Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl11s2.htm
Дата изменения: Wed Aug 4 15:18:53 2004
Дата индексирования: Sat Dec 22 17:43:45 2007
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п

Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 11. § 1 \|	Оглавление \|	Глава 11. § 3

§ 2. Экстремальные точки треугольника

11.14.: На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X; M и N - ее проекции на катеты AC и BC.

а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?

б) При каком положении точки X площадь четырехугольника CMXN будет наибольшей?

11.15.: Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?

11.16.: Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

11.17.: Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?

11.18^*.: Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c - расстояния от нее до прямых BC, CA, AB. При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

11.19^*.

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M. При каком положении точки M величина

MA₁

AA₁

MB₁

BB₁

MC₁

CC₁

максимальна?

11.20^*.: Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина a/MA₁ + b/MB₁ + c/MC₁ принимает наименьшее значение?

11.21^*.: Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120њ.)

11.22^*.: Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

См. также задачу 18.22 а).

Глава 11. § 1 \|	Оглавление \|	Глава 11. § 3

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.