На главную страницу НМУ

Э.Б.Винберг

Алгебра, 2 курс (1993-94 учебный год)

Программа курса

Первый семестр

1. Тензорное произведение векторных пространств: категорное определение, существование и единственность (в конечномерном случае).
2. Пространство линейных отображений как тензорное произведение.
3. Тензоры на векторном пространстве, их умножение и свертка. Тензорная алгебра.
4. Симметрическая алгебра векторного пространства, ее изоморфизм с алгеброй многочленов на сопряженном пространстве.
5. Вложение симметрической алгебры в тензорную (в виде подпространства). Поляризация однородного многочлена.
6. Внешняя алгебра векторного пространства, ее изоморфизм с алгеброй кососимметрических билинейных форм на сопряженном пространстве.
7. Вложение внешней алгебры в тензорную алгебру (в виде подпространства).
8. Подмодули свободного модуля конечного ранга над евклидовым кольцом.
9. Разложение конечнопорожденного модуля над евклидовым кольцом в прямую сумму циклических модулей.
10. Разложение циклического модуля над евклидовым кольцом в прямую сумму примарных циклических модулей.
11. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме (без доказательства единственности).
12. Минимальный многочлен линейного оператора. Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора над полем комплексных чисел.
13. Нетеровы кольца. Конечнопорожденность подмодуля конечнопорожденного модуля над нетеровым кольцом.
14. Нетеровость кольца многочленов над нетеровым кольцом.
15. Радикал нетерова кольца как пересечение простых идеалов.
16. Конечные расширения полей (колец). Свойство транзитивности.
17. Критерий алгебраичности (целости) элемента расширения поля (кольца).
18. Конечные расширения полей (нетеровых колец) как расширения, порожденные конечным числом алгебраических (целых) элементов.
19. Алгебраическое (целое) замыкание поля (нетерова кольца) в его расширении.
20. Целое замыкание нормального нетерова кольца в конечном расширении его поля отношений.
21. Степень трансцендентности конечнопорожденной алгебры.
22. Теорема Нетер о нормализации.
23. Конечнопорожденные алгебры с делением.
24. Теорема Гильберта о нулях.
25. Конечнопорожденные алгебры и алгебраические многообразия.
26. Топология Зарисского. Разложение аффинного алгебраического многообразия на неприводимые компоненты.
27. Факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
28. Соответствие между неприводимыми многочленами от n переменных и (n-1)-мерными алгебраическими многообразиями в C^n.
29. Кольца целых алгебраических чисел, их аддитивное строение и максимальность простых идеалов.

Второй семестр

I. Теоретические вопросы

1. Группа автоморфизмов и группа внутренних автоморфизмов группы.
2. Полупрямое произведение групп.
3. Коммутант группы. Разрешимые группы.
4. Действия групп. Орбиты и стабилизаторы. Описание транзитивных действий.
5. Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряженных элементов и классы сопряженных подгрупп.
6. Конечные p-группы, их разрешимость.
7. Существование силовских подгрупп.
8. Сопряженность силовских подгрупп.
9. Число силовских подгрупп.
10. Существование и единственность поля разложения многочлена.
11. Конечные поля.
12. Группа автоморфизмов конечного расширения поля. Расширения Галуа.
13. Теорема о том, что поле разложения сепарабельного многочлена является расширением Галуа.
14. Поле инвариантов группы автоморфизмов конечного расширения поля.
15. Основная теорема теории Галуа.
16. Решение алгебраических уравнений в квадратных радикалах.
17. Полная приводимость линейных представлений конечных групп.
18. Оператор Рейнольдса и конечная порожденность алгебры инвариантов конечной линейной группы.
19. Общее уравнение n-ой степени и инварианты группы S_n.
20. Существование неподвижной точки компактной группы аффинных преобразований. Полная приводимость линейных представлений компактных групп.
21. Разделение орбит компактной линейной группы инвариантами.
22. Оператор Рейнольдса и конечная порожденность алгебры инвариантов компактной линейной группы.
23. Существование инвариантной положительно определенной квадратичной (эрмитовой) формы для компактной линейной группы.
24. Морфизмы линейных представлений. Лемма Шура. Неприводимые комплексные линейные представления абелевых групп.
25. Вполне приводимые линейные представления, их характеризация как сумм неприводимых представлений.
26. Изотипные линейные представления, их инвариантные подпространства.
27. Теорема Бернсайда.
28. Полупростые (конечномерные) ассоциативные алгебры, их характеризация в терминах канонического скалярного умножения.
29. Разложение полупростой ассоциативной алгебры в прямую сумму простых алгебр.
30. Строение простых ассоциативных алгебр над алгебраически замкнутым полем.
31. Неприводимые линейные представления полупростой ассоциативной алгебры над алгебраически замкнутым полем.
32. Групповая алгебра конечной группы и ее применение к теории линейных представлений конечных групп.
33. Алгебра функций на конечной группе. Соотношения ортогональности для матричных элементов и характеров неприводимых представлений.
34. Сохранение полупростоты ассоциативной алгебры при расширении основного поля. Теорема о примитивном элементе конечного расширения поля.
35. Сохранение простоты центральной ассоциативной алгебры с делением при расширении основного поля.
36. Расщепление центральной ассоциативной алгебры с делением над конечным расширением основного поля.
37. Максимальные подполя центральной ассоциативной алгебры с делением.
38. Теорема Фробениуса.
39. Конечные тела.
40. Восстановление связной группы Ли по ее касательной алгебре.
41. Совпадение инвариантных подпространств для линейного представления связной группы Ли и соответствующего линейного представления ее касательной алгебры.
42. Присоединенное представление группы Ли и его дифференциал.
43. Критерий нормальности подгруппы Ли.
44. Редуктивные комплексные группы Ли, полная приводимость их линейных представлений.

II. Примеры и задачи

1. Группа автоморфизмов группы S_3.
2. Группа автоморфизмов группы Z_n.
3. Полупрямые произведения конечных циклических групп.
4. Разложение группы движений евклидового пространства в полупрямое произведение группы параллельных переносов и ортогональной группы.
5. Коммутанты групп S_n и A_n.
6. Коммутант группы GL_n(K).
7. Разрешимость группы треугольных матриц.
8. Изоморфизм между группой симметрий тетраэдра и группой S_4.
9. Изоморфизм между группой вращений куба и группой S_4.
10. Классы сопряженных элементов в группе S_n.
11. Классы сопряженных элементов в группе SO_3.
12. Классы сопряженных элементов в группе вращений куба.
13. Доказать, что если p --- наименьший простой делитель порядка конечной группы G, то всякая подгруппа индекса p нормальна.
14. Доказать, что всякая группа порядка p^2 абелева.
15. Группы порядка pq.
16. Доказать, что всякая группа порядка 12 разрешима.
17. Простота группы A_n при n>4.
18. Поле разложения кубического многочлена.
19. Группа Галуа кругового поля K_n при n=p^m.
20. Квадратичное поле, содержащееся в K_7.
21. Трисекция угла.
22. Циклотомия.
23. Ортогональные инварианты симметрической матрицы.
24. Линейные представления конечных абелевых групп.
25. Линейные представления группы D_n.
26. Линейные представления группы A_4.
27. Линейные представления группы S_4.
28. Таблица характеров группы S_4 и ее применение к разложению представления группы S_4 в пространстве функций на множестве граней куба.
29. Формула Бернсайда для числа орбит конечной группы подстановок и ее смысл с точки зрения теории представлений.
30. Разложение мономиального представления дважды транзитивной конечной группы подстановок.
31. Обобщенная алгебра кватернионов.
32. Унимодулярная группа и ее касательная алгебра.
33. Ортогональная группа и ее касательная алгебра.
34. Унитарная группа и ее касательная алгебра.
35. Связность унимодулярной группы.
36. Связность группы SO_n
37. Связность групп U_n и SU_n.
38. Гомоморфизм из SU_2 в SO_3.
39. Изоморфизм касательной алгебры группы SO_3 и алгебры геометрических векторов с векторным умножением.
40. Простота группы Ли SO_3.
41. Простота группы Ли SL_2(C).
42. Доказать, что группа U_n является вещественной формой группы SL_n(C).
43. Вычисление дифференциала линейного представления группы SL_2(C) в пространстве бинарных форм.
44. Неприводимые линейные представления алгебры Ли sl_2(C).