Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl12s1.htm
Дата изменения: Wed Aug 4 15:18:53 2004
Дата индексирования: Sat Dec 22 17:57:04 2007
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: regolith
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

Глава 12 | Оглавление | Глава 12. § 2

§ 1. Теорема синусов

12.1.
Докажите, что площадь S треугольника равна abc/4R.
12.2.
Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABD и CBD равны.
12.3.
Выразите площадь треугольника ABC через длину стороны BC и величины углов B и C.
12.4.
Докажите, что
a + b

c
= cos a - b

2
/ sin g

2
, и a - b

c
= sin a - b

2
/ cos g

2
.
12.5.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точки A2 и C2 симметричны A1 и C1 относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A2C2 пополам.

Рис. 12.1

12.6. Через точку S проведены прямые a,b,c и d; прямая l пересекает их в точках A,B,C и D. Докажите, что величина AC ћ BD/(BC ћ AD) не зависит от выбора прямой l.

12.7. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и произвольная точка P. Прямая l, проходящая через точку P, пересекает прямые a и b в точках A и B. Докажите, что величина (AO/OB)/(PA/PB) не зависит от выбора прямой l.

12.8. Обозначим вершины и точки звеньев (неправильной) пятиконечной звезды так, как показано на рис. 12.1. Докажите, что
A1C ћ B1D ћ C1E ћ D1A ћ E1B = A1D ћ B1E ћ C1A ћ D1B ћ E1C.

12.9.
Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую середины оснований, равны.
12.10*.
На окружности с диаметром AB взяты точки C и D. Прямая CD и касательная к окружности в точке B пересекаются в точке X. Выразите BX через радиус окружности R и углы j = РBAC и y = РBAD.

Глава 12 | Оглавление | Глава 12. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100