| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 1. Аффинные преобразования
Определение.
Преобразование плоскости называется аффинным, если оно непрерывно,
взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.
Частным случаем аффинных преобразований являются движения
и преобразования подобия.
Определение.
Растяжением плоскости относительно оси l с коэффициентом k
называется преобразование плоскости, при котором
каждая точка M переходит в такую точку M?, что
, где O - проекция точки M на прямую l.
(Растяжение с коэффициентом меньше единицы называется сжатием.)
-
29.1.
-
Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.
-
29.2.
-
Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые
переходят в параллельные.
-
29.3.
-
Пусть A1, B1, C1, D1 - образы точек A, B, C,
D при аффинном преобразовании. Докажите, что если
, то
Из предыдущей задачи вытекает, что мы можем определить
образ вектора
при аффинном отображении L как
,
и это определение не будет зависеть от выбора точек A и B.
-
29.4.
-
Докажите, что если L - аффинное преобразование, то
а)
;
б) L(a + b) = L(a) + L(b);
в) L(ka) = kL(a).
-
29.5.
-
Пусть A?, B?, C? - образы точек A, B, C при
аффинном преобразовании L. Докажите, что если C делит
отрезок AB в отношении AC : CB = p : q, то C?
делит отрезок A?B? в том же отношении.
-
29.6.
-
а) Докажите, что существует единственное аффинное
преобразование, которое переводит данную точку O в данную
точку O?, а данный базис векторов e1, e2 -
в данный базис e1?, e2?.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите,
что существует единственное аффинное преобразование, переводящее
точку A в A1, B - в B1, C - в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует
единственное аффинное преобразование, которое один из них
переводит в другой.
-
29.7*.
-
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из
его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот
пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
-
29.8*.
-
Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L
каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые
вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не
лежащие на прямой l, параллельны друг другу.
-
29.9*.
-
Докажите, что любое аффинное преобразование
можно представить в виде композиции двух растяжений
и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник
в подобный ему треугольник.
-
29.10*.
-
На плоскости дан многоугольник A1A2: An и точка O внутри его.
Докажите, что равенства
|
|
R
OA1
|
+ |
R
OA3
|
= 2cos |
2p
n
|
|
R
OA2
|
, |
|
|
|
R
OA2
|
+ |
R
OA4
|
= 2cos |
2p
n
|
|
R
OA3
|
, |
|
|
|
R
OAn - 1
|
+ |
R
OA1
|
= 2cos |
2p
n
|
|
R
OAn
|
. |
|
необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование,
переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O - в его центр.
Многоугольник, который аффинным преобразованием можно перевести
в правильный многоугольник, называют аффинно правильным.
-
29.11*.
-
Докажите, что любое аффинное преобразование
можно представить в виде композиции растяжения (сжатия)
и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник
в подобный ему треугольник.
-
29.12*.
-
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую
окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
-
29.13*.
-
Докажите, что если M? и N? - образы многоугольников M
и N при аффинном преобразовании, то отношение
площадей M и N равно отношению площадей M? и N?.
Глава 29 | 
