Глава 17. Решения |	Оглавление |	Глава 18. § 1

Глава 18.
Поворот

Основные сведения

1. Мы не будем давать строгого определения поворота. Для решения задач достаточно иметь следующее представление о повороте: поворот с центром O (или относительно точки O) на угол j - это преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку X? что:

а) OX? = OX;

б) угол поворота от вектора

R OX

к вектору

R OX?

равен j.

2. В главе используются следующие обозначения для преобразований и их композиций:

T_a - перенос на вектор a;

S_O - симметрия относительно точки O;

S_l - симметрия относительно прямой l;

R_O^j - поворот с центром O на угол j;

FњG - композиция преобразований F и G, причем (FњG)(X) = F(G(X)).

3. Задачи, решаемые с помощью поворотов, можно разделить на два больших класса: задачи, не использующие свойств композиции поворотов, и задачи, использующие эти свойства. Для решения задач, использующих свойства композиции поворотов, нужно усвоить результат задачи 18.35: R_B^bњR_A^a = R_C^g, где g = a + b и РBAC = a/2, РABC = b/2.

Вводные задачи

1.

Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.

2.

Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360њ/n относительно некоторой точки.

3.

Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60њ (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в C.

4.

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

5.

Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.

Глава 17. Решения |	Оглавление |	Глава 18. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.