segre).
Here is a sample of results.
1. Skew loops have an aversion to quadratic surfaces: a closed curve on quadric in 3-space has parallel tangent lines. But every convex non-quadratic surface carries a skew loop.
2. Skew loops also have aversion to ruled developable surfaces.
3. A skew brane is a multidimensional analog of a skew loop: it is a codimension 2 submanifold without parallel tangent spaces. Skew branes also have an aversion to quadratic hypersurfaces.
4. There are no closed skew branes with non-zero Euler characteristic, but there exist skew tori and odd-dimensional skew spheres.
5. A submanifold in affine space is totally skew if any two tangent lines at disticts points are neither parallel nor intersect. A generic n-dimensional submanifols in 4n+1-dimensional space is totally skew. There exist totally skew n-dimensional spheres in 3n+2-space, and in 3n+1-space if n is odd.
6. Denote by N(n) the least dimension of space into which n-space can be embedded as a totally skew submanifold. Then N(n)\geq 2n+2, unless n=1,3,7. One has the following lower bounds for the numbers N(n):
n= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 N(n)\geq 3 6 7 12 13 14 15 24 25 27 28 31 36 37 38 48 49
The first two estimates are sharp.
С формальной точки зрения тропическую геометрию можно определить как алгебраическую геометрию, основанную на полуполе тропических чиселю. (Тропические числа -- это вещественные числа и минус бесконечность, оснащенные арифметическими операциями взятия максимума и сложения.) При этом такая геометрия не является такой уж "надуманной" и оторванной от классической геометрии наукой. Она немедленно возникает хоть из комплексной, хоть из вещественной геометрии как только мы начинаем рассматривать геометрические объекты "в большом пределе", т.е. вырождать, скажем комплексную, структуру на них максимальным возможным образом. (Такая точка зрения появляется из "Зеркальной Симметрии".)
Не в пример своим комплесным контрпартнерам, тропические многообразия довольно просты в описании. Скажем, тропические кривые оказываются ничем иным как метрическими графами, а их отображения в проективные пространства (и другие торические многообразия) соответствуют взвешенным сбалансированным прямолинейным графам в евклидовом пространстве. При этом большинство классических теорем верны и тропически: есть и теорема Абеля-Якоби, и неравенство Римана-Роха, и Якобиан для кривой, и Тета-дивизор на Якобиане и т.д...
Связь между тропической и классической геометриями можно использовать для ответа на целый ряд проблем как комплексной, так и вещественной геометрии. Некоторые из таких применений мы и рассмотрим. Так например, тропическая геометрия является единственным известным способом вычисления вещественных аналогов инвариантов Громова-Виттена (так называемых инвариантов Вельшинжера). Например, какие бы общие 3d-1 точки мы ни взяли на проективной плоскости, через них всегда будет проходить хотя бы одна рациональная кривая, определенная над R.
Какую длину может иметь замкнутая несамопересекающаяся геодезическая (= локально кратчайшая кривая, = прямая в гранях, не проходит через вершины, при переходе из грани в грань образует с двух сторон равные углы с общим ребром) на поверхности куба с ребром 1? Ответ: возможны три варианта; хотите узнать какие, — приходите на доклад.
