Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.mccme.ru/free-books/globus/globus1.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Wed Mar 28 17:28:12 2007 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue Oct 2 13:12:24 2012 Êîäèðîâêà: koi8-r Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï

globus



. 1

. . . .

2004


51 (06) 22.15 54

( 01-01-14022) .


54

. / . . . . . . ­ .: , 2004­ . ­ ISBN ­ ­ ­ 5 -9 4 0 5 7 -0 6 4 -X.
. 1. ­ 2004. ­ 264 . ­ ISBN 5-94057-068-2. ­ ­ ­
«» ­ ­ . , . . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . , . . , . . , . . . . .

51 (06) , 22.15

. 1 . . . . . .
01335 24.03.2000 . 1.11.2004 . 70 â 100 1/16. 1. . . . 16,5. 800 . . 121002, , ., 11. . (095) 241­72­85. « ,,"». 119009, , ., 6.
« », ., . 11. . (095) 241­72­85. E-mail: ï ñÿ ÿ ºæû

ISBN 5-94057-064-X ISBN 5-94057-068-2 (. 1)

© , 2004 © , 2004.



, ! ! , . . .

. , , . , , , ­ ­ ­ . ­ , , . ­ . , ­ , . , , , , . , ­ ­ , , . , , . *) «». ­ , ­ ­ , ­ , , . «» . . , . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . () , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . -, . . , . () , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . ,
*) . . . . «, ». ­ , 1917 ­ (. : . . . . ­ .: «», 1991. ­ ­ ­ . 338­ 480) . ­


4



. . , . . , . , . . , . . , . , . () , . . , . . , . . , . . , . . () , . . , . , . . , . , . C. , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . . , . , . . , . . , . . , . , . . , . . , . . , .-. , . . , . . () , . . () , . , . , . . , . . , . . , . . , . . . . , «» . , ­ ­ . 15 . . . , , 16- ­ ­ - ; , , . . . ­ ­ ­ . , , , , , , . . . , , , ­ , ­ . , , ( , , ) . n- , , , .




5

. . ­ ­ . . , . . . . , , . ( ) , . ­ ­ , , -. , . . . , , . , . . , , . , . , , x 2 + py + q . . . , x , p q ­ 2 â 2, ­ . 6 ( 16, ) , 0 , . . . ­ ­ . ­ , . , x 3 + 2y 3 + 3z 3 + 4t 3 = 0 , ( ) . , , , . , ­ ­


6



, , «» , . . . ­, , . trail' () , . : -, q - , -, () . . . . : , , , , . , , , , . . , , ; . . . ­ , 21- : ? , 16- (. ) , , . , , . , , . . . . ­ ­ , . , . ( ) .




7

, , . , . , , , . . . . ­ , , . ­ ; , , . . . , «» ­ ­ « » *) , . -: , SLn (Z) -. n = 2 , ´ n ­ . ­ , , . , . , **) , , . . .

*) .: . . 1. ­ .: , 2000; . 2, 2001. ­ **) . , . ( , . .)


. . 16-

1. 16- . . . -, . , . : « , , .» Pn (x , y) Qn (x , y) ­ n. ­ , . . . 1880- , . ; 16- « ». ­ ­ . , , *) . , . . , . =
*) x = Pn (x , y) , y = Qn (x , y) .



dy dx

Pn (x , y) Qn (x , y)


16-

9

1900 . , , , . : « n ?» : « , ?» 1923 . , , ; . 1980 . ( ) , , , , 50 . 1955­ 57 . , ­ . , H (2) 3 (H (n) ­ ­ n) . 60- , , . H (2) 3 : . 1981 . . 1981 . , , . , , , . 2. ­ , , , ­ . , , -


10

. .

, , . , . . , - *) . , , . , ­ ­ (. 1) . : , , . , . 1. , . , , ( ­ ­ ) . ­ ­ . , . , . , , , , , (. 2) . P . ; . 2. ­ . ­ , . , P (x) - x . . .
*) , , , n2 .


16-

11

. , . . ­ ­ (. 3) . «» , , . 3. f (x ) , f ­ , ­ ­ ­ . , , , . . (1901) , ­ . ­ ; . 1968 .; ­ 1977 ., ­ 1980 . , , , . . , , . ­ , , ­ . ­ ­ , , . , , . - . . , , , .


12

. .

() . P (. . 0 0, e -1/x) , ( ) , . . , , , . . ­ ­ 0, : ^ P (x) = cx + p j (ln x) x

j

(c = 0, = 0, j ) .

(1)

, x . ( ­ ) ­ . () . () . P , P = id ­ ­ . . (1) . 1, P (x) x (. 4) . P . y y y

>1

x

<1

x

= 1, c = 1 x

. 4. P (x)

1, y . = 1, c = 1, , . . , = 1 c = 1, P (x) - x = P1 (ln x) x
1

1 + O (1) .

.


16-

13

, . , . , . , . ^ , . . P (x) = x + O (x N ) N , : . , , P (x) = x + e
-1/x

sin

1 x

. , -

, . , , , , , . , , . , , , , . , , . : , P (x) = x + + e -1/x (1 + O (x)) . *) . 3. ; 1992 . ( ) . 1991 . AMS «Finiteness theorem for limit cycles» . , . : . ­ ­ .
*) (, , ) x = x 2 , y = -y .


14

. .

, . (x = x 2 + . . . , y = -y + . . . ) , , , , . z z + z 2 + . . . . z + z 2 . , , . . , , , . ­ ­ , . H1 H2 ­ ­ , , . 5. , , . ­ ­ H1 H2 , ; , |H1 - H2 | = O (e -c /|z |) . , ; . ( , , ) , . , ­ ­ . , , . -


16-

15

. , . , . ? 16- , . 4. , , . Hn+1 , dHn+1 (x , y) = 0 x = Hy , y = -Hx . , , ­ H = const. ­ 16- , . ; , , (. 6) . . 6 . x = Hy , y = -Hx ­ ­ , ; () . . . 6. , . , . = An dx + Bn dy dH + = 0, , . , H = const . , , . . , , , . h ­ , ­ H = h. , h , , I (h) = 0 I (h) = 0, I (h) = . ­ ­ .

h


16

. .

­ . . ­ ­ ­ , ( ) . , . . h, h = 0, . . , . - , . : 1) ( ) ; 2) ( ) . n, . . H n + 1, n, I (n) ­ I (h) ­ . ` . . , ­ , ­ . ­ ­ : « Hn+1 ( , ) I (h) 0 , d = 0.» , H , 1969 . . 1997 . , N = n2 /2 , , N H . ­ ­ . , , 16- . 16- , , . , . , , . ­ , ­ , .


16-

17

, , H (2) . ( ) , n I (n) . (1984) . (1999) , I (2) = 2. , , . I (n) n 2 . 5. 16- , 16- , , . , H . . . K ­ ­ H . , , I (n, K ) . , , 5 . ­ ­ 5 , . ­ , , ­ , . , K . , K R , R . , , , , . . . f U ; . K U . ­ ­ K U . f K e ln
max | f |
U K

max | f |

.

, 5 , ; .


18

. .

. 70- , 16- . . , XXI . 16- , , . 6. , . ­ , ­ , . : x = xn +
n-1 j =0

a j (t) x j ,

t S 1 , x R.

, n. : n A (n) 2 2 3 3 4

( A (n) ­ ) . ­ , , n 4 . , |a j | < C , : aC n A (n, C) e e . . . x , t . , , . . , , .


16-

19

7. , , , . , , H (n) . .
dx dy

=

Pn Qn



Pn Qn 2n. , , . . B ; , . , . , n , n n. . , . . , . , . . . ­ , ­ . ; . ( , ) H (n) . , . n = 2. , 2, . 121. -


20

. .

, , H (2) . , 1985 ., , , *) . . . ­ . , ­ . n- ( ) : X = v (x , ) , x S 2 , B ( B ) . , . 1- ; - , 1- . , 1- , . 7 , , ­ . ­ , , k- . , . 7. 1- k- . k- B (k) . (. . , ­ ­ ) k- E (k) . , B (k) k. E (k) . ( , 1985) . k E (k) , . . k-
*) , « » . « » . « » «» ; (, , ...) , - .


16-

21

, E (k) . 2 E (k) 225k (The existential Hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles // Invent. Math. ­ 2003. ­ V. 151, 3. ­ P. 451­ 512) . ­ ­ ­ ­ 16 2000 .


. . ­ ­

, . . , . , , , ­ ­ , , , , , . . . ­ ­ ( ) . . : ­ ­ ; ­ ­ ­ ­ ­ ­ ; ­ ­ . . ; ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ; ­ ­ ­ ­ ; ­ ­ ( ) . . . [1] , .


­ ­

23

1. . . E T , , , . , b0 T , . , . . . , , . , . , . , , , . , ­ ­ . (, , , ) . , , . , , . ¯ ´ E T¯ ( ) . - , . , . - T¯ ( , ¯ ) . (. . E T¯ ­ ­ ) , , 2. ( T¯ ) - . -


24

. .

, , . E T ­ ­ ¯ E T¯ T = T¯ \ . , : . - ­ , , ­ . : (, ) . (. . E T , ) . , , . , , , . , , . , , . , . : ( ) , , , . ­ , ­ . . . , , ¯ , . . E ¯ T¯ ( ) : E . ¯ ­ E , , . . ­ T¯ . ( ¯ E : ¯ , . . E ­ ­ ­ ­ , .)


­ ­

25

T¯ ­ . ­ . ¯ : : E T¯ ­ (. . ­ ) , T = T¯ \ . , -1 (b) , b , . , , . . . , . , ­ ­ , , B b . D T¯ ­ ­ b , . D , , , , . , D b : . 1. . , B ¯ E , . . , B . , D B , -1 () , D , B B , . . 1. B F = -1 () : F \ B B D . , («») D , B , ( ) D . , , , B . , . .


26

. .

H (F , F \ B) . , . F D ; ­ ­ B , ( ) , B B . , , ­ ­ , B . , , H (F B) , H (F , F \ B) H (F B , F B) . = ( ) . , , , D , F , i Var j : j ­ B , Var ­ ­ ­ ( D , , . . ; , , , , ) , i ­ , ­ F B F . ­ ­ , . , . , T¯ ( ) , T , , D , . ( ) , , , ,
j Var i - H (F ) - H (F , F \ B) H (F B , F B) - H (F B) - H (F ) . =

(1)


­ ­

27

(. . F) . , T , . . , . . , . . . f : (Cn , 0) (C, 0) ­ ­ n , . . d f (0) = 0 d f = 0 B \ 0. C1 D 0, B . f -1 () D \ 0 ­ ­ . , B , . . F B = f -1 () B , D \ 0. F , , . , F , , f . F B 2n - 2. ( ) , n - 1. , n - 1; µ (f) . , Hn-1 (F B) Zµ (f) n = 1, = Zµ (f) +1 , ~ H (F B) , . Zµ (f) n - 1. , ~ H (F B , F B) , , n - 1 Zµ (f) . : ~ H
n-1

, . , f , . . , F B , D \ 0, n - 1 ( , -

~ (F B , B) H

n-1

(F B) .

(2)


28

. .

T1 S n-1 1 (n - 1) - ) . ­ : ­ Var () = (-1)
n (n+1) /2

, ,

(3)

­ , ­ ­ ­ . , 0 0. () . , 2 2 f f = x1 + . . . + xn . n , (. . Im x = 0, R j j = 1, . . . , n) . > 0 Rn , 0. (3) ( ) F , f , . , n . , F , . Hn-1 (F) Hn-1 (F) , (3) , , ( ) . (3) , . ­ ­ () F . , ( ­ ­ ) , , . . Hn-1 (F , F \ B) . 0, Var () = 0, . . , , , (, n) . n -, (3) , , 2. ( ) , , . , : Hn (B , F B) Hn (B , F) , (4)


­ ­

29

, Hn (Cn , F) . : Hn (B \ F , B) Hn (B \ F) . (5)

, Hn (Cn \ F) ; Cn n- Mn , f : Mn C1 , ( ) . , (4) , (5) , , . , , (2) , (4) , (5) : , 3 : Hn (B , F B)


Hn (B , F)


H

n-1

(F B , B)


H

n-1

(F B)


(6)

Hn (B \ F , B)

Hn (B \ F)

­ ­ , ­ () . ­ . - (n - 1) - , . ( ­ C1 , ­ , ) . . n- . , ( ) . , (6) , , , , ­ ­ .


30 2.

. .

. . « » . ( ) . . RN , . P ­ ­ RN . P ( ) V (L) , L , , L. , , V (L) . , ? ? ­ , ­ ; ( N = 3) . ­ . ­ 1. R2k , R2 . , , . , (. . f = 0, f ­ , ­ 0 - ) : , , V (L) . AC : ­ ­ , . T PC \ , PC ­ ­ N, C ­ ­ AC . ­ ­ dx1 . . . dxN ; CN . E PC , LC CN , ­ ­ N , L ) . , , (C C , , ­ ­ HN (CN , LC A) . (1)

CN (mod LC AC) (1) ,


­ ­

31

. ­ . ­ , , RN , , ; , (x) , { (x) = } , , . ( , ­ .) ­ , 0 . , , . , , , , ­ ( N) ­ , ­ , ­ , . , «» , . . RN , , . . CN , (x) = , , , , . ( ) (1) . ­ ­ (6) , , , N , . , . . . . , . , . . 2. , A . { (x) = } A ( ) , ( ) . A,


32

1 0



c

¤ ¥ 6 7

. .

A

§4 s1¦ s 3

5 2 § )8 7 ¤ ¤ EE G s s¡ s ' s¥ ¦ ¥9 6

C R

. 2.

( ) ( ) , . . , , ( ) , A . ­ , . . ( ) ­ , ­ , ­ . . ( ) ( 1 ( )) A, . , , ( ) 1 ( ) , , [ ( ) , ( ) ] , . R2 , A { = }, ( ) 1 ( ) . , 1 ( ) A , , . . , ( ) A , . [, ] , , A. , , . , , A.


­ ­

33

, 2k- k > 1. , , CPN , . , , (, PC) , LC ( AC) (1) . AC , , A : , . , , , . , , ( ) . . , , . ( , : , RN . , « ».) , , RN . , . , , , N > 2. , , , , . -, . . AC . - AC , . . , , . , . ,


34

. .

zN = 0, - zN = f (z1 , . . . , zN -1) , f ­ ­ . f (. . d f = 0) . , . , ; , . . {zN = 0} ; , f ­ . ­ . , - , ( ) . . , ( ) , . , AC , «» (. . PC , AC) , . , , , , D . ­ , ­ 1. . () ( A2) . N = 2 (, , , N) AC x , y y = f (x) , f (x) = x 3 + O (x 4) ; . 3 . () L , , , , , , . C2 , A L, ­ AC a ( ­ ) b ( ,


­ ­

35



L
3

a
1

2

b 0

A



0

. 3.

) . , , . . 3, . L , C1 C1 \ {, } ? ( , (6)) , (N - 2) - L A, «» , . . ~ ~ HN (B , B (L A)) HN -1 (B (L A)) ~ ~ ~ HN -1 (B (L A) , B L) HN -1 (B A, B A X) H

N -2

(B A X) ;

­ , ­ ­ ­ , ; , . 1 , 2 . , , N - ( ; N = 2 ) . N . N ± , ± N ; ­ , , ­ ±1. N = 2 , 1 A L ,


36

. .

2 3 . : ± ? N , . , ­ ­ N - 1 ( f) , , ­ , ­ . , N , , m , ± m . ( PC) ( , ) . AC , . AC . , . . , - . , CPn , . . , , . , . . (, , 3 CPN , ­ ­ CN , . . . ­ . . .) ­ . , . , A2 , . . , , , ­ . ­ . ,


­ ­

37

, , PC , AC . ( ­ ) ­ , ­ ­ AC . . 4: A , . . ( ­ 2 (­ ) 1 ( )) . L : , . , HN (CN , AC L) , HN -1 (AC , AC L) HN -2 (AC X) . . . ­ ­ . fT
s

L

A

. 4.

, (, ) CN . , ; (N - 2) -, , , , , .


38 3.

. .

. . , . , , , , , . (1809 .) . , , ( . ) , . , . . . d Rn . A d Rn ( RPn) , x , A, A d ( ) . x , , . 2 Rn . ( ) , . Rn , RPn . , ­ ( ­ ) . 2 () . d Rn , . . . I (x) I (x) = G (x - z) dV /dF , (1)


­ ­

39

z , , G (x) ­ ( , ­ , ln |x | n = 2 1/|x |n-2 n > 2) , dV ­ dz1 . . . dzn Rn , F ­ ­ ­ . ( , dV /dF ) : {F = 0} {F = } ; . = ±. , , , , ­ ­ , . . , . x , . , , , . ­ . ­ ( ) . , ( (1)) ? n = 2 d = 2. , , . : ­ ­ -
x x2 + y
2

,

y x2 + y

2

. -

, , , 4-. d > 2? : 3. n = 2 d = 2, , n > 2 d > 2, ­ ­ ( ) , . , . , AC A ( , Rn , Cn) . ­ . , x , ­


40

. .

. , , x . ? ? ( ) ­ AC Cn . ­ Hn-1 (AC \ S (x)) , S (x) ­ ­ Cn , 0 x . Cn (x , z) = (x1 - z1) 2 + . . . + (xn - zn) 2 , S (x) ­ z , ­ x , (1) . x = (x1 , . . . , xn) Cn . n , G , . n = 2, . , S (x) n, n , ­ . ­ Hn-1 (AC \ S (x)) , , x x Cn , AC S (x) , S (x) , AC . , . . x , : . , . , -; Cn , . Rn , 0. , , , ­ ( ­ ­ , ) , , ­


­ ­

41

, , , ( ) . , x , . , x n \ A (x) ( R , (1)) : Rn \ A, . x , . (x) (. . ) , (Hn-1 (AC \ S (x)) , x AC) , (x) , . x , ; x ­ , ­ x . x x Cn , x x , , . . ~ ~ x AC \ S (x) ( ) . , , . ( ­ .) ­ (x) (x ) , x ­ . ( , ­ , , , AC , .) x x , (x) (x) : , () x x . , n = 2 (x) - (x) . S (x) x ­ . ­ AC d ,


42

. .

x . (x) - (x) , AC A x c S (x) . x . (x) ? (x) (x) + ( (x) - (x)) , . , , . , . , , A . d , : AC . , , d - . , , d - . d 2 - . , R2 \ A, , , d 2 -. , . d2 - 2 , k- A = {x 2 + y 2 = 1} , : . . , S (x) . AC ; x . , , . , .
d2 k

-.


­ ­

43

, , , , . d i = 1, . . . , d /2 d /2 + i , A, (x 2 + y 2) i . A d /2 R2 . . A «» R2 \ A (. . ) . , x (x) - (x) ( (x) - «» ) d = 2 â d /2 AC \ S (x) ­ d /2 ­ S (x) AC . A ­ , ­ . , x , , ( ) . n > 2. , , , . . ­ ­ (f1 , . . . , fk) : Cn Ck , k n, k. (. . , f1 = . . . = fk = 0, { f j /xi } k) , ( , ­ ­ ) . , . (. , . , .-. .) . , . , (f1 , f2) , f1 = 0 ­ , f2 ­ ­ ­ - , , ­ . ­ . , , . , f1 (


44

. .

) . . n , d 2, - ( ) . ­ , ­ . , , , , . . Hn-1 (AC \ S (x) , C) , . , ( ) . n > 2 d > 2, . , . n , : . . ­ ­ . , C1 AC \ S (x) , S (x) -1. ( , ) Rn n : n «» n, . 4. Rn ­ ­ P f (x) = (x) , : , , f (x) x . , 3. ,


­ ­

45

/i x j Cn Rn j Rn . , . . P /i x j , P j Rn . A (P) RPn-1 ­ , ­ ( ) RPn-1 \ A (P) , P (/i x) ( ) n R+ , . .
2 2 x1

=c

2

n

j =2

2 x 2 j

,

(1)

, , c . (. . , -) , . . , c
22 x1 n

=
j =2

x2, j

x1

0.

(2)

n. - n > 2 0 : , . , ( ) . 4- -, « » , , . . ( . . ) , ,


46

. .

. : . , Rn (, , ) . , ­ ­ n A (P) , . . x R+ , X (x) RPn-1 A (P) (, A (P) ) . 2- , . , (n - 2) - . ( , ) . : , . ( ) ­ ­ , . . : Ak (k 1) , Dk (k 4) , E6 , E7 , E8 . , A1 , ­ A2 . , k ­ k - 1. , , . x ( ) ­ ­ ­ ­ , ­ ­ Hn-1 (XC (x) \ AC (P)) . , n XC (x) \ AC (P) -


­ ­

47

AC (P) XC (x) ; n . x ( ) , : , , Cn ( , P ) , , . , , . , y x ( ) , [, 0) , XC (x ( )) AC (P) ( x (0) = y) . , , , , XC (y) \ AC (P) *) , y , y . () y . ( , « ») « »: , . [1] . (, , .) . , , XC (y) AC (P) ­ , ­ a. , Hn-1 (B XC (x) \ AC (P) , B XC (x) \ AC (P)) , B ­ ­ a. ,
*) : Hn-1 (XC (x ( )) \ AC (P)) Hn-1 (XC (y) \ AC (P)) XC (y) XC (x ( )) , XC (y) \ AC (P) XC (x ( )) \ AC (P) . , .


48

. .

(. . 3) , , XC (x) XC (y) CPn-1 , , 0, y . () , (, ) . ­ ­ . , , «» y W RPn-1 RPn-1 . z0 , z1 , . . . , zn-2 RPn-1 y , {z0 = 0} , /z0 L . z0 = g (z1 , . . . , zn-2) , f ­ , g (0) = 0, ­ d g (0) = 0. , d 2 g (0) . . L ­ y , ­ d 2 g (0) . 4. (. . ) , ­ . ­ « » 1945 . . . , «» 1950- . . . . . (­ ­ ­ ) ­ ­ ­ - : , ­ ­ . . , -


­ ­

49

, . . -, ´ «» . -, n , . n , , . , ­ ­ . ! (, ( n) («») , .) ­ A3 . ­ , , (. . Ak , Dk , Ek) . , . 5. (. . ) , ) , , ­ , ­ ) , « » ´ . . 5. ­ ­ , ( - - ) .


50

. .

. Cn ( , ) f = (f1, , . . . , fk,) , CM (. . F j (x , ) : Cn â CM C, j = 1, . . . , k, CM f j , F (·, )) . ¯ A (f) f1, · . . . · fk, Cn A (f) CPn n-1 CPn . CP ¯ (CPn , A ()) . E T (. ) , Cn \ A () (, ¯ , CPn \ A ()) , T (; ; ) = f
1 1,

(x) · . . . · f

k k,

(x) dx1 . . . dxn

(1)

Cn \ A () ( , ) ; j ­ ­ . . (1) (A; ; ) = (z - a1) 1 · . . . · (z - ak) k dz , (2)


, , , ai , a j ( al) , , , a j , C1 \ {a j }. A = {a j } ( (1)) . a1 0, a2 1, k = 3 . (1) , (2) : , F j (. . Rn â RM) , () ­ Rn \ A () . ­ . 0. : ? 1. j . f j , n- = (1 , . . . , k) . ( { f j , } CP 1


­ ­

51

¯ A () CPn) (1) ( ) , , Ck : , r - r , j , j = 1, . . . , k, ,
k

. r = {r , j } f j . k + 1 (1, 0, . . . , 0) , . . . , (0, . . . , 0, 1) , (-1, . . . , -1) , k + 1 ¯ A () . , n = 1 . ( , ) . 2. , . , , T = CM \ , = () . (1) ? «» A () Rn ( 0 ) , (, , ) , () : (1) ­ (1) , ­ . 3. . () ( - = 0) , , 0 (1) . ? , , , -, , - ? ­ , D -­

j =1

r , j

j


52

. .

. , (1) ( - ) , . *) , , 2; , (2) k k - 1. ­ ­ , . . . , . (, -, ) , 2. , , - , (. . ) , , , , . (2) , (1) . [2] , . [1] . 0 , ­ 1 2 + 3 ­ ­ ­ . , Zk - (A) C1 \ A, , (2) , . , C1 \ A , H1 (C1 \ A) 0. , 1, ­ ­
*) A priori, (1) , , , , ( ) (. . , . . , 1986) ( , (1) , . [2]) , !


­ ­

53 al s



aj s

'

' E

E '

E

©

. 5.

1- , . . 1- . : H ( (A)) ( r C) , Hf ( (A)) , C1 \ A . , ai , a j A a j ( ) . , . , 1, H1 ( (A)) . , (a j , al) . 5: (A) , , , , (a j , al) . = (1 , . . . , k) , (2) , (. . Re j > -1 < Re l) () () 1 . (3) 2 i j 2 i
(1 - e ) (1 - e
l

)

: Ck . , , , (3) , . . j l . , , : , .


54

. .

r H1f ( (A)) . « » . 5 (2) . , , , . . j , . , . 5, , (1) . ( [2] ) . § I.10.7 [1] . , , j , (3) . , ,

¯ . A CPn . , , , . . , (1) z1 dz1 . . . dzn , = () ­ ­ j . ¯ j , A, , . ( ­ , . . , ­ f j , = j , n- CP 1 , = - ( j + n + 1) .) = (1 , . . . , j) , () ¯ A. ( ) , . . , . . . . . .

j Z,

k j =1

j Z, -


­ ­

55

2 + 3, , H ( (A)) ,
r Hf ( (A))

(4)

. , (A) , , C1 \ A . (A) , , , a j - p j , j = 1, . . . , k. (2) exp (2 i (1 p1 + . . . + k pk)) . (5) , A, . (1) ( A ) , (A) , , Zk ( , (5)) . , (2) . *) , (A) , Zk , . (A) , H (C1 \ A, L) , , l C1 \ A , Hf (C1 \ A, L) . (2) , ­ . ­ . 1. , , . . , . , , A, ­ , ­ A.
*) ., , [1] .


56 a ai

j

. .

a al ai al ai



j

a



j

al

. 6.

(, , l ¯ ¯ H (CPn \ A, L) , Hf (CPn \ A, L) ) . 6. ­ *) , ­
l ¯ ¯ H (CPn \ A, L) Hf (CPn \ A, L)

, l H (C1 \ A, L) , Hf (C1 \ A, L) . (6)

(7)

. CPn \ A ­ , , ­ (7) , n, ­ , n. , ­ 0 , n, n ¯ C|| , ­ CPn \ A. ­ , (6) Ck-1 . Ck a1 , . . . , ak . ­ , ­ - ai , a j . Ck \ k , , a j (, al) , ; . . 6. : , (ai , al) (a j , al) , (1 - e 2i j ) . j ,
*) , . 54.


­ ­

57



s

2

a1

s

a2

k s a3 s
3





ak

. 7.

( l , (ai , a j)) . 2 . 3. , l j H1f (C1 \ A, L) Ck-1 2 , . . . , k , a2 , . . . , ak , . . 7 . . 1 , . . . , k , (2) Ck \ k - 1. , l H1f (C1 \ A, L) a1 , . . . . . . , ak . . : j j ( j L) , (2) 0 , (a1 , . . . , ak) ( , , ) . , a2 , . . . , ak , a1 ( j) , a j . , j j (a1 , a j) , j (e 2i j - 1) . -


58

. .

: , . (a1 , a j) : , a1 a j . , j 0, j . (1) . . . ­ , ­ f j ­ , ­ l CPn . Hnf (CPn \ A, L) k-1 . ­ ­ n (. [2]) , . , D (. . , . . , 1986) k-1 . A priori , n . k-1 , , n , . , ( ) ( ) ; . [2] , [1] .
[1] . [2] . . ­ ­ . . 1987. ­ . ­ . , 21, . . ­ .: , 2000. ­ 432 . ­ ­ . . , . . . / . / 1. ­ . 23­ 38. ­ ­

6 2000 .


. .

, Vertex Operator Algebra (VOA) . . , ­ ­ . 5 . 1. , , , . ; . «-» . ( C) . , W = Wi , i Z, i 0. , . , , ( ) a (z) =
nZ

a z n

-n

.

, W a : Wi Wi +n ; n , a n. a n n ; . , ( ) a (z1) a (z2) =
n1 , n
2

a1 a2 z nn

-n 1

1

z

-n 2

2

.


60

. .

z . , a (z1) a (z2) . w W w W (z ) a (z ) w ( ) ; w, a 1 2 w |a (z1) a (z2) |w . z1 z2 . , - , F , (z1 , z2) ( w w) . ( w w) : 1) F ­ z1 z2 , ­ z1 = z2 ( , w w) ; 2) F , (z1 , z2) = F , (z2 , z1) («» «»; ) . , () . F , (z1 , z2) . a (z) a (z) . , a (z) = an z -n . , w w F . () , ) , , an am . , ; , . : , w w , F (z1 , z2) z1 = z2 . , (z1 - z2) 2 . a2 (z) = 0. , an am , an1 an2 = 0,
n1 +n2 =m

. . W = W0 + W1 + . . . , an n. an1 an2 = 0 Wi , .
n1 +n2 =m

, F (z1 , z2) 4 ( w w) , an1 an2 n1 n2 = 0.
n1 +n2 =m

, , , F (z1 , z2) z1 = z2 2- ( w w) . , bi ( ,




61

b (z) =

bi z -i) , [an1 , an2 ] = (n1 - n2) b
n1 +n
2

.

2- . 4- , ; , 3- . . ­ C ­ {Li }, i Z. : [Li , L j ] = (j - i) Li
+j

+

i + j , 0 12

i3 - i

C,

[Li , C ] = 0.

, , . W . , , v : Li v = 0 i > 0; L0 v = hv , h ­ ­ ; Cv = cv , c ­ . ­ v : , . . Li . T (z) = Li z -i w |T (z1) T (z2) |w . , F (z1 , z2) 4- : G (z1 , z2) G (z , z) ­ ( w w) ­ . a (z) F (z1 , z2) 2- w |a (z1) a (z2) a (z3) |w ­ ­ H (z1 , z2 , z3) = (zi - z j)
-2

W = C [L-1 , L-2 , . . . ] = W0 + W

-1

+W

-2

+ ...

F (z1 , z2) = (z1 - z2)

-4

G (z1 , z2) . . , . w w .

G (z1 , z2 , z3) ,

G . . an z -n , {an }. , bi , [an , am ] = (n - m) bn+m . , an
[an , am ] n-m

-

[an+1 , am-1 ] n-m+2

= 0.


62

. .

, ai . , ­ ­ H (p , q) ; : [H1 (p , q) , H2 (p , q) ] =
H1 H2 p q

-

H1 H2 q p

.

L, p i f (q) , i 2, f (q) ­ q . , L ­ , ­ ­ { p 2 f (q) }. L W . , , ai = p 2 q i . : W = W0 + + W1 + W2 + . . . ai : W j Wi + j . F (z1 , z2 , z3) = w |a (z1) a (z2) a (z3) |w . (zi - z j)
-2

F (z1 , z2 , z3) =

G (z1 , z2 , z3) ,

G (z1 , z2 , z3) ­ () z1 , z2 , z3 , ­ G (z , z , z) = 0. , G (. (2)) . L ­ . , ­ , {ai }, . : (1) i + j = k + l , (l - k) [ai , a j ] = (j - i) [ak , al ] ­ ­ ; (2) i + j + k = i1 + j1 + k1 , ­ . , gl (n) ­ ­ . (, , « ») (1) (2) : (1) w |a (z1) a (z2) |w = (z1 - z2) -2 G (z1 , z2) , G (z1 , z2) ­ ­ ; (2) w |a (z1) a (z2) a (z3) |w = (z1 - z2) 2 (z2 - z3) 2 (z1 - z3) 2 F (z1 , z2 , z3) , F (z1 , z2 , z3) ­ , : ­ (i1 + j1 - 2k1) (j1 - i1) · [ak , [ai , a j ] ] = (i + j - 2k) (j - i) · [ak1 , [ai1 , a j1 ] ]




63
) 2Ux (t , t) - Uy (t , t) = 0, U (x , y) =

) F (t , t , t) = 0,

U (L) L «» ­ ­ (1) (2) . , U (L) . , L w |a (z1) a (z2) . . .a (zn) |w . , L, ( (1) (2) (1) (2)) . W - ­ , ­ . (1) (2) ­ ­ W -. ( ) , a (z) , . . , , . , . .

F (x , x , y) (x - y) 2

.

2. , ­ , ­ . . - , a (z) , z . , z ­ ­ . , () , z ­ ­ . z . - , z , , z . : , - . , . - , .


64

. .

­ , ­ . ­ ­ , H 0 () , H 1 () = 0. M ­ (­ ) . M CP 1 . M µ, H 0 (µ) |M H 0 () | . = M µ. . N = dim H 0 (µ) . N - µ µ . . . µ ­ M â . . . â M (N ) . ­ , , 0 C; 1 C ( µ . . . µ, . . ) . n µn . . . µn M â . . . â M, n- (m1 , . . . , mN ) : mi = m j (. . ) ; , n n. n Sn . Sn Sm Sn+m ( ) . { Si }. . SL2 - . Sk . A ­ ­ sl2 , 0 , 1 , . . . ­ A (s (s + 1) - ) . sl2 ( k) ­ Ak = A/ (A · k+1) . ­ C2k Z/2kZ, 0 , 1 , . . . , 2k-1 ­ ­ : 0 ­ Z/2kZ, 1 ­ . ­ ­ Ak C2k Z2 -, deg (0 1) = 1 deg (1 0) = 1. (Ak C2k) 0 ­ Ak C2k , ­ . k+1 k 2 (Ak C2k) 0 . V = (Ak C2k) 0 / (Ak C2k) 0 (k k - 1) . V ­ (Ak C2k) 0 , k k - 1. ­ V ­ i j , i + j i < k. ­ Sk .




65

g ­ ­

, (i j)
2 g

=

a g (i , j) · i j .

i j ­ V . g - ­ V . , a g (0, 0) Sk . - VOA. , VOA « ». . Sk ( , ) . , . ( , ) , i . . , F (z1 , . . . , zn) , z . . , . , - . , ( ) . , , . ­ . ­ ­ ­ . , , -. (, , ) . . Mod (SL2 , ) ( SL2 - ) . Mod (SL2 , ) , . , . , . . 20 2000 .


. . ,

, . XX , , . 1. Z. (p) . ; . ( .) Z/ (p) , ­ . ­ ? , , 2, . . Z [1/2] . (2) , . : Z [1/3, 1/7] . . Z; , , . Z [i ] , . 10 , , Z [ 2] Z [ 1] . . , Z [ -5] . . R ­ ­ ( ) . , , . . ( ) a1 a2 . . . . , , . . (0) p p , p = p . , . , R Z, . . Z


,

67

. , , R /p , . R . ­ . ­ ( ) ; , , . , . , (0) , ( ) . ? , Z = Fq [t ] ­ ­ t . : |Fq | = q = p n , . . ; (. . ) ; F ; q q Fq ; , , ( , Fq ­ ­ 0) . ^­ ¯ Gal (Fq /Fq) Z ­ ; , ; ¯ Fq m . Fq =
m1

1. F8 F4 ? Z = Fq [t ] (P (t)) , P ­ , ­ Fq . P deg P = m, Z/ (P (t)) = Fq m , . . ­ . ­ , . , Fq [t , x ] / (x) = Fq [t ] ­ ­ ( ) . Q (t , x) , Fq [t , x ] / (Q (t , x)) , . , . . Q (t , x) = 0 . Fq [t , x ] / (Q (t , x)) ­ ­ ( R (t , x) /S (t , x)


68

. .

, S ; , ­ Fq , ­ ) . . , Fq [t , t 3 - 1] y 2 = t 3 - 1. , . , , , . . 1. R , . 66; K ­ . char K = 0 ­ [K : Q] < , . . K , char K = p [K : Fq (t) ] < , K Fq . , q X ( ) Fq , K = Fq (X) ­ X . ­ , , ¯ . Fq (X) , ¯ Gal (Fq /Fq) . , , m, , m . . K , 1, . , . , , K . , . a K , a ­ x m + a1 x m-1 + . . . + am , ai Z. ­ 2. O ­ K , S ­ ­ ­ O. S , OS . OS K ­ , ­ , . 66. 2. , , . , . . .


,

69

- Z (s) = Q (s) =
n>0

1 ns

=
p

1-

1 -1 ps

.

Re s > 1. ; 1 . - . Q (s) = Q (1 - s) = Q (s) . , -, -n, Re s = 1/2. . ( ) . R - R (s) =
a -s / 2



s 2

Q (s) .

1 N (a)

s

=
p

1-

1 N (p)

s

-1

.

N (a) ­ a, . . R /a. ­ R (s) R : , . R (s) K . K (s) . , Fq (t) : Fq
(t)

(s) =

(1 - q

-s

1 ) (1 - q

1-s

)

.

, k (s)
PX (q -s) (1 - q -s) (1 - q
1-s

)

,

PX ­ 2 g ( X , ­ ) . - , . : , .


70

. .

. , Z Z = Fq [t ] ; q . (p) P (t) , P ­ . ­ sgn : Z \ {0} {±1}. sgn : Z \ {0} {F } q : Q (t) . e ; -. L. Carlitz . 2. , , . RN . . , P RN . ­ , ­ , . . d = min x -y .
x =y , x ,y P

, . : L RN , ( RN ) . (P) lim


.

, ( ) . , . (L) =
VN d N 2 covol (L)
N

,

VN ­ 1, covol (L) ­ ­ ­ L ( ) .


,

71

, : A1 , A2 , A3 , D4 , D5 , E6 , E7 , E8 . An Dn ( Bn Cn , ) . n-n . , , . , N . . {LN RN }, N , . , . . , L RN (L) (L) = 2
- (L) N

. : ({LN }) = lim sup (LN ) . {LN } , ({LN }) < . . , {LN } ({LN }) 0,5990. . . , , {LN }, ({LN }) = 1 ( ) . . 1. , 1, . . 2-N ­ ­ . , {LN }, ({LN }) < 1, . . , , . . , , , . K ­ , [K : Q] = n = s + 2t , s t ­ . s


72

. .

i : K R, t j : K C ( R) . , K Q s + 2t . : K Rs â Ct . C R2 , a + bi (a + b , a - b) . Rs â Ct Rn . K Rn , : K Rn . , OK Rn ­ ­ . , . ­ . ­ 3. covol OK = |DK |, |DK | ­ ­ K . ( ­ ­ .) ­ . ­ , . . , t = 0. a OK . | (a) | = i (a)
2

n

i (a)

2/n



n.

, i (a) , a ­ . , ­ . 4. a ­ x n + a1 x n-1 + . . . + an ­ , (-1) n an = NK
/Q

(a) =

i (a)

( j (a) ¯ j (a)) .

; 1. (!) . K . , ( Q) . , . , . ; . .


,

73

. . , . , K Rs +t , a (ln |1 (a) |, . . . , ln (1 (a) ¯ 1 (a)) , . . . ) .
, OK ­ ­ K . ( a K , a OK a-1 OK .) , OK H = { xi = 0} . - ­ ­ K . L ­ , . ­ RK covol (L) = s + t RK .

K Rs +t , , K . , . , , . . , : Res K (s) =
s =1

RK hK wK |DK |

.

hK ­ K , ­ . K . , , . ­ hK . , ­ wK ­ , K . ­ , -. - . , : ­ . ­ . , , , . X Fq . n ­ , ­


74

. .

. , n > 0. . , K ­ ­ , K ­ , ­ , . . . ­ . , ­ . S = X (Fq) ­ , ­ . OK ,S , X , S . , Fq , , S . : , . S = {P1 , . . . , Pn }. O ai Pi , k, ai = -k, 0,
K ,S

Zn Rn ,

f (a1 , . . . , an) Pi f k; Pi f k; Pi f , .

, ai = 0, . . . , f H = { xi = 0}. , , ­ . ­ ­ ; ­ . covol H . ( ; ­ , ­ .) , covol hK covol (Zn H) = hK n.

, hK JX (Fq) ( , ) . ­ ­ () , , g . , , .


,

75

. . a2 i |ai |. , a2 i
ai >0

a2 . ai , i

|ai | =

2
ai >0

|ai | =

2 deg f . |ai |

|ai | = deg f .

f , . f . f . 1. g 1 . . . P1 ; , |P1 (Fq) | = q + 1. , |X (Fq) | = N . f Fq , X (Fq) P1 (Fq) . , N (q + 1) deg f . . , , . K ( X) (n - 1) - LK (, ) . (LK ) . K . ­ ­ . , ( ) . , , |X (Fq) | . |X (Fq) | = nX . nX q + 1 + 2 gX q . . , -. . . . . : nX lim q - 1.
gX gX

ai >0

, . , q ­ , , ­ nX = q - 1. lim
gX gX

. ,


76

. .

. , . , , . , , . E ­ ­ 1. 1 P1 . , E . P1 ­ E ­ ­ ­ , , . , . . , ( , ) , , , 2. , Fq , Fq . , . Fq -. . , - . ­ ­ . ­ . , . . ­ . . , K0 K1 K2 . . . , K0 = Q (cos 2 /11, -46) ({LN }) 2,22. 1, . , , = 6. , , . . ­ ­ , . , . q = 9,


,

77

q = 472 . , 1,87 1,39. ( . . .) . , , . . , , 100 1000. . . : ­ ­ , , . 4 2000 .


. .

u|

. « ». . , . , . . -u = j u; j ­ . ­ = 0 () . ­ ­ , ( ­ , ­ ) .
X

= 0 ()

u n X

u

mn

(x , y) = sin

mx a

sin

ny b

( ) . mn =
2 m2 a2

+

2 n2 b2

.

, , N () = #{ j < } = # (m, n) :
2 m2 a2

+

2 n2 b2

< .

, N () ­ ­ . N () . . ; . , . , N () . 1 b a = · ( ) · . , d - N () c (Vol X) d /2 .
4 4




79

. 1911 . , ( !) . . . . ­ ­ . Q (u) = (|u|2 - |u|2) ds

( ) . , N () =
­ ­ Q (u)

ä

max

dim

ä

( ­ ­ , ) . , : . , u|X = 0. . . , , . , , ( d - ) . . : . . , , , , . . . , . N1 () ­ . ­

ä

N ()

N1 () = = c d

NDi () =
/2

Vol Xi + o (d /2)

NDi () ­ i - ­ ( ) .

c d /2 (Vol X - ) + o (d /2) ;


80

. .

N () , . , , . . . , N () NNi () c d /2 (Vol X + ) + o (d /2) .

> 0. N () = = c d /2 Vol X + o (d /2) ; ­ ­ . . , . , . . . , . , , . , . -, 1 : N () = c d
/2

Vol X + O (

(d -1) /2 )

.

(1)

O o : N () = c d /2 Vol X + o ( (d -1) /2) . , , , , . N () = c d
/2

Vol X c

(d -1) /2

Vol (X) + o (

(d -1) /2 )

(2)

( , ) . , . - , . ­ , ­ . , 3. , (, ) ,




81

o , - . , (2) . 1924 . , , , N () = c0 d
/2

Vol X + O (

(d -1) /2

ln ) .

, O , o , . : . , , ; ­ . ­ . 1968 . . ( , ­ ) O ( (d -1) /2) . ­ 1975 . N () = c0 d
/2

Vol X + o (

(d -1) /2 )

.

(3)

. , , . ­ S d . S 2 . ­ ­ S 2 ­ n (n + 1) /2; 2n + 1, . . (d -1) /2 . , (3) , N () (d -1) /2 . , , . S X . t . . , . , . . , , , .


82

. .

. , , , . , . . 1978 . , , , ( ) . , N () = c0 d
/2

Vol X + O (

(d -1) /2 )

,

X = .

(4)

. . . . . 1979 . , . - . ? ( ) . , ? . ( ) . . , , . , . , . , ? . , , ( ) , . 1. . , (. 1) ( , ) . . , , , , , , , ( ) . .




83 ( ) . () C , > 1, . . C |x - y |
-1



u (x , y , t) ­ U (t) ( ­ U f = u (x , y , t) f (y) dt) , . U (t) ­ ­ . , -: U (t) = cos t d E (2) , E ­ ( ­ , ) . : u (x , x , t) dx = Tr U (t) = cos t d N (2) ; N ­ ­ . ­ ­ , , 2 . , U (t) , - . U (t) t , : . . : U (t) ? . U (t) ­ . ­ , , . -, , . -, . U (t) . , N () O ( (d -1) /2) . . . U (t) ,

(2) . . . cos - t = U (t) , t . Utt - U = 0, U| = I, t =0 Ut |t =0 = 0.

| ( f) (x) - ( f) (y) |

,


84

. .

N () ; , . , -, . T , (c /T ) (d -1) /2 ( (d -1) /2 ) . : . T . : Tr U (t) , . . . , , Tr U (t) ( , ) . . . ­ ­ . u (x) . , , . x¯ , . ( ) , . , . ¯ , , ¯ , ¯ . , (x , ¯ ) , , , . , . , - . - , ; . , . , . , ; ­ ­ . . ( ) . a (x , ) ; ­ ­ , ­ . ­ . .




85

f ( , , ) . , . . f , 2 - a (x , ) = 0 t . . . ­ , ­ . , , , . . ­ ­ , . . , , . x , , . . ( «» ) . U (t) 2 , , e - it . U (t) Ut = iAU . , Qt = U (-t) QU (t) . , . , ­ ­ . , . . Qt = U (-t) QU (t) , Q ­ . ­ = i [A, Q ] . , : Qt . , , . . , . - . , , . , - , , . , ,

ä


86

. .

; . ­ -. ­ . , . x , . . , . , u, , . . WF (u (x , y , t)) { (x , ) = t (y , -) }. x = y . WF (u (x , x , t)) { (x , - ) : (x , ) t (x , -) }. x : WF u (x , x , t) dx { (t , ) : (x , ) = t (x , ) }.

. , . , ( , ) . . u , u . N ()

(d -1) /2

T

+ o (

(d -1) /2 )

.

T , o ( (d -1) /2) . . , , - . - T . T , , . . ­ ­ T . ­ ­ . ; ´ ; . , , . , T , , .




87

­ ; ­ . ,
C T

+ CT

(d -1) /2

+ o (

(d -1) /2 )

.

T , o ( (d -1) /2) . ( ) . . , () . -, , , . . , , . , ­ , ­ , . , . , , . , , H = -h2 - V , . V , h2 -1 , . , ­ ­ (h 0) . -1 hUt = iHU , U = e ith H . , u. , , . x , . , . , , . . , . , . , T , V (x) = 0 u (x , x , t) t = T . , h. -,


88

. .

´ , ; . t T 1. y , x t . u (x , x , T ) , h h/T . h/T , , h/T h . , h1- T T0 , u (x , x , T ) . , , , . . , . 99 %. hut = iH (x , Dx) u. H (y , Dx) (, t = 0 u -) . t , x y t , . , t . , : h
-1 T

u (x , y , t) f (T , t) dt .
0

T /h. T , ´ ´ ­ ­ . T , . h
-1 T 0

U (T - t) f (t) dt

hut - iH (y , Dx) u = i (H (x , Dx) - H (y , Dx)) . u = R (H (x , Dx) - H (y , Dx)) , R ­ ­ . u|t =0 = (x - y) y . y . , u = (R (H (x , Dx) - H (y , Dx))) n . , ; . , h ; , h . , ,




89

(T /h) T = T 2 /h. , h , . . , T h1/2+ . , , . , . h1/2- h1/2+ . , h1- T0 . , , , . , , . . . ­ ­ t = 0. . , , , O o , . . . . , , . . . ? . ­ . ­ . ­ , ­ . , h. ­ ­ . , , . , , , . . x . x , x , .


90

. .

h, . . h1/2 . ; 2. ; , x . x , h, ­ , 1; . ­ . . . , . , , , ; . . . . , . , , . , d ­ . , ­ , () . d 1, . , . . . . . - , d . , d 1. . , . 1, O ( (d -1) /2) .
d
(1-d) /2



d -1 - 2

. 18 2000 .


. . -

. , . , , . , , . , , . GL (2) . M (2) . b a d . c a, b , c , d ­ ( ) . k ­ ­ ­ , M (2) Spec k [a, b , c , d ] ­ ­ , . Mq (2) -, « ». ­ ­ , k a, b , c , d / () . , k a, b , c , d , , . , a b ab = q -1 ba, q ­ ­ ( ) . : a c b d.

. , , b c : bc = cb . ad - da = (q -1 - q) bc . , , . F (Mq (2)) .


92

. .

, , , . , , , . : ab a b c d c d , . ? , . , , . , a, b , c , d a , b , c , d . . ()
b b a d a d c c b a d . . c

: F (Mq (2)) F (Mq (2)) F (Mq (2)) ,

µ , . , . , . , . , , ( ) , . . , . , . ,

µ : F (Mq (2)) F (Mq (2)) F (Mq (2)) .


-

93

. . , , . , Mq (2) ( ) . , , x y xy = qyx . , , ,
ab cd x y x = y ,

x y x y = qy x . , . , a, b , c d x y , . , , , . , ­ ­ . , . ­ ­ . , . , , , , , . ­ ­ , . . , . , , . , ; . 10 , .


94

. .

, , , . . A ­ ­ k µ . A k, () ; k A. , i : A A, b b -1 ( ) . : k AA
µ

A k



A A.

, . , , . , , . , , , , , . . «, » , . . ­ ­ . , - . - L, , (. . ) :


( , Ln) .

n=0


-

95

F ( , L) . ? , . , m () â- , (x , y) x + y , , . , m L L L. , m (L) = L L. , , . ( , , ) , â- â , (x , y) (x + y , x - y) . M (L L) = L2 L2 ( ) . , M , , . ; - . - . ( ) , , ; . . , . , , ´ , . , . , d . . ( p -d (C) ) . ­ ­ 2d - . : R2d C
d d M

(C) = Cd /B .

B

­ , B ­ , ­ ­ .


96

. .

: ; . , , . ­ C- ­ . , , , . ; . ­ ­ E = C / (q Z) , q =e
2 i

0 1 . . . 0

. . .................... 0 0 . . . 1 d 1 .
11 21

1 0 ... 0

. . . .

. . . .

1d 2d ...... dd

.

.

L, (L) , - . ­ ­ , ( ) . , . . , . , xy = = q -1 yx . , , , , , -. . , .


-

97

1. K ­ ( ­ C Q p - ) . . (H , ) ­ , H ­ : H â H K ( , , ­ ­ ) . : (g , h) = (h, g)
-1

,

(h1 + h2 , g) = (h1 , g) (h2 , g) . , , , ±1. , . ±1 . (h) = (h, h) ±1, . (H1 , 1) (H2 , 2) ­ ­ 2 2 f : H1 H2 , 2 (f (h) , f (g)) = 1 (h, g) . ( ) 2 (f (h) , f (g))
-1

1 (h, g) = f (h, g) {±1}.

, , (H , ) , . : K e (h) , . . ­ ­ ­ Al (H , ) = ­ , e (h) , h H , e (h) e (g) = (h, g) e (h + g) *) ; K e (h) . , ­ Af (H , ) = ­ ; ­ ­ An (H , ) = ah e (h) : ah K , |ah | = O ( h + 1)
-N hH hH

N .

*) e H . , , eH , . , H .


98

. .

. , . . T (H , ) . , . ­ ­ Al. , . T (H2 , 2) T (H1 , 1) ­ ­ , F : Al (H1 , 1) Al (H2 , 2) . , . . ) Al (H , ) ­ ­ {ae (h) : a K , h H }. ) F (e (h)) = = ah (e f (h)) . f : H2 H1 ­ , ­
1 - ah a g a-+ g = 1 (h, g) 2 1 (f (h) , f (g)) . h

(1)

, f ­ (H2 , 2) (H1 , 1) . ­ ) f , f , F , f , , Hom (H1 , K ) = T (H1 , 1) (K ) . T (H1 , 1) (K ) ­ K - ­ H1 . ) , , ( Rn , ; , , , , , ) . . , . , ,


-

99

. , . , . ) ) . F (e (h)) = ah (e f (h)) , . , f ­ ­ , . (1) ; ah . (1) g h, . ±1. 2 2 1. , f 1 2 , . . f , (H2 , 2) (H1 , 1) . f , , . , . , ah : H K , h g . ah . ) . 2. , , . , , , . . , , , : . . , , . , , , . , . (, (C) d d (C) , . . , , , ; , .) 1. T (H , 1) T (H , ) H ,


100 . :

. .

h (b) = eH ,1 (h) (b) . 2. , [n] n, , . [n] : T (H , ) T (H , n ) [n ] e 3. T (H , ) â T (H , ) - - T (H , ) . -
, m,
2

b T (H , 1) (K ) b (e (h)) = h (b) e (h) ,



H ,

n2

((h)) = e

H ,

(nh) .



m, (eH

(h)) = e
M

H ,

4. ,

(h) eH , (h) .

. , , , . , . . H (T , ) , T (H , 1) . ­ ­ B , H (T , ) . H (T , ) /B . , , . (C) d . , . -. , , -, , . M (e (h, g)) = e (h + g , h - g) .

T (H H , ) - T (H H , 2 2) ,


-

101

H (T , ) /B , ­ Al, ­ Af An ­ B - ­ . B - ; . B - ( ) , B - , B . B - , ­ B - ­ . T (H , 1) B , . T (H , ) . , . 1. = (hl , hr , , ( , )) , (T (H , ) , B) ­ ­ : (i) hl , hr : B H ( h h) ; h± = hl ± hr ; hl (b) = hb ,l ; (ii) : B K ; (iii) ( , ) : B â B K , , . ( , . .) :

ä

- hb2 (b1) = (b1 , b2) 2 (h

b 1 ,l

,h

b 2 ,l

) (h

b 1 ,r

,h

b 2 ,r

)

-1

b1 , b2 B . 2. , , ­ , ­ b B :

ä

(Af Al An.) : . , b j (b) b ­ ­ .

jä (b) : Af (H , ) Af (H , ) .

ä

(b) (b , b) e (hb ,l) e (hb ,r)

-1


102

. .

­ , , . ­ , , . , . : , , . , e , . e , , , e . . - h- , , h- . (b) (b , b) . . . 90- , . ( .) , - . , , . 3. - ­ Af (H , ) , , ­ , . . b () = jä (b) () b B . , , = 1, : b () = (b) (b , b) e (hb) -1 () .

ä

h- (b1) = (b1 , b2) 2 . b2 h- . - ; . , C Q p ; , , ­ p - -. ­ . ) ( ) ­ - ­ . dim ( ) = [H : h- (B) ] .

ä

ä

ä


-

103

) K . [H : h- (B) ] < , ln| (b , b) (hb ,l h-,1) | ­ ­ br B B T (H , 1) (K ) , - , . . An (H , ) . , , . . || = 1, , . p - p -. , p - -. , - ­ ­ , ( ) ­ , ­ . : , -, , -, . , . . . , H h- (B) , . , . , . , b . . . = (h , h , , ( , ) ) . = (hl , hr , , ( , )) () r l = h . : , hl r = (hl , h , , ( , ) ( , ) ) . , r ) . , ( ) ( ) ( . . , ( ) ­ , ­ . .

ä

ä

ä

ää

ä

ä

ää

ä

ä

( )

ä

( , ) .
Pic


104

. .

- , . , , , . , , , , . 3. - , , . , . . , F : T (H2 , 2) T (H1 , 1) F (eH1 ,1 (h)) = = ah (f (h)) . F (eH1 ,1 (h)) = = (f (h)) . , F : T (H2 , 1) T (H1 , 1) B
2 F

B1 ,



. . . - - , ah ­ . , ah+ g ­ ah a g , ±1, . , 1. 1. 1 = (hl , hr , , ( , )) , T (H1 , 1) B1 , F 2 = F 1 = = (h , h , , ( , ) ) . r l h ,r l

ä

ä

ä

B
F

h 1

l ,r

H

1 f

B

h 2

l ,r

H2 ,

. . h ,r = f hl ,r F . l (b) = (F (b)) ah- (b1 , b2) = (F (b1) , f (b2)) .
F (b)

ä2

:


-

105

2. ) ) ( 1) , F () (F (

ä

ä2 ­ ­ ä2)) .

.

4. , , ­ , , ­ . . , . , . , , , xy = qyx , : x ­ , ­ y ­ , . . 1. ­ : , . ­ q - . ­ , : (x + y) n =
n iq

x

xi y

n-i

,

xy = qyx .

, q - , : (1 + q n yx -1) =
n iq

(yx -1)

n-i

.

: , , , , , , ­ ­ . q - - ­ , . ­ , , , ­ ­ . , , . , , . , ( GL (2) ?) ,


106

. .

GL (2) , . . , ( ) . , . , . . . , , , . . , . , , . , . . . , . . , . , . , , ; , - , , . . , , . ) , ( ) ( ) ( . : , . , , . , , k [x , y , x -1 , y -1 : xy = qyx ]

ä

ä

ää


-

107

. Spec k [x , y , x q = e
2 i -1

,y

-1

: xy = qyx ] = Tq ,

, =

, R, Tq Tq -
a + b c + d

(- -

) . - . . , , . , -, . , , . |q | = 1, , , . |q | = 1, . , . , , , -, , . , . , . . , , , , , , , , , ( 10 ) . , , , , . , . , , , ,


108

. .

, . ­ ­ . , . , , . , , , , , , . , -, ­ ­ . 29 2000 .


. . ( )

. : , [1] , [2] , , , [3] , : , , [4] , [5] . . ­ ­ , . . . . ­ , ­ . , , , , , ( ) , , . . , , , , , , , , , . . , . , , , , , , , . , . , -, , . , . ;


110

. .

XX . ; . . S , , L 0 . , . 1 . 1. L, L1 L2 . L1 L2 L. L . , , . , , . , S . , . , , . , . , , , , . «» . . «» , . ­ ­ , , . , . : , , . , N (-) , N (+) . , (-) , (+) . , , N , X (t) .
(-)

=

N (-) X (t) S

,



(+)

=

N (+) (L - X (t)) S

.

, , , .


( )

111

. , , ­ , ­ , , (-) (x , v) ( ) . ,
C1 âC2 (-)

(x , v) dx dv

(1)

- (C1 ) . C1 ­ , ­ L, , . C1 L2 , 1. , v C2 ­ ­ . , (-) (x , v) , . , , C1 â C2 (C1 â C2) , , (1) . , (-) (x , v) x v ; , . , v ; . (-) (x , v) x , ­ ­ x . , , . . , ; . , C1 â C2 , , . , . . , , . (+) (x , v) , . . ­ , , ­


112

. .

, . - . , , , , L. , ( ) ; 1, L. , , ; . . , , ­ . ­ (±) (x , v) M , = m. , , . 1. m . , , , . , , , ; , x . L, A, (. 2) . , . , A. . A L 0 : - . 2. . , . , , x , . . (±) (x , v) = (±) q (±) (v) . , , . , . , , ­ ­


( )

113

, : E E
(-) (+)

= =

(-) (+)

X (t)

v2q

(-)

(v) dv ,
(+)

, E (-) = E (+) . , , , . . T (-) = v 2 q (-) (v) dv , T (+) = v 2 q (+) (v) dv . , q (-) q (+) . , . , , , t , , . . . . . , . , . , , . , . , . . , . - x N (x , t) , x t . , N (x , t) ; . N (x , t) = E N (x , t) ­ . ­ N (x , t) = N (-) . , , N (-) . , . A A . N (x , t) = N (-) , x (t) , x (t) x () t .

(L - X (t))

v2q

(v) dv .


114

. .

. x (t) N . , N . , . , , , . , . , , , . , , . v : L, -v . , 2L v . . , , (. 3) . ( 2L) . , x , 0 L x y 2L 2x . N (x , t) ­ , ­ t . 3. . , , t L, . . , . N (x , t) . y . , (, ) , . , y , k , t 2x . v , y . 1/k. L - y + 2Lk + L - x < vt < L - y + 2Lk + L + x ,


( )

115

. .

2 L - y + 2 Lk t

-

x t


2 L - y + 2 Lk t

+.

x t



k, 2L/t . t L, . , 2x /t . , , , , 1/t . , . , . x /L. , t , , x /L. t
x L

=

N (-) N

.

. , . , . . X (t) = x (t) + (t) , x (t) ­ ­ , (t) ­ ; ­ . 2. , [0, 1] ; M () . , ( M) . M. , . , , 2H /M. |VM | = t / M : VM ( ) , XM ( ) . , . . M H=
p2 2

+

C1 x2

+

C2 (1 - x)

2

,

C1 C2 . , . , ,


116

. .

M , . , . , , . , . . , , , , . , . ; , . , . , . , - , , . , . . , . . 3. L , L2 , . . M ML L2 . , . 1. . , , . - , , . 1, 1. , L, . . , , , . =
2 ML + 1

; , -

, L2 = a ­ . , , V v ­ ­ ­


( )

117

, V v ­ ­ . : V = (1 - ) V + v , , ­ ­ 1/L2 , v -v + 2V . . , , . L-2 . L. 1. . . p () (x , v , t) . x , x . , . , , . . , v . , , . , : , , . x . , , dx , dv , q L2 ; . , , . XL (t) VL (t) . p () (XL , v , t) , . : Q0 (t) = sgn v p (XL , v , t) dv , Q1 (t) = |v | p (XL , v , t) dv , Q (t) = v 2 sgn v p (XL , v , t) dv . v = - (1 - ) v + (2 - ) V .

p = p (-sgn v) . , p () (x , v , 0) = 0, |v | < v0 |v | > v1 . , ,


118

. .

, , . , , , ; , , ; ( ) , . . , , . , ( ) . , v . , , v , , p (-) . v , p (+) . Q (t) . . . , VL (t) VL (t) = WL (t) + L (t) , WL (t) ­ , (­ ) L (t) . (2) :
WL (t) dt
2 = -2aQ1 (t) WL (t) + a0 Q0 (t) WL (t) + aQ (t) .

(2)

a , . ; . . Q0 , Q1 Q ­ p , p WL . ­ . . , .
p () t

+

p () x

v = 0.

(3)

, ­ . ­ .


( )

119

: p
(-)

(0, v , t) = p

(-)

(0, -v , t) .

(4)

: p
()

(XL , v , t) = p

()

(XL , 2WL (t) - v , t) .

(5)

(2) , (3) , (4) , (5) . , ( ) . , . . , () , . . p (+) p (-) v . , - . Q0 , Q1 Q , . , , , Q0 . (2) . , t ( , ) WL (t) , . , , , - , (2) , WL (t) = 0. , . . ~ X /L = x~ ( 0 x 1) ~ . , : t /L = t 1, , . , . , , . , , () X , v, t , . . pL L L . . , ( pL) 1/L; ( ) . .


120
(0)

. .

WL (t) (2) : W
(0) L

(t) =

Q1 Q0

1-

1-
(0)

QQ0 2 Q1

=

Q 2Q1

1+O

QQ0 2 Q1

.

WL (t) (0) . : WL (t) WL (t) = WL (t) + (1) (1) + WL (t) , WL (t) 1/L. , , , , Q0 , Q1 Q . ­ , , ­ Q0 , Q1 Q ­ . ­ , . t , t . (0) WL (t) , 1/L. , . Q0 , Q1 Q . , . , 1, . , 1. , , , , . , , 1/L3 . , . , , t , . , L . , , - , . , . . , . - . - .


( )

121

; , ; . . , . , . , , XX , , , , . , . , . . , v . ~ , x v (. 4) . 1; 2x ~ 2. , , . . 4. 2W , W ­ ­ . , , ­ ­ . , . . . . . . , , . , ( ) . v , v - 2W . . , , . , ( , ) . . . v -v + 2W ,


122

. .

W ­ . ­ v . , , v v ; Q0 Q1 , . , . , , . . , (. 5) . . .

. 5.

. 6.

. , , , . , , , W . . , , , . - , . . , ; . . , . , 1. .


( )

123


[1] J. P i a s e c k i, Ya. G. S i n a i. A model of non-equilibrium statistical mechanics / Dynamics: models and kinetic methods for non-equilibrium many body systems (Leiden, / 1998) . ­ Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000. ­ P. 191­ 199. ­ (NATO Sci. Ser. E Appl. ­ ­ ­ ­ Sci.; V. 371.) . [2] . . . , / . . . ­ 1999. ­ . 121, 1. ­ . 110­ 116. / ­ ­ ­ ­ [3] J. L. L e b o w i t z, J. P i a s e c k i, Ya. S i n a i. Scaling dynamics of a massive piston in an ideal gas / Hard ball systems and Lorentz gas. ­ Berlin: Springer, 2000. ­ / ­ ­ P. 217­ 227. ­ (Encycl. Math. Sci.; V. 101.) . ­ ­ [4] . . , . . , . . . , / . . ­ 2002. ­ . 57, / ­ ­ . 6 (348) . ­ . 3­ 86. ­ ­ [5] A. I. N e i s h t a d t, Ya. G. S i n a i. Adiabatic piston as a dynamical system / / J. Statist. Phys. ­ 2004. ­ Vol. 116, 1­ 4. ­ P. 815­ 820. ­ ­ ­­ ­

7 2000 .


. .

1. x 2 + px + q = 0, p , q C, ( p - 4q = 0) , p 2 - 4q = 0, . , ­ , . ­ , , p q . , , , . X 2 + PX + Q = 0, P , Q X ­ 2 â 2 C. ­ ­ ­ ? . -, ( 1 2) . -, ( 2 ) . . X 2 = 0. ab c d , a + d = 0 ad - bc = 0. ; 2- . , . 01 X 2 = 0 0 . . , . , . 2- . , 0 . , . , , . 2




125

. 4 ; 4 2- . , , 24 = 16 . , 16. , . , , , - . . , . , , , . , , . , , . ­ ­ ­ ­ . , , XIX , , . , . , . - , . , , ­ , , ­ . , , , . , , . . X 2 + XP + Q = 0; . X 2 + P1 X + XP2 + Q = = 0. , , . ( , X 2 + P1 X + XP2 + Q = 0, , X 2 + PX + Q = 0. .) , . 2 E + P + Q = A () ; E ­ , ­ ­ ­ . det A () = 0. 4- . 4 1 , 2 , 3 , 4 . det A () = 0 , A () , . . . ,


126

. .

4 dim ker A (i) = 1. ­ ­ . : v1 , v2 , v3 , v4 . , , . . Cvi = Cv j . . ; i , . , , . , , . P Q , 2 , C4 = 6 , (i , vi) . . (i , vi) ( j , v j) . X (i j) 2- , X (i j) vi = i vi X (i j) v j = j v j . X (i j) , vi v j , . v X (i j) . vi = vi 1 v j = v j 1 . v
i2 j2

X

(i j)

=v

v

i1 i2

v v

j1 j2

i 0 0 j

v v

i1 i2

v v

j1 j2

-1

.

, X (i j) 2 . , X (i j) + PX (i j) + + Q vi v j . , X (i j) vi v j A (i) vi = 0. (i , vi) , ( j , v j) , 6 . . , , . , , . , . . E ( equation) ­ ­ 2- 2- . (P , Q) 8- C8 . S ( solution) (X , P , Q) , X ­ 2- , X 2 + PX + Q = 0. ­




127

. C12 . S E ( X) . , . . S E . . , , , . , . , ­ . , ­ , . . ­ ­ . ( , .) -, . - , , , . - , , . : , , , . , , ­ ­ . A () , ; . , , . - . , , , . , , . XIX ., . -, : 0 6, ( ) . , . , . , . 0, 2, 4, 5 6, , ­ . ­ 1 3 , , -, . , 6. : , 6 , , . ? 1 , 2 , 3 , 4 v1 , v2 , v3 , v4 . ( -


128

. .

) , v1 = v2 , ( i - ) . X (12) , 1 2 . ( ; ) . , v1 = v2 v3 = v4 ( - ) . . v1 = v2 = v3 , . , v1 = v2 = v3 , . , . . 2 = 1 0 . ±1 0 . , X 00 00 : 0 ±1. . . X 2 = E . X ±1. , . ­ X = E X = -E . ­ ­ ­ 1 -1, . 10 0 -1 . , . . , .

2. X m + A1 X m-1 + . . . + Am = 0, Ai , X Mn (C) . , , . n 1. Cmn . . det A () = 0 mn, n .




129 3.

, , . , , . . , , , , , . ­ . ­ , , ­ , ­ , , . - 2 + px + q = 0 ( x ­ ) , ­ p , q , x A, A ­ ( ) ­ C. , A ; . , , . , , . ­ ­ . , . , A , . , . ( , , ) . : [1] . 2. x1 , x2 , x3 ­ x 2 + px + ­ + q = 0, : x1 = x2 , x1 - x3 x2 - x3 A. . ( A ; .) , , . X (i j) , i , j = 1, . . . , 4. , . X (i j) - X (kl) . i , j k, l , X (i j) X (kl)


130

. .

, . X (i j) - X (kl) , k, l i , j . 2 . , 2, n. , n n + 1 , n , (n + 1) - , . , n m . , . . 4. . C . , . , . . 1) x1 x2 ­ x 2 + px + q = 0, ­ x1 + x2 = - p x1 x2 = q ( ) . 2) x1 x2 ­ , x 2 + px + q = (x - x1) (x - x2) . ­ , . , , . . ­ , . . , ­ 0. , . . , , - , . , , . , , , , . , , . , , x1; 2 = (x1 - x2) x2 (x1 - x2)
-1





x2; 1 = (x1 - x2) x1 (x1 - x2)

-1

.




131

. ­ , ­ ; , . , , . . 3. x1 x2 ­ , ­ x1 + x1; 2 = - p = x2 + x2; 1 , x1; 2 x1 = q = x2; 1 x2 . , x1 + x1; 2 = x2 + x2; 1 x1; 2 x1 = x2; 1 x2 . p q . 2 2 . , x1 + px1 + q = 0 x2 + px2 + 2 2 + q = 0. : x1 - x2 - p (x1 - x2) = 0. -1 , (x 2 - x 2) (x - x ) -1 = - p . (x1 - x2) 1 2 2 1 x1 x2 x2 x1 ( p , ) . , x1 x2 :
2 2 - p = (x1 - x1 x2 + x1 x2 - x2) (x1 - x2) -1

=
-1

= (x1 (x1 - x2) + (x1 - x2) x2) (x1 - x2) = x1 + (x1 - x2) x2 (x1 - x2)
-1

=

.

p , q , p , q . x1 x2 p q , , x1 x2 . , , x1 x2 . 3 . . . . . . ; - , -, . (ÿ ü ºé » ½¼¾¼ ) . , , - , . . , ­ , ­ . , ­ . ­ , , .


132

. .

. x1 , . . . , xm ­ x m + a1 x m-1 + . . . + am = 0 ­ . xF ;i , F {1, . . . , m} i F , / . x; i = xi , xF
j; i

= (xF ; i - xF ; j) xF ; i (xF ; i - xF ; j)

-1

.

, xF ; i F . xF ; i , . ( , . , .) yk = x1, . . . , k-1; k ( yk = xk) . 4 ( ) . m + a x m-1 + . . . + a = 0 x , . . . , x , x m m 1 1 al = (-1)
l 1 k1 <. . .
ykl y

kl

-1

. . .yk1 .

, , , yk . m. , , . : . . , . , , . , . 5. , , ­ . ­ , ( x1 x1; 2 , ­ x2; 1 x2) , , ­ . , , , .




133 , . x1) =

x A, . A [x ] . 5. x , x 2 + px + q = (x - x1; 2) (x -

. B ­ , ­ 2 x , p , q , x1 , x2 x1 + px1 + q = 0, 2 x2 + px2 + q = 0, x p = px , xq = qx . B (x1 - x2) -1 5. , ­ , . ­ x A, . , , . . 6. x 2 + px + q = (z (1) - x1; 2) (x - x1) , (1) = (x - x ) x (x - x ) -1 . z 1 1 . m. m m! . ; z . , - , , . .
[1] T. Y. L a m. First course in non-commutative algebra. ­ New York: Springer­ Verlag, 1991. ­ (Graduate Texts in Mathematics; V. 131) . ­

= (x - x2; 1) (x - x2) .

7 2000 .


. . ­ ­

, 30 , , , . , . « ». ­ , ­ . [1] . . , . ( ) x , y z (. 1) , : x = y z ( ) , x = ty (z) ( x z «» z y y) . x ty ­ ­ P1 ; . 1. . 2. 2 ty = 1. , . , , . . x y , x = x z , . . (. 2) , . , . . , . P1


­ ­

135

P1 , . , , , , . ­ ( ­ ) , . , y , z V (k) (. . k) , x V (k) . . . . x y , , , z . x = y z x = ty (z) . ty ­ V V . ­ 2 ty = 1. , , . , . , , , . . , x x ­ , ­ x . , . . 1. . , u V (k) x + y = = u (x y) , . , , ; , . .


136

. .

; , u. ­ ­ (, k ) . 1. V (k) , +, . 2. V (k) (x1 , . . . , xk) , V (k) . 3. Bir V , tx , x V (k) . , , , : « ?» ; . , , . , ( ) P1 , . ; . , . , , V (k) k , k , k = Q. , . . (V (k) , ) , ( , ) , - . , , : , : V (k) x V (k) . , , , (. . x x ) , (V (k) / , ) , , , - .

ì


­ ­

137

, . (2) , (3) . , tx Bir V , . 2 tx : tx = 1, (tx ty tx y) 2 = 1. . . tx ty tx y z , , . , . ( 27 , ) . , , . , Z/2Z; , . ­ ­ . , , , . , . 3 3 3 3 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0, . , - 70- 71- , . P ( ) , , h (P) = |xi |. {P : h (P) H } H . , . , . 1 2 3 4 5 x1 1 1 -1 3 -5 x2 0 1 1 1 4 x3 1 -1 1 1 -1 x4 -1 0 -1 -2 0 3 3 4 7 10


138

. .

­ ­ , , H , c (log H) r /2 , r ­ ­ ( ) . N (H) , N (H) ­ {P : h (P) H }, ­ , . 3. , . , . 30 , , - N (H) N (H) ; C , N (H) CH . H ­ . 3. N (H) ­ ( ) ; , . . . - . ( , 3 ) . , . , , . , . - , . . , , . , , .., , . , , , , , . -. . , ­ , ­ . .


­ ­

139

, ­ . ­ , , : , . . . . N N m, m N . , - . -, . N m = n, n < N , N = m n, m N n < N . . . N 1 2 3 4 5 6 ... 30 12 22 11 ... 3 3 3 3 3 3



, N = 3 , , N = 30. 10 . , : (-15, 37, -5, 29) . 3 , , . , 29- 3. , 3 ­ . ­ . ( ; ) . . , , (. . ) , -, -


140

. .

. . , , . , . , . . , (, 30) . , - ? ? . , 287 = 27 30 = 16 18 ( ) . 30 = 27 (16 18) , . . 30 , . , , 30. , . , . . , , . . . 30. : -, . , , . , , , . , , . , -, . , - , , - , . , , , , x log h (x) . , , V (k) R . , , . , , ( ) , . , , . , -, . , , N (H) : V (Q)


­ ­

141

(1, -1, -1, 1) . . , , , , , ( ) . ­ ­ . , XIX , , . 2. , , . . V ­ . ­ ) Bir V , tx ty : x , y V (k) . ( , tx : x V (k) , tx . .) 2 ) tx = (tx ty tx y) 2 = 1. ) k , Bir V ( ­ ) . ­ ) V (k) . . V ­ ­ . . , 27 . . , , . . , , . . ) Bir V ­ ( ­ ) , ¯ : {tx : x V (k) } {su,v : u, v V (K ) , u = v , [K : k] = 2},


142

. .

su,v = tu tuv tv . ( u v K , su,v k.) 2 ) tx = (tx ty tx y) 2 = (su,v) 2 = 1. ) ) . Bir (V ) , V (k) . . . . , . « »; 10. , . . . , . . V ´ : . . . . V . . V


V V



V V . , , . lim Pic (V ) . - , . - , Zx . Pic V , b - Zx . : b (x 1) Pic V
x V x V

- . , -


­ ­

143

, . . , . , . . ; . , , . , V (k) , , , , . ( ) , , . , - . . - , . 3. « » , , - . ad hoc, ­ , ­ . - , , . P2 (k) k. . S P2 (k) . , . a, b S lab , c , d S lcd , S . . . : lab lcd = (a, b ; c , d) .


144

. .

1. k , S P2 (k) , P2 (k) , . . P2 (k) . ­ ­ . ­ . ­ ­ ­ . . . . ­ ­ . , P2 (k) k. , . ; . 1? . - S P2 (k) , 4 . , . , , , . , P2 (k) P2 (k) . , k k, . k . , ­ . , ­ . , . , - . . , , . , , . , . V ­ ­ . , . , , x y . x y . , . x y . , , .


­ ­

145

. (x , y) (C , p) , C ­ , ­ p ( ) , x y x y . . C . , . , V V P2 . - C V . P2 , . : x , y C , P2 , , . , C x , y . x (C , p) y . , , . 2. V (k) (C , p) . , , , p V . . , , V . , (, ) V . V (k) , . a, b V (k) , c , d V (k) , . a (C , p) b . (C , p) . : , . . a (C , p) a. - . , (xi1 (C1 , p) xi2) (C2 , p) (. . . ) . . . . , , , (C , p) . , , (x (C , p) y) (C , p) z = (x y) z , . . C1


146

. .

C2 , . , , , , . , . , - . , , , , , , , , . , , , . , ) , ; . [1] .
[1] D. K a n e v s k y, Yu. M a n i n. Composition of points and Mordell­ Weil problem ­ for cubic surfaces / Rational points on algebraic varieties / E. Peyre, Yu. Tschinkel, / Eds. ­ Basel: BirkhÄuser, 2001. ­ P. 199­ 219. ­ (Progress in Math.; V. 199.) ­ E-print ­ ­ ­ ­ ­ üüò »» æý çºñæ »ÿ ü º »¼¼½½½ .

11 2000 .


. . ­ , ­

­ , ­ 12 . , , - , , 12 , . . , ­ . ­ XIX . C [x1 , . . . , xn ] Sn ­ ( ­ ) . ­ . ­ , , , ( ) , . :
(w) x
w (+) w

s =

w S

n

(w) x
w S
n

.

­ n , . . ­ 1 2 . . .n 0, = (n - 1, n - 2, . . . , 0) . , . ­ , ­ : s s =
µ µ c µ c sµ .

() ­ . ­ 1934 .


148

. .

70- . . . , , , A. , . ­ ­ ­ ­ . , s , , . ; s . ­ ­ SLn GLn . , , , ­ ­ . , ­ . ­ . g ­ . ­ A = (ai j) , i , j = 1, . . . , r , ( ) . : aii = 2, ai j Z 0 ( ) ; , ai j = 0 , a ji = 0 ( ) . , . () ­ . An , Bn , Cn , Dn ­ E6 , E7 , E8 , F4 , G2 . , . : g = ei , i , fi , i = 1, . . . , r ; r ­ ­ ( ) , i ­ ( ­ hi) . , . , [i , e j ] = ai j e j . [i , ] = 0, . . j h = 1 , . . . , r , . h P = { h : (i ) Z i }. , ­ ­ h, . , .


­ ­

149

. : . , V () ; V , V = . V () = {v V : hv = (h) v h h}. , , . V , . . : µ, - µ , . . - µ Z 0 j . ( ­ ­ , j (i ) = ai j .) , . . . , ­ ­ (. 1) . . -1 -2 V , , . . 1. . : , : µ V V = c Vµ . ( , .) , µ sln , c ­ ­ ­ . ­ , ­ . ­ «» ,
µ P


150

. .

. , , , , - , . , , . , , , . . . A, ­ , ­ , A. , , , , - A. , 2 -1 0 . . . 0 0
2 -1 -1 -1 . . . 0 0 2 ... 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 0 0 0 0 0 . . . 2 -1 0 . . . -1 2

- , , - , , . . . . , 1994 . , , . . , . , . , 1999 . , , . , . . , , , . , , . (paths model) . , , .


­ ­

151

, i-trail'. - , , «» «», . ­ ­ , . , ­ , ­ i-trail'. , . , , 1988 . . ­ ­ , . , . , , . *) i-trail' i; . i = (i1 , . . . , im) ­ , ­ w0 W . . , , ­ ­ . , , h . A . ­ ­ , . ( ) . , W = s1 , . . . , sr : si j = j - ai j j . , , . . , . , . w0 = si1 . . .sim , : i = (i1 , . . . , im) . . ,
*) A. B e r e n s t e i n, A. Z e l e v i n s k y. Tensor product bases and totally positive varieties / Invent. Math. ­ 2001. ­ V. 143 / ­ ­ øøøºÿ ü ºð ûº û» ÷ ï ç ðâ ù . multiplicities, canonical . ­ P. 77­ 128. ­ ­


152

. .

, . , . . . i-trail'. V . . V , . trail , > , , (. 2) . . 0 = 1 . . . m = , , . 2. Trail : k-1 - k = ck ik , ck Z 0 . , , . . ei : V () V ( + i) ; . m eic11 . . .eicm , . . V () V () . m , eic11 . . .eicm = 0. , , . . , , . , ­ , , ­ , . , , , i-trail' . . , µ . c , ; , µ . i-trail', ( i-trail' , , i-trail' -


­ ­

153

) . , µ . , i-trail' = (0 = 1 . . . . . . m = ) ck () = dk () =
k-1 - k 2 k-1 + k 2
(ik) (ik) .

( «» .) 1. , µ, . µ i = (i1 , . . . , im) w0 c m (t1 , . . . , tm) , . 1.
m

w Vi L g. 2. tk ik = + - µ. dk () tk - (i ) i i-trail' Vi , 3. si i w0 i . aik il tl (ik) k = 1, . . . , m. 4. tk + : i , , . . i () = i j . j i , g, L g ­ ­ . L g ­ , ­ . 1 trail' i w0 si i , w0 i . 3, , 1, , , . , . , . . ­ . , ­ µ c . Uq (n) , q - ; n = e1 , . . . , er g ­ , ­
l >k

k=1 0 si i

dk () tk

0 i i-trail' i


154

. .

(«») e1 , . . . , er . Uq (n) , , . , Uq (n) = E1 , . . . , Er , . , ai j = a ji = 0, Ei E j = E j Ei . ai j = a ji = -1, Ei2 E j - (q + q
-1

) Ei E j Ei + E j Ei2 = 0.

q ­ , . Uq (n) ­ ­ ­ C (q) q . A, D , E . , ; . q 1, , n, e1 , . . . , er . Uq (n) C (q) - B . B . , , . 1. B Z 0 i ; . Uq (n) : deg Ei = i . 2. . , i n Ein Uq (n) B . : . . , , i n, . . 3. (C (q) - ) E E . , . , , Uq (n) Ein . µ , c , . ,
i =1


­ ­

155

, . q , . Uq (n) = U + . .
µ c = dim U + i

Ei

() +1 i

U + + U +E

() +1 i i

(+ -µ)

,

. . + - µ . , µ . , c , . , . , 1. , . . , , , , , , 1992 . . . «», . , , ­ ­ . . , . , . , . ( ) (U +) = U + () . B = {b } , b (b ) = bb . . V ­ U + -; ­ , , ( , ,

µ c


156

. .

) . V = (U +) . , , q - . , ­ ­ , ; . ­ ­ . . . U + (U +) : (E f) (E ) = f (E E ) . , E U + , . . . i = (i1 , . . . , im) , . ( , . , .) i v V . ci (v) ­ ­ n, Ein v = 0. . v ci (v) = (t1 , . . . , tm) , i , i, . t1 = ci1 (v) , t2 = ci2 (Eit11 v) . . (t1 , . . . , tm) . , . . 2 ( , , 1998) . i = (i1 , . . . , im) ­ w0 , ­ ci B Ci (Z) , Ci Rn ­ ­ , Ci (Z) ­ ­ . , , , , . 1. . (1) ; , . (2) , , + - µ. (3) (4) , , Ei . , , ,


­ ­

157

, . , , : , . Ci , , , A, . , . - . , . . , , . ­ . ­ , . . , , , -. . - , . , . , , Z. ( ) , ( ) ( ) ; . : a b = a + b , a b = a - b , a b = min (a, b) . , ; . , : a a = a. , , , . , , - , , , , . ­ , , ­ . : , . . - , , . , . -


158

. .

. , , 2 min (a, b) . : 2 min (a, b) = a2 b 2 = (a b) 2 . , - , , , - . , , . . , , , : . . , , w0 Ci (Z) . . , : Ci (Z)
i

B

i



Ci (Z) .

, , -. , , , , - Ei . , Ei , w0 , ­ . ­ , i , , Ei , . , , , . , . . - , . , .


­ ­

159

. . «» . g = sl3 ­ 3 ­ . E1 E2 . : i = (1, 2, 1) i = (2, 1, 2) . (t1 , t2 , t3) (t1 , t2 , t3) . :
t1 = max (t3 , t2 - t1) =

t2 t3 t1 t3 + t2 trop
tr o p

,

t2 = t1 + t3 = [t1 t3 ] t3 = min (t1 , t2 - t3) =

, .

t1 t3 + t2 t3 tr o p

, , - . (, ) , ? , , . , ­ ( ) ­ . G = SL3 ( 3 -1 1) . x-i (t) = i t 1 0 . t i ­ 2 3. ­
0 001

: 1 = 0

2 = 0 ;
0

100

2. x-1 (t1) x-2 (t2) x-1 (t3) -: x-1 (t1) x-2 (t2) x-1 (t3) = x-2 (t1) x-1 (t1) x-2 (t3) . , t , t ) , (t1 , t2 , t3) (t1 2 3 , , . . , ; . , ­ . ­ . , . , , ,


160

. .

, . , . , , () . , SL3 . , , . , , . . . , . ­ () ­ . , trail' - . , 1. , - . , , ­ . ­ 14 2000 .


. .

­ . ­ , « ». , . . , . , , . , . , , . , , , . . , , , , . , . , . , , 250 . , , . . ( . ) , , , , - , . , 200 300 «». ( 450 500 . .) . ( , . . , ) . . , ,
. . . . .


162

. .

- . «» , : « , , , . , . , . . ?» , . - . . . ( , ) (, ) . , , . . , , , , , . . , , ­ ­ , -. , - : , , , . . , , . , : . , . , p q , q p . , . *) « XIX ». . , . , ( , ­ ) , , ­ 10 . , , ­ ­ , ­ ­ . , , ,
*) «», «» ­ ­ ! «. » « », .




163

, . , . , . , , . , ­ ­ . , , , , ( , ) . , . , , , . , . ­ . ­ R2 . , . ­ ­ - . - ­ , ­ - . . , , ­ . ­ . , - , . , 1 ( , ) . , , . t t . . ­ ­ , . . . . t ­ ­ t . , «»: . t t . , , . , . t . . 0 , t t ­ t (. 1) . , ­


164

. .

, , t t , 0 . , . , XIX , . . «» . , , , , . , t , t . . . 1. . 8­ 10 . ­ , . 2. . , , x 2 = y 3 . . . . , , . 2. ; (. 3) . . , . , . , , , . ­ ­ . 3. ; . , . , ,




165

. , (. . ) . . . , . . , , . . , . , , . . , . x 2 = y 3 . - , , ­ ­ . , , , : , . , . . . . , , . , , - . . , , , . , , . . 2. , . . . , , . , , . . ( ) , . . 6 , 12. , . , , , . ,


166

. .

. : , , , , . . , , . , . , . , , , , , ­ . , ­ , . . 4- . 4- , . x 4 + ax 2 + bx + c ­ , , ­ 4- . R3 = {x 4 + ax 2 + bx + c }; a, b c ­ . ­ : = { (x - u) 2 (x 2 + 2ux + v) }. ; . (u, v) . , , . (u, v) a, b c . a, b c u v , . , , . . , , , ­ . ­ , . - , . , P , 2 ­ ­ C4 B . a = -1 0 A . 4. (. 4) . a = 1, . a = 0 , . x 4 = y 3 . a ;




167

, . . 3 . , . , 4, 2 0 . , 3 1, . 1. 4, 2 0? , , , . . A, B , C : A B C . ( A ; C ­ ­ .) A, , B . B , , A, C . A C , B , . , , . , 4, 2 0 : 4 2 0. . , B ­ , 2 . ­ A C . A b , C , . , 4 1 ? x 4 + c = 3 = 0, c > 0, . A. , a C . , , . ­ ­ , (, P) , . 5. , . , , . . , ­ , , , ­ ­ ­ , . , , , x 3 + ax + b . -


168

. .

(. 5) . 1 3 . , , 1 , , , 3 , . , , , 4, 2 0, (. 6) . , . 6. , , . , , , . (, .) , , . , . . «» «». ( ) , , . , , , , ( ) , . ­ ­ . ; . , . 7. , . , , , . , . . . ; 4 (. 7) . ; , . . . . ,




169

­ . ­ , . , . . , XVII , , , , . , , , , , - . , , , , , . . ; . . (R2 RP 2) , RP 2 ­ ­ . , , , , , . , , , . . ­ . , ­ p q . . ­ . ­ ­ (­ ) ( ) . *) . , . , . ­ ­ . , . . , ,
*) , , ­ ! ­


170

. .

; . , ? . ­ ­ , . ­ . ­ . 2. . : RP 2 . ? : , x -2 + y -2 = 1. . , . . () ­ . ­ , : , , , , ( ­ ­ , . .) . 3. . ? : , . . (x -2 + y -2 = 1) = (u2/3 + v 2/3 = 1) . , , . 2 3 , . . . , , , ( , ) , (. 8) . , , , (. 9) . , , (. 10) .




171

, ­ ­ . , . . , , ­ . ­ 3 : 1, ­ ( ) . ­

d A
. 8.

B

d B A

D

C

Z d A
. 9. . 10.

B

4. , 4 : 1, ­ . ­ x 2/3 + y 2/3 = 1. x y . , , , .


172 1.

. .

, . , , , . , . ­ ­ ( ) . , , (. 11) , , . y , - y , , , - . x n (y) , 1. . 11. . , , . 1, 3/4. . , - , , ­ . ­ , -. , , . ­ , ­ . ? ; , , . , . , , . , . -. ,




173

. , . . , , , -, . : n (y) sin = const; ­ , n (y) ­ ­ ­ . , . , , . . , . . . . , : ­ . ­ - - , . . - - . . . ­ , ­ . . . , ­ , . ­ , , . , . , . ­ . ­ . . . : . , , . . , , . . ­ ­ , . , , . , , . . 1996-.


174

. .

. , , . , . , , , . , , - , . . . - , , . - - , , , . . , . . , , . . . , . , , : « 30% , .» - , , . , . , . , , , , . , . , . ! 25 % , . -, , . , , . ­ 5. : « ­ ? - .» -, . , . , , . ­ . ­




175

43



. 12.









. 13.

. 14.

- . . . , , (. 12) . . , , ( ) 43 . , 43 ; . , . . . , , . 43 . . . ( , , , . . ­ .) ­ , (. 13) .


176 p


. .

p
. 15. (p)

. n , n (y) sin , sin , (. 14) . : , . . . , . , . , . . p , , . (p) ­ ­ , , p , . , , (p) . , 43 (. 15) . , , . , . , , , , . , , , , 43 . n (y) sin = const . n (y) - (. 16) . , . ( .) , n , ­ ­ . , (. 17) . , , ( ) ; , . . .




177 y

y

n (y)
. 16. . 17.

x

, . , , , ; , , . , , . . n (y) sin = const, , , . n, y , , . . , , T (x , y) = c n- n+ ( , ) . , , . n+ n+ n+ + n+ n+ + , , n- n- n- - n- n- - (. 18) . . - , T (x , y) , . 18. . T ­ ­ . T . T ; . T x . ,
T (x , y) x y =0

= n± sin ± .

. T ­ 1/v , ­ v ­ x T . , T ­ n. ­ ­


178

. .

. , - , . , - , . 5. , . . , , . , ( ) ? 2/3 ( ) . , , , . 2. , , , . , , . , , , . , , , . . , . . . , . , . , . , . . 71- 72- , . , - . , , , - , - ,




179

- . . , . , 30 , , , . , . Rk . , Rk-1 , 0. , , , . -1, +1. ­ ­ , . . , . , . . , , 2 . , . . , , , . , . , . , . . , , . , , . ; . . , , hardware , . , . , .


180 E Ak E Bk Ck Dk E
8 7 6

. .

I2 (p) H H
3 4

F4 G2
. 19.

, , . . 19. , : Ak 1 , Bk 2 , Ck 3 , Dk 4 . , , Ak , Dk , E6 , E7 E8 . , I2 (p) , H3 H4 , . . E6 , E7 , E8 , F4 G2 . . , , , . , . . 19. ­ , ­ . ( ) , . , 120 . , 135 . , 150 . , , , , , . «» «» ( ) , , Bk Ck ,




181

, . «» , . , Bk Ck ­ ­ , . , . ­ A2 . k ­ ­ ­ . 2- , 120 . (. 20) . 120 , . ; 60 . ­ ­ S (3) ( ) . 120 . (x0 , x1 , x2) . : , x0 x1 ­ . ­ : R3 . 20. A2 R3 , x0 = x1 = x2 ; . , = {x0 + x1 + x2 = 0}. , , 60 . , . , . Ak . x0 , . . . , xk , x0 + . . . + xk = 0 . S (k + 1) . , , , , . , , , , . . , . , , . , , A1 + A1 . ­ ­ . . .


182

. .

. - , , , . . , : Rk Ck . , , . ( .) Ck /G . 1. , , Ck /G Ck . G = Ak . . ­ , ­ . , . , Ak Ck x0 , . . . , xk , x0 + . . . + xk = 0. 1 , 2 , . . . , k+1 (s s : 1 = x0 + . . . + xk , 2 = x0 x1 + . . . + xk-1 xk , . . . , k+1 = x0 . . .xk) . 1 = 0, 2 , . . . , k+1 . , x0 , . . . , xk , (. . ) 1 , . . . , k+1 (« ») , . : Ck Ck ­ ­ . , Rk Rk ( ; ) . Rk . . ­ , ­ . ­ , ­ ( , , ­ ­ A ) . , , , . , , Ck , Rk . ­ ­ . . , . , , . -




183




. 21.

­ , ­ . ( A) , ­ ­ , . A2 ­ . A3 ­ . , , . (. 21) . . , . . , . , , . . . ­ . ­ 2. 6 , A, D E , .






184

. .

, A3 ­ ­ . . A4 D4 . , , . « » , , . . 7 ­ ; ­ . , . ? , , , , . , . , , . B , C F4 . G2 , , , . I2 (p) , H3 H4 . , , , . I2 (p) ­ p - ­ . . p = 2, 3, 4, 6. p = 2 ; p = 3 A2 , p = 4 B2 , p = 6 G2 . ; . , I2 (5) ; . H3 ­ . H4 ­ ­ ­ . , 120 . , , , , 4 , . ; 1928 . . , , . . . . SO (3) . , . 2. , . . , .




185

Spin (3) , SU (2) . . , SO (3) ­ ­ RP 3 . , ­ S 3 ( ­ 1) . ­ . ­ ; 1 . , . , , , , . , , . , , , i j = k. . 60 SO (3) . . , . 12. , . 5 . 12 · 5 = 60 . 60 S 3 SO (3) 120 . 120 S 3 . S 3 , , R4 ( ) . 120 . , . 600 , . , , . , . ­ ­ , . ­ . ­ 1202 . 120 â 120 ( 120 ) . H4 ; . 3 () . , ( ) , (. . ) . . 190.


186 3.

. .

, , ; . , . , . . , . , . , , . , , . ( , , .) , , . , . , , . , : « .» , - ­ ­ - , , - . , - , , , , . , . , . , , . . ­ . ­ , ­ . ­ , . ­ ­ , . . ­ . ­ , , . « », , . , .




187

, . , . , , . « .» ­ , ­ . ( . 190.) 4. E . , , . B k ­ ­ ( k) . *) - . k . ­ , ­ ; k, k - 1. 2k - 1. ­ ­ . , . . k = 2, B 2 ­ , ­ ­ . ­ . E 3, E ­ ­ . E , . . , , , , . E . ,
2k-1

*) () () () : () , () () .


188

. .

E E . . Pk-1 - , E 2k-1 - - B k , (, ) , . . ( , ) , E . . E 2k-1 . 1-: = 0. , , , , , , 1- ( ) . : 1- . , , . . : (d ) k-1 = 0. , k = 2, d = 0. , . . , , , . . : . : « .» , , . . , . , , - - , : « .» ­ . ­ ­ ­ . , ­ k - 1. (k - 1) ­ E 2k-1 ,




189

E 2k-1 . . . B k . E 2k-1 . , , -. B k . (k - 1) - , ­ ­ . = 0 . E 2k-1 . , . . B k ( B k ) , . (k - 1) - . B - , , . E . t . . , . ; . , , ­ ­ . . ­ ­ , . . , ­ . ­ E 2k-1 B k . , ( B k ) . . k-1 E 2k-1 B k . , k = 2, , . , , . ( ) , . k-1 . .


190

. .

. ­ ­
k-1

E

2k-1

B

k

k-1

E

2k-1

Bk.

. , . 4. k 7, ( A, D , E) . , . , . k-1 , . . , , . . , . . , , . , , , , , , . , , , , . , , . , , . . ­ , ­ . . , , . : , . , . . , . ­ ­




191

, . 1. . . , x , y , x + y = 0. , - . . , . . , . 2. . . , , . , . . , , . (. . , ) . . , , , . , () . ­ ­ (x1 , x2 , x3 , x4) ­ ­ , : I=
x1 - x3 x1 - x4

:

x2 - x3 x2 - x4

.

. , -, ( , , ; ) , . . , . . - , , . .


192 5.

. .

. , . ­ , ­ ; . M2n . ­ 2- 2 , , ­ . . d 2 = 0, , . . ( 2) n = 0 . ­ ­ 2 = 0. , n. , 2 Ln M2n . ­ M2n B n , ­ . . T B ­ ­ B . ( ) 1- = p dq , . q ­ B , p ­ ­ ­ , . . . = d = d p dq , , , . Ln M2n B n ( . 22 n = 1) . B n . p (n - 1) - Ln . L (n - 1) - B n , q . B 3 â 2, . 22. . , . ­ . ­ , . . , , , 6.




193

A4

- D4

+ D4

. 23. 3

, n = 1, 2 3. n = 1 ; . n = 2, . n = 3, . n = 3 A4 D4 . 1 : n = k - 1. A4 D4 ­ , . ­ . , , D4 + - : D4 D4 . , : , . (. 23) . . , , , , . + - D4 D4 -, ­ ­ , .


194

. .

, , , . Ak Rk-1 , Rk Ak ( ) . 5. , . (a, b , c) . (a, b , c) (a, b) . a = const, b = const (da = 0, db = 0) . , , . A3 , . . . ( , ) ­ ­ . , ­ ­ . x 4 + ax 2 + bx + c . c ­ , , . 4x 3 + 2ax + b ­ x 3 + ax + b , . . . . . , . , . . . ­ ­ . - . , . , . 65- , . ­ ­ . , , , . , . , , : «




195

.» , , , , , - , , . - . ? , ­ , - ­ ? , , , , . , . . , , , , . , , . . , . (, ) . , . . , « ». , , , « ­ » *) , - ­ . ­ , ­ . - . , , . . ­ . ­ , , , , . . - . ­ , ­ , ­ . ­ . ( .) . .
*) : («») , .


196

. .

6 () . . . , . ­ . ­ , , . , . () . . , , . , , . , , . , . , . - . . ­ ­ , . ; . , . . , Computer Science. . - , , , ­ ­ , . , Computer Science, . , . , , , . . . , , . . , . , . , . ­ . ­ , ( , ; , , ) ­ ­




197

. , , , , . , , ­ ­ . Comptes Rendus 1965 . . , . . 7. , (. 24) , , . . (M2n , ) . ( , , ) ­ ­ (T 2 , d p dq) . , . , . . x = v (x) , x M2n . . H (x , t) , t S 1 . . dx H x (t ) . , . 24. . Ix : Tx M2n Tx M2n . , ; . dH I : Ix dx H = v (x) ; v H . . t , , , . 1- , . . , , . x x + f (x) . : 1 - f 0 ( f ,


198

. .

­ ) . , ­ , , . , dH ­ , 1-. ­ (, 1965) . M2n . 100 , . , -, . 4 , . , 78- . . . ­ , , ­ . 83- , , , , . , , ­ , ­ ­ ­ . ­ . , ­ . . , 2n . ( , ) . ( , - , - , , , ) . . . , , , - . , , . . . , . , , , . . , . , ,




199

, . , . . , , . , , ( ) . , . , , , . , , 70- , . , . I () =
x R
n

e

i S (x ,)

a (x , ) dx .

: 0. . S ; . a , ; . . , , , . S x , S = 0 . . : . , n/2 ( , ) . - , . n/2- . . , ­ . , ­ , , . , . A . , , , . , x


200

. .

. ­ . ­ I2 (p) , H2 H3 . A, D , E . B , C , F G2 . , . , , . , , . . , . , A, D , E , , . - , . , , , . . , , (. 2 . 3) . ( , , , , , , , ) . , . . . . . , 1993 ., . , , . , ( ) , , d f = 0. d L = d (d 2 + 1) (d 2 + 4) . . . (d 2 + n2) , L f 2n + 2. n = 1




201

, , L f = 0, . , . ( , ) . 28 2000 .


. . ­ ­

, , , . ­ , ­ , , , . . , , , . ­ ­ . «» , . . 16- , . , , , , , . - 21- . , . , . . . , , :
dy dz

= B (z) y ,

B (z) ­ , y = (y 1 , . . . , y p) T ­ ­ ­ - p . B (z) = {a1 , . . . , an }. . , . z0

¯ z C.


­ ­

203

, (. 1) . z0 Y (z) . , p . . , Y (z) . Y (z) ­ z0 ­ , , . 1. . z0 . , , . . . Y (z) Y^ (z) . Y (z) = Y^ (z) G , G ­ ­ -1 . , G . , ; , . ( ) . , :
1

­ . , , . . . ­ , ­ (. 2) . gi . n . i g1 . . . gn = e ( ai , « » , ) . . 2. «», « ». , . . . G1 , . . . , Gn ,

¯ C \ , z

0

GL (p , C)


204

. .

. G1 . . .Gn = I . . , , , . , . ; . , . , . *) . . B (z) ? . , ai B (z) , z - ai . . :
dy dz
n

=
i =1

Bi z -a

i

y.

Bi ­ ; z . , ­ ( ) , . . 21- , 1900 . : «, .» , 21- ­ ­ . : , a1 , . . . , an G1 , . . . , Gn . . . , . ,
*) . ­ . . ­


­ ­

205

. . , . , , . , - , - - . , . , , . , , . , , . , , , -, , 16- , , ´ 16- , 1908 , *) **) . , 2 â 2. . , 60- . . ­ . ­ ; . , , . . , , , . , . . . ­ -, ­ 1928 . ( ) , . , (, ) , i Gi - I , ***) . ­ ­
*) , , - . **) . ­ . . ­ ***) . ­ . . ­


206

. .

, . , . , 1972 . , p = 2 ( 2 â 2) . , , . , , . , 70- , . . , , . : . , . , , , ­ . . ­ , : « , , ?» ­ ­ . , , , . ( , .) , . , ­ . ­ , ? . , : Bi (a1 , . . . , an) . , , , , (, , ­ ) ­ , Bi (a1 , . . . , an) . , ; . , - , , , ? ,


­ ­

207

. , . . , . , , . . , , . , ­ . ­ , . , , . , , , , . , 70- . , . 1983 . Progress in Mathematics, V. 37. , , , ­ . ­ , . . , , , . , , , ­ , , ­ . , . , , , , ( , ) . . , , , . - . , , , , : « , , .» , , , . . , , .


208

. .

, . « ­ 1» *) . ­ . , , , , . , , 1957 . . . , . , , , . , , , , - . , , . , , Lecture Notes **) , ­ , ­ , . , , , . 80- , , . . . , ( , ­ ) . , ­ , . , 1989 . n = 4 p = 3 ( 3) . , . , - n p , , . :
*) ­ 1 / . . . . . . ­ : ­ ­ , 1985. ( . ; . 1.) **) P. D e l i g n e. èquations diffÈrentielles Þ points singuliers rÈguliers. ­ Berlin etc.: ­ Springer Verlag, 1970. ­ (Lecture Notes in Mathematics; V. 163.) ­


­ ­

209

. . , , , , - ( + ) . ( , .) . , , . , , . . , , , . , , , , . , , , . , , . . , , , , , , . (, , .) . , *) , - . . 4 , . n = 4 p = 3 . , , . , , . **) , , n (p - 1) . ai , . , : , - . ,
*) p = 3, n = 4. ­ . . ­ **) . ­ . . ­


210 :
dy dx E

. .

= y , E ­ ­ z . ; . , z = 1/t t . . z E = exp (E ln z) . , . exp (E (ln z + 2 i)) = z E G , G = e 2iE . ­ ­
n

z i lnbi z . z

, . - , , (. 3) , 2 , . . , , z , , . 3. . . . , , . z . . , , , , , : F R. ( F ­ , R ­ ­ ­ .) , , ­ ­ . , ­ ­ . , . , ? , , . , , , .

i =0


­ ­

211

. , . ­ . ­ , , , . . , . F - C \ ¯ ? . Ui . , , . i j . z0 Ui Uj Ui i . Ui U j = , i j i j , Ui U j i j (. 4) . z0 Ui U j = , i i j -1 . ( j . 4. , , ) . . (i i j -1) , j gi j . . i j , , , . , ? Ui U j gi j , , , g ; . Ui U j -i j GL (p , C) . - gi j . , gi j = g -1 ( ji , ) Cp gi j g jk gki = I (- , , Ui Uj , , i j , . 5. ­ ) . ­ , . Ui C p . (. 5) . : , Ui U j


212

. .

y1 . : . . ip y
i

Ui U j , (z , v) Ui â C p (z , g ji v) U j â C p . , , , F . ¯ ¯ : F C \ . ( , F , C \ ) p . ­ . ­ , C p . - . , *) . . , . ? , ¯ s : C \ F , s = id. . , Ui , ­ C p ; ­ . Ui â C p , C p , . s , Ui , (i y 1 , . . . , i y p) T = i y . , , . . , , , s ­ i y , . . s d i y . ­ . , , ( ) . . - , , , , , . , s , , ,
*) . ­ . . ­


­ ­

213

. , d i y = gi j d j y . , , . , , . , , . gi j , . , gi j . gi j d j y = d gi j j y , i y = gi j j y . , gi j , . . . , . , . , , . s . : Ui ; s . , , . s = 0. s , , . , , , d i y = 0. , , . . , d i y = 0. , ; . . . Ui ( , ) . ( ) U1 . d 1 y = 0. . I . , U2 , U1 . g12 , U2 I g12 . I g12 g23 . .


214

. .

, g12 g23 . . . gm1 . , , g12 g23 . . . gm1 = G -1 . . , . , . . : G = (g12 g23 . . . gm1) -1 . . G = () , ­ , ­ ­ ­ . , (, , ) ­ , . ­ ­ ­ . , gi j i i j -1 , i j i j , . ¯ F C \ , , . . . , , . . gi j . , , . . , , . , . , , , , . ? e1 , . . . , e p ( ) 1 , . . . , p , -1 (z) , . . (1 , . . . , p) = (e1 , . . . , e p) -1 (z) . -1 (z) z , . s , i y , i f = i y . , s , . . , d i f = - (d · -1) i f . , , , . i f ,


­ ­

215

= d · -1 , i f . , , . . , i f . , , d i f = i f . ­ ­ . . ? , ¯ F C \ , . . . , , d f = f i , . , s = 0 , , , , ( ­ ) . ­ . , , ­ ­ , . , . . , , . , d f = f , , . ­ . ­ , ­ . ­ , . : . . , . . , .


216

. .

, , ­ ­ , . , , ­ *) . , ­ . . « ». , , , . , . « »? . 0. , . (. 6) . U0 , 0, U0 ­ ­ U0 U0 â C . . U ? U . . 6. (e1 , . . . , e p) , , . , , ? , : (e1 , . . . , e p) 0 (e1 , . . . , e p) G0 . (1 , . . . , 0 ) = (e1 , . . . , e p) z -E0 , p E0 = , . , j 0 1, . . 0 Re 0 < 1. .
*) ­ , , , ­ . , , . , z . 1 2 i

ln G0 . ;


­ ­

217

0 , (1 , . . . , 0 ) p . , z -E0 - 0 G0 1 . (1 , . . . , 0 ) p - G0 G0 1 = I . z -E0 ( z = 0 , . . , ) . U0 \ {0}. : -, , , -, . U0 \ {0}, . . U0 â C p , {0} â C p . , . . 0, , ­ . , ­ , 0, . , . U0 â C p , 0 , (1 , . . . , 0 ) p , . . z = 0. U0 â C p . ­ ­ , 0. , . . ? : df = 0. ,

: df =

. ­ ­ (-d · -1) f ­ . , ­ df =
E0 z

E0 z

dz f .

dz f . ,

, , , . , -, . ­ ­ . , ­ -d · -1 , = z -E0 . ­ . , . ,


218

. .

df = f , E df = 0 dz f , . , . ­ . ­ ¯ , . F C \ , . , ai , ¯ ­ . F 0 C ­ 0 , . , . , , . ai . . . , ¯ F 0 C . . , . *) . , . . , . , 0 . (1 , . . . , 0 ) p 0 (^ 1 , . . . , ^ 0 ) = (e1 , . . . , e p) z -E0 z , , E0 p ( , ) , ­ , : 1 . . . 0 p . . . 0 Z. z ; .
*) . . 208. ­ . . ­
2 = .0. . ..0. . .. .. .. . . .0 . .. .

z

E0 z -a

i

,



1 0

0 ... 0 0 ...

0

p 0


­ ­

219

, . : df =
1 z

( + z E0 z

-

) dz f .

. , : z E0 z - p 1 . . . 0 Z E0 0 . . . . ( , , ) ¯ . , F = {F , }, = {1 , . . . , n } . 1. , . ; . , ­ . ­ PRH. , PRH , , F . . . , . , . , , , . . , , , . : O (k) : , C ¯ C \ {0}, g0 = z k . ¯ O (k) = {C, C \ {0}, g
0

F O (k) . . . O (k) , = p 1

= z k }.


220 , ¯ F = {C, C \ {0}, g
0

. .

=z

k . . . 0 . .1. . . . . . . . . 0 . . . k p

}.

k , . . . , k . p 1 ¯ C. , ­ . a1 , . . . , an , ­ G1 , . . . , Gn 1 , . . . , n , . k . . . k . p 1 , . , , k . , i . , . . , - , , . , ­ , ­ , . , G1 , . . . , Gn , C p . 1992 . . 2. , PRH. , . , . , , . . , . . , : k - k 1 n - 2. i i+ , . , , . , . . , , . -


­ ­

221

. , , k + . . . + k = 0. p 1 n - 2, . ? , ( ­ ­ ) . , . , . , , , ­ , ­ . , . , , , . . k - k 1 n - 2 i i+ , . . (, .) , . , Hain N. Katz. . , , , , , , . 12 2000 .


. . ,

, . 6­ 7 , ­ . . , . , . . ­ ­ , . ­ . ­ ( ) ; , (. 1) . , . (. . , ) . ; . . 1. , , . 4 , (. 2) . , ; . :


,

223

­ . ­ . . 4 . , , . 2. f -f =f -f

. 2.

? (. . ) , S 1 R3 . ; . , . . , , , . S 1 R3 , - . 3. , , (. 3) . . , + . . n , n + 1 - . (. 4) . . 4. , . : v () = v (+) - v (-) , . . ,


224

. .

, , . , . . . , , . . Vd , , d . d . V0 V1 V2 . . . V =
i

Vi -

. . . ­ ­ , . . , A , . , , . 3, B , . 5 . , v Vd B d . ( ­ ­ .) , A d , . 5. d , . . 3 . d ? , d + 1 . , d , . , d + 1 . ,


,

225

, , . , d d . : « ?» , . , . . , , , , . . , ( ) . , , . . . , . , (. 6) , . . , , . . , . , , . 6. , . . . , , . . d , , . , - . . , d - 1. , . . , .


226

. .

A = A0 A1 A2 . . . , Ai ­ , ­ i , , . . ­ ­ . m : A A A . (. 7) ; ,

. 7.

. , , . , , . , . . ­ ( ­ ) . , . , µ : A A A. . ( ) . , . . . ­ ­ . n , 2n . : .


,

227

, , . ­ ­ . . , . . . . ­ . ­ . C [x1 , . . . , xk ] , . - y1 . . .yl , : . . . ­ , ­ . , . , - ( ) , . , µ = +2 + , µ (y1 . . .yl) = 1 y1 . . .yl + y1 y2 . . .yl + . . .

µ (xi) = = 1 xi + xi 1. , . , . . Ai Pi Ai , . ( A0 0.) , , , Ai . Pi . ( , ­ ) : ­ 1 1 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 7 8 8 12 9 18 10 27 11 39 12 55 13 ?


228

. .

, , . . , . . , . 1) . 2) . , ; , 1 .

. 8.

. 9. . 3

3) 3. (. 8) . . 9. . . . () . , , (1) = (3) (2) = (4) . , (1) = (3) . 10; , . c a a c b f e d b d f e

. 10. (1) = (3)

, . g . C,


,

229

R. . e1 , . . . , e g . - (. 11) . e
1

e e3

1

e

1

e

3

e

1

e

3

e1

e

1

. 11.

U (g) .

e1 , . . . , e g ; . ­ ­ .
g i , j ,k=1



ei e j ek e j ei ek . ,

, , , -, , , , , , -, , ( ) . . . , . , . , () , , sl (N) . , ­ ­ , . n g g n . , , .


230

. .

, . - , ? - . , . , , . . D (D) . ; , (. 12) . , (D) (t) (D) . , (t) ­ , t ­ , t ( , ) . e e
e

. 12.

. 13.

, , , . e , e , , , e , e e (. 13) . (t) = (t) - (t) . , e e , e e , . , , , (t) ­ . ­ , , , ­ ­ . n t n .


,

231

. (1) - (2) = (3) - (4) (1) . (2) ( , e ) . (3) (4) . , , , e . , , , . ? , . , , -, , -, . . . -, , . -, . . . - , . f () = f ( ) + f () . e e f () = (-1) #V () , #V () ­ , ­ . . . , . , , 1947 . . . . , , , . , . , . , , . , ,


232

. .

. , , . . ­ ­ , . . , , . , . , , ­ , ­ . , . , , ­ ­ . . , ~ ~A . : , AB , AB B (. 14) . A B -


A

B =
AB

A

B - ~
AB

A

B

-



=

-

~

AB

. 14.

~ ~A , AB B A, B . ; B AB . A ~ ~A AB B ? , , ~ AB , , A, , , . A , B ; . C A B , A B . C A B , A B . ~ . , : ~ ~A - B = AB - B . A , , .


,

233

, . . , . , ( ) . -, , . - . . . . . ­ ­ . , . , . , . , . , . , , . , , . F = F0 F1 F2 . . . ­ ­ . , Pi Fi . : 1 1 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 7 7 8 ?

A F ( ) . . , . , ­ ; ­ 7 1- . , . , F .


234

. .

, , . , , , . , (. 15) . F . , . , . 15. ­ , ­ , , , , . , . . 7, . , . ­ - ­ , , , . , , , . . ( , , , ) . , ( ) ? , , , . . . ( ; , , .) , , . , , . A F , A F , . , , , . , , , , , , , . ( ) . , ai j = 1,


,

235

i j , ai j = 0, i j . ( . 16.) , Z/2Z. Z/2Z, . 1 2 , 0111 , 1 0 0 0 4 1001 . 1010 , 3 . 16. . . , . ~ , Z/2Z . ( . : , a21 = 1, .) , , ­ . ­ . -, - . . -, , , , . ? ? , , . , , , , , . ; gln . , , . , sl2 , , . ­ ­ 1 1 0 0
0010 0001 1000


236

. .

1, sl2 . . . ­ ­ ; , , ­ ­ . . , . ­ , ­ (, ) . , (. 17) , , . - A1B A1B = A0B - A0B -

-2

+

. 17.

. 18. 2 3

, . , , sl2 - . . . 17 , . ( ­ , .) ­ 3 1 , . , 2. n- n > 3. . ( , 1-, n 2n , .) - , gl (1|1) . , . , , ( , ) . , , . 18.


,

237

Fn Pn , (, ) : Fn = = Pn Pn . , . , . . . Vi (Vi) ( ) , . . . , . 11 1!, 2!, . . . , , . . . , 23 . . (. . ) W R , w = log W : F R . : w = W . . . ( ) ( ) . . , , , . ­ . S 3 ­ S 1 , (= ) . , Z/2Z, . ( ) , . 26 2000 . n () = - 1! (V1) (V2) + 2! (V1) (V2) (V3) - . . .


. .

«» , . . , , . ? . . . - ( ) . , . . , , , , , - . , , : , *) . . 1. G ­ (. . ) ­ , M (G) . , . -, « », -, «» , . . , , , , , , . . G ­ ­ . M (G)
- , ( 70/3/4970, ) . *) H. G. D a l e s, F. G h a h r a m a n i, A. Ya. H e l e m s k i i. The amenability of measure algebras / J. London Math. Soc. II Ser. ­ 2002. ­ V. 66, 1. ­ P. 213­ 226. / ­ ­ ­ ­




239

, G - , (. . ) . - . . G , ( ) , . , . - , () ­ ­ . , . . . G ­ . , ­ , . - . , . ­ C. ­ , . , , . . L1 (G) , - . G , . (, ­ , ­ .) ­ . ­ ­ M (G) , ­ . ( ) , . ­ ­ G . «», ; , . , . , . ­ . ­ , , . . µ := Var µ. , , . . µ . ? ,


240 µ E . : µ (E) = E (st) dµ (s) d (t) =
GG G

. .

(s

-1

E) dµ (s) .

E ­ E , . . E (st) = 1, ­ st E , E (st) = 0, st E . / . . ( .) L1 (G) . , . , ; . Mc (G) , (. . , ) : L1 (G) Mc (G) M (G) . Mc (G) , , , . . M (G) ( ) : M (G) = Mc (G) l1 (G) . l1 (G) . ­ ­ . , M (G) , L1 (G) , . M (G) ­ , . ­ , l1 (G) . , Mc (G) , ­ , ­ . G , Mc (G) , M (G) = l1 (G) . , . , . . . . . , . ». . « « ». «».




241

1. A ­ , X ­ ­ ­ A (, ) . , X ­ ­ , ­ , ­ . A X D : A X , D (ab) = a · D (b) + D (a) · b . x X Dx : a a · x - x · a, , , . . . A X . , A X ? - , . , , . X = A, . . . , D ­ ­ , e D ­ . ­ , . , , e D , D ­ ­ . . , , , , . , - , ­ ­ - . . , ­ ­ . , , , , . . , , A D : A A , A - A, A .


242

. .

: A = (H) ­ ­ H (: , ) . (H) , , . . . , . , , . 1 (A, X) A X . , , , . n- n, . , , A, 1 (A, · ) 0, . . ? ; . , . . , 1 (A, · ) 0 , n (A, · ) 0 n. , , , . . , ? . , () ­ ­ . (. ., , ) , , . , . ? , - , . . , C -, , , . - . , , . , , . , , ­ , ­

ö

þ

þ

þ

þ

þ




243

. , , . - , , CM M . , , . , . , , , . . . 1972 . , . . . , . X ­ ­ A. () X : f · a, x = f , a · x . , , . , . , , . , . - , . , , . (1972 .) . A *) , X X , 1 (A, X ) = 0. , : , , . , , ; «», . 2 () . L1 (G) , G . , . . ( , )

þ

*) , . , , ­ . ­


244

. .

, G , . , , , Cb (G) , L : Cb (G) C, , (. . 1 1) , , ­ ­ . , . , , , , , . . . , ( , ) . , . . ­ , ­ ­ ­ . . - , . , , . ­ ; ­ L1 (G) . C . . , , , . , -, 1978 . , , . . 3. C - , . ­ ­ C -. , . . . C - , . . C - , . 4 () . C - , .




245

. . ­ ­ . 5 (. . , 1973) . A , A = C () , . . A . ( , .) , A , Cn . , , . . - . . : , . ­ ­ M (G) . , , 1999 . , , ? . G , . , . ­ ­ , - ( , ) . , L1 (G) G , ­ ­ , , M (G) ­ ­ . , . 60- , , . M (G) , , . , , . . ( ) . ­ ­ . *) C , *) , , , , .


246

. .

. , ( ) , . , G , . , 70- , . , . , . , , , . , , . . , (, ) , . , , . , (meagre) . 2. , . 72- , « ». ; . , : «». . , . , , . . . ( n (A, X) ) n (A, X) . ­ (­ ) . ,

þ

þ




247

, , , , ­ ­ - . , , . , . : ­ ; ­ ­ ; ­ ­ . ­ . , . , , , , . . . ( ­ ­ ) , ( ­ ) ­ - : , . . A ­ . ­ A; , . A-mod, ­ mod-A, ­ A­ ­ mod-A. ­ , ­ ­ ­ (, ) , , . , . , . , Ae ­ ­ . Ae . A , . A+ . op A+ , ab ba A+ . , ( ^ op ) A+ A+ . (a b) · x = a · x · b . , - ,


248

. .

. , . . X A-mod. , , , . X . , A h (X , ?) : A-mod an, A h (?, X) : A-mod an A, , ^ : ? A X : mod-A an. an ­ ­ . ­ ­ , . , : Y A h (X , Y ) (X , Y ) . , A h (X , Y ) , X Y , X Y . , , , . , . Y A h (Y , X) (Y , X) , , . , , A = X = C. . . Y ^ ^ Y A X := Y X / l . h. {x · a y - x a · y }.

l . h. ­ . ­ , . , , , . , , . ? , . , X , , , , , . -




249

, . , «», «», «», - , . , , , , , , , . . . ( ) dn - . . . Yn Yn+1 . . . , dn , n Z, ­ ­ . , ­ . ­ -. : , , s . . . Yn n Yn + 1 . . . , , , , . . sn , ds + sd = 1, 1 ­ ­ . . , . . , . , , Ker dn = Im dn+1 . , , . . . . , . , . , , , . .


250

. .

1. . , X , X . , . , , . , . . , , ( ) , , . ( ) , . , ­ ­ ­ ; ­ . 2. , , . , ^ . A+ E , E ­ . ­ : , A+ . . 3. , , . , : «, , .» . ­ . ­ ( , , ) ­ . ( , ­ ) . . , . . , , ­ . ­ :


=



=

I

=




251

=

=

, = , = = = = .

? , ­ ­ , . , , L1 (G) , . , , ­ ­ . , , () . , , . A ­ ­ e , a A ae a. , ; , . , : , n , . ­ ­ 1 (G) . L , . . . I A , , . . in: I A an ( ) . , , in : A I , . . . . : c0 l . , . 6 (, ) . A ­ ­ , I A ­ . , A ­ . X := A/I . ,


252

. .

«I A », . . . X ­ ­ , I . , . . ­ ­ . , , , . , ? . A ­ C -. , ­ , . . . , H = A+ /I , I ­ . ­ , C - . , . , , n (A, (H)) = 0 n > 0. , 1957 ­ , ­ : ( , ) C . . , ­ . , ­ 1 (A, (H)) = 0 , () . « »: , n. . 6 , , . ( ) A+ . , ­ ­ ­ . A+ ­ , , . , , ­ ­ , Ae . , A+ = Ae /I , I ­ . ­ ^ + : A+ A+ A+ ,

þ

þ




253

a b ab . . . A , . , , ­ â . ­ ( ) , , . . (s , s) 0 s . , , . . ? ­ C ; , ­ . , A , «» : A+ = A. A = C () . ^ ­ C () C () . , , , C ( â ) ; ­ ^ . C () C () . . . . , , , . , , , , , . , A+ = A . 3. , , . , , , ­ ­ . , . . . . , , . . ­ , , ­ . , .


254

. .

7 (­ ) . ­ A : 1) A ; 2) A ; 3) A+ A-mod-A ; ^ 4) + : A (A+ A+) = Bil (A+) , + + , (. . , + = 1) . . . , ? , , ­ . ­ , . , , . 7 ­ . , ­ , . , A , A ( ) , A+ A-mod-A ( ) , , + ( ) . , , . , , . ­ ( ­ ) , . . ­ . , , ­ A . I A, - . ? I , . . . . , , . . L1 (G) , G ­ . ­ 1956 ( ) , L1 (G) , , : I 2 = I . : ( ) ( ) . , . -




255

, I . X = A/I . , , : . , , . , . , - , , . , . ? . , . 6, , , ( ) , - . ­ , ­ . M (G) ? 8. G ­ ­ . ( ) N G , : I = {µ : |µ| (xN) = 0, x G } M (G) I 2 = I . , , , M (G) . , G ( , ) , N : N = {e }. I = Mc (G) ­ . ­ . - , . *) . , 8. . , I 2 = I , : Mc (G) C, : = 0 (µ ) = 0, . . , . Mc (G) , . , . ( ) , G , K G () , :
*) ( 2000) .


256

. .

- - 1) x1 x2 1 x3 x4 1 = e K . , |sK tK | 3 s = t , . . - ; 2) µ > 0, K , . . - . K , (µ) = µ (K ) . , , 1 , µ (K ) ­ , ­ . .

16 2000 .


. Z

1. - SL2 (Z) ­ Z. ­ b Z G = SL2 (Z) , a d , a, b , c c , d Z det = ad - bc = 1. G
10 11 11 01



. ,
1t 01 ab cd

= a + tc b + td , c d

10 s1

ab cd

= saa c sb b d . + +
ab cd

, 1 0 . 01



01 G A = -1 1 01 B = -1 0 . ­ . ­ 0 A3 = -1 -1 = B 2 , 0

A3 = B 2 B 4 = 1. , G A B A3 = B 2 B 4 = 1. G
az + b b . . X = a d , X (z) = c cz + d - : « . , , ». ­ . .

H2 = {z C : Im z > 0}


258

.

, , . : , . . 1. G = SL2 (Z) . m N. - Nm b a d G , a d 1 c (mod m) b c 0 (mod m) . Nm G . : Nm G . -1- 1 0 1 1 G /Nm SL2 (Z/mZ) . 2 2 e e m = p11 . . . pt t ­ , ­
. 1. SL2 (Z)
e e G /Nm SL2 (Z/ p11 Z) â . . . â SL2 (Z/ pt t Z) . =

­ . ­ SL2 (Z/ p e Z) . SL2 (Z/ p e Z) H1 H2 . . . Hn = {1}, SL2 (Z/ p e Z) /H1 SL2 (F p) = Hi /H
i +1

Cp â Cp â Cp, =

C p ­ p . ­ - . N G |G /N | < , . . N ­ G ­ . , m N, Nm N ? 1. G = SL2 (Z) - . . A G /U , U G . , . , ­ (. [2]) ­ H H = H0 H1 H2 . . . Hn = {1}, Hi /Hi +1 ­ ( ) . ­ . U -. , G U {1}


Z

259

, G /U An ­ . An ­ = ­ ­ . U -, PSL2 (F p) An . = . . 2. r 2 U G , Fr r . , , , K V U , U /V K . = 2. - SL2 (Z) , n 3 G = SLn (Z) , n 3. - . 3. N G m N, Nm N . . Qm = NClG (I + me12) , I ­ , . . ­
0 .. e12 = 0. . . . . .. . . . .0 . . 0 0 ... 0 0 1 ... 0

NClG ­ () ­ G . , , , . , Qm Nm . 1. N G m N, Qm N . , N G , t , t m = t Qm N . 0 1 . . . 0 = 0 1 . . . 0 N . ............ ............
0 0 ... 1 0 0 ... 1 1 1 ... 0 1 t ... 0

I + me12 =



1 0 .. 0

m 1 .... 0

. . .. .

. . . .

. . . .

0 0 ... 1



.


260

.

, Nm = Qm , . . Nm /Qm = 1. 2. X Nm . X Qm . (. [1]) . . ­ . , ­ , Qm , . ( n = 2 ) . , . km. , ( H = (hi j)) h21 = km, hi 1 = 0 ( i > 2) . , , (h11 , k) = 1. c , (ch11 + k, h32) = 1 ( ?) . H I + cme21 . L, H Qm , l32 = h32 , l21 = (ch11 + k) m. d d , (I + de12) (I + d e23) L (I - de12) (I - d e23) . 3. Nm /Qm G /Qm . . X Nm , SLn (Z) I + ei j , , X I + ei j Qm i = j . i , j > 2, . i = 1, 2, j > 2 ( ) , Qm . I + e12 I + e21 . I + ei j . , I + e12 = (I - e13) (I - e32) (I + e13) (I + e32) . X , X Nm , c , d , c , d ad - bc = 1, ad - - bc = 1. , t , c = c + ta, d = d - tb , . . X X (mod Qm) . X = .c. . d. . ...... . .0 . .
0 0 ... 1 a b ... 0 a b ... 0 0 0 ... 1

X = .c. . d. . ...... . .0, . .


a b ... 0

0 0 ... 1

X = .c. . d. . ...... . .0. . .
0 0 ... 1

a b ... 0



. X = c. . .d. . . .. .. . . .0. .. .




Z

261

, Nm /Qm , X
1 tm .... 0 0 1 ... 0 . . .. . . . . . . . . . 0 0 ... 1 X = . . . .. . .. .. .. . .0. . 0 0 ... 1 a b ... 0

, a b , b (mod a) a (mod b) . : 4. X , X Nm ,
X = . . . .. . .. .. .. . .0 . 0 0 ... 1 a b ... 0







1 0 .. 0

tm 1 ..... 0

. . .. .

. . . .

. . . .

0 0 ... 1



[1] . . 5. X Nm , n
Xn =

XX



X = .. . .. . .. .. .. . .0. . .
0 0 ... 1 . . . . 0 0 ... 1

a b ... 0

a .. 0

bb ...... 0

. . .. .

. . . .



(mod Qm) .

X = .c. . d. . ...... . .0. . .
0 0 ... 1 bn n+1 n (-1) c dn .................. 0 0 a . . .. . . . . . . . . .

a b ... 0

0 0 ... 1



X n Qm . ­ . ­ 6. X Nm , X = .c. . d. . ...... . .0, . .
0 0 ... 1 a b ... 0

,

b n (mod a) , = ±1. X n Qm .


262 .

.

I + xme12 Qm x , Xn X n (mod Qm) , Q x . , Xn m a 1 (mod m) , a a = 1 + km. x axm + b n = -km ( Z?) . , (I - e21) Xn (I + e21) Qm , . . Q . Xn m X Nm ,

Xn = Xn (I + xme12) =



a axm + b n . c d . .................. 0 0 .

. . . .

. . . .

0 0. ... 1





X = .c. . d. . ...... . .0. . .
0 0 ... 1

a b ... 0

G /Nm ­ , X X (mod Qm) . ­ , a a {a + tb }, t Z. n n , b n (mod a) , b n (mod a) , , = ±1. , 6, X n Qm , X n Qm , ,n) , X (n Qm ( ) . ­ ­ a a , (n , n) = 1. p = a + tb ( ) . n ­ , b n 1 (mod p) . , ­ , n | p - 1 = 2l q1 l1 q2 l2 . . .qi li . r r , r - p (mod bq1 q2 . . .qi) , r -1 (mod bq1 q2 . . .qi) ( , ) . a : a = rr . , r r , a p (mod b) , , a , p , {a + tb }. n ­ , ­ n 1 (mod a) . n | (r - 1, r - 1) . b , r - 1 -2 (mod q j) , r - 1 -2 (mod q j) . , n n . n, n , a = p , n = n , X Qm . , n n . b 0 (mod 4) a -1 (mod 4) . p = a + tb , p -1 (mod 4) . 2 | n, b n/2 -1 (mod p) . , b n/2

X = (I - te21) X (I + te21) =



a + tb c ........ 0

b d .... 0

. . .. .

. . . .

. . . .

0 0 ... 1



.


Z

263

-2 (mo n = n/2. (a, b) = 1.

d 4) , . . n/2 . a = p , b 0 (mod 4) a -1 (mod 4) . a 1 (mod 4) , - p = a + tb . p -1 (mod 4) , .

[1] J. M e n n i c k e. Finite factor groups of the unimodular group / Ann. Math. ­ / ­ 1965. ­ V. 81, 1. ­ P. 31­ 37. ­ ­ ­ [2] . . . ­ .: , 1962. ­

12 1999 .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ­ ­ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ­ ­ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ­ , ­ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ­ . . . . . . . . . . . . . . . ­ . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 22 59 66 78 91 109 124 134

147 161 202 222 238 257