Глава 14. § 2 |	Оглавление |	Глава 14. § 4

§ 3. Момент инерции

Величину I_M = m₁MX₁² + ? + m_nMX_n² называют моментом инерции системы точек X₁, ?, X_n с массами m₁, ?, m_n относительно точки M.

14.19.

Пусть O - центр масс системы точек, суммарная масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки O и произвольной точки X связаны соотношением I_X = I_O + mXO².

14.20.

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен

1 n

е i < j

aij2

, где n - число точек, a_ij - расстояние между точками с номерами i и j.

14.21.

а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX² = BX² + CX².

14.22.

Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, H - точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

14.23.

Хорды AA₁, BB₁ и CC₁ окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA₁) + (BX/XB₁) + (CX/XC₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром OM, где M - центр масс треугольника ABC.

14.24^*.

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ ћ PA₂ + PB₁ ћ PB₂ + PC₁ ћ PC₂ = R² - OP², где O - центр описанной окружности.

14.25^*.

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

14.26^*.

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d_a, d_b и d_c - расстояния от точки P до сторон треугольника, R_a, R_b и R_c - расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(da2 + db2 + dc2) ? (Rasin A)2 + (Rb sin B)2 + (Rc sin C)2.

14.27^*.

Точки A₁, ?, A_n лежат на одной окружности, а M - их центр масс. Прямые MA₁, ?, MA_n пересекают эту окружность в точках B₁, ?, B_n (отличных от A₁, ?, A_n). Докажите, что MA₁ + ? + MA_n ? MB₁ + ? + MB_n.

Глава 14. § 2 |	Оглавление |	Глава 14. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.