Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.mccme.ru/free-books/matpros/pdf/mp-01.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Tue Aug 12 16:18:36 2008 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sun Apr 10 12:29:51 2016 Êîäèðîâêà: Ïîèñêîâûå ñëîâà: m 63

ed cb Hb a `Y XS WV UT S

RQ HP AI HG FE DC B A5 4@ 9' 8) 76 25 43 21 0) (' & ¥¤ ¥§ $% ¤ $# "¤ ! ¥ ¤ ¤ ©¨ ¥§ ¸¢ ¡ ¦ ¥¤ ¸¢ ¡


¸¢ 0Ø ¡ 0Ò GÂ Ó åp fÓ Ò p EÆ Ñ 6) i 45 (1 w7 6U Ù 4U X1 Ef 67 3 Ú 6` 6F 23 0) EP d7 Gs E1 ãH «D AD Ry e 6Y E3 (I «H 6) i 43 X1 2f f) ps (3 & i f) ps E3 7 i 07 E' (7 G5 iD 6` GF «D dD X7 Ef 67 i 23 i) EU ' 23 ) i× 4U d1 ws ts 67 Ù i) 65 6F 63 EU (7 4T 9D 07 E' 67 63 23 f) gs G5 (D 6& !Ù ¨Y 8

f@ Ý' 0Ø EÑ «Ñ #Ó Ç ÕB Aa AQ gÛ a

0· 4¾ 0º ¸ 0º 4Þ R½ ± ô ± dñ ô (¯ 0¶ dñ ± ¨ 0º «ü 2¯ 2Ä 0à ¤µ ¤µ G¸ ¯ 0± «Ä ÉÈ 2² 0· E· 6ñ · dñ «± ¶ ãà 4¾ 0º ½ t¸ 0± ´ G° ãà 0º Eè tµ ´ å° wº !º 0º 0ô 0ô ¸ 4¯ tµ å½ ãõ E¾ (¯ C¹

w· G¸ å½ Eí EÃ Õ· 2î 0¯ ¨ 2î 2º 2º 2¯

t½ º 0º G° E· 0· Ź 0¯ 0· 2¯ ãà ãà

ãà w¯ !à 9Ê 2ë µ E² ± ± 4¾ 4¾ 0º

0ô 0º ¹ 6ð E´ w¹ 4â 0· (º º E· E· ¸

E· 0· w´ 0· t¾ t½ tµ ¶ ¶ ã´ ¸ ¤µ ¤µ

¤µ å½ 0º t¸ å½ f̺ E· ¸ !· G° ¯ Eþ ¯ ¸ ¤µ ¯ ¾ 0¶ å½ 0º ¸ å½ 0º ¸

¸ ¤µ 2º b´ å½ 0º Eí G° 0· å± ¯ » tñ w² å½ ¯ » µ µ äö

½ 0¯ ¸ ¯ Eâ 2¯ ´ 0¯ º 2¯ dö 0ð á

¼¾ Eþ ¸ S½ ò Þ 0º ± Eþ 4¾ tµ ¶ tµ

¢@ a A@ 8 EP S@ ¦@ S@ x EP E7 H ¢@ a A@ u d1 ts A@ % $@

w7 6U S@ ¨1 % (I ¤) rq 63

©

Ü p «Ð Ó p «Æ dÓ 0Ñ EÒ 2Ò rÑ p ÀÐ ß fÏ åÎ Í 0¶ ´ 2¯ ±

2¯

¸ ¨ 2ë E·

Eí ì°

· 4þ ì° 0º 0¯

(¯ 0¶

¾ w² 0´ tµ w· t¸ å½ ´ 2¯ E· Õï Eí å± 2ë 0¯ ´ Eï S± ãô å¾ S· 0à ¶ S¾ Eµ · G° 0µ A¹ (º 4¾ E· ãà 0º G¸ ¤µ 0º ½ G° 0· µ 0µ 9¾ !º «õ ¦° å° ¶ !¾ 6ò 2¯ º 0· ¹ t¸ 0· ¶ 0º 0¯ dà (º tµ 0¯ 0º · 0² ¶ ¤µ 0¯ dñ 0ñ G¸ Eí ¹ 2º 0¯ 0à

4þ

X¸ þ

4ë ¶ 2» 2ô ± 0¯ · ¸ 2ï þ (¯ ¹

ìî 2ë 0µ ¨ w² 0ô 2º 0ô wº 0à 0·

¾ X¯ ¾ º å½ 2¯ ¸ Eï #¹ E· ½ 0¯ 0±

¸

tµ dò dà ¶ t¸ þ º Eþ 0º 0ô å½ ¸ ¾ · ½ å½ 0º úò ù åý

¸ d® 0º G° ãà 4¾ ¤µ ¸ d𠤵 ÷ b± ¶ 2¯

0¶ î 0² · (¯ 0º 0µ ý ¯ þ ¿¾

0¶ E· ¤µ ì° 2º ¸ 6æ » ¯ µ

4â ¸ 2¸ EÁ ¼¹ ¸ ¤µ Ö½ ´ 4ë ñ 0´ 0· 0·

0ò tµ 2¯ tµ 9¶ ¶ 0µ t¸ 0² 2¯ à ± ° 2» 0¨ 0à 2ë Eþ 2¯ 2¯ 4â !· º û «ÿ ¯ ´ g· å½ 0à tµ äö á ø ¶ 0º ¶

0à 0· 0± ¶ ãâ 0̺ 0í 0· Àô 0º 9± 0í 0ï 0¶ à ò 2º 0· Gô Eµ 0º ¸ ¤µ !½ w² å½ º G° 0· ± Eí G° Ö¶ t½ 0· 0· ¶ ö hç g¹ 2î 0· º ¾ ¨

þ S¾ º ¾ ± (¯ º ´ 0· à 0· 0± Gµ pâ tµ 0à (¯ 0¶ !à Xõ $¾ ¨ $ö tµ 0à 0¯

à մ ¶ 0¯ (¯ 2¶ (¯ 0¶ ¶ 2¯ dñ 2î 0· ± p¹ 6ñ gÄ î 2Á 2ï ë ¯ ´ ¯ E· G° ¼± tµ

4î ¸ G¸ ô ¸ pï !Ä þ 0· µ (¯ «Ã 0à ë º ¼¾ 0¯ ä´ ü Eâ

Eí 0º ¼¾ 6ñ !· g¾ «± E¶ 0· «° r° A± 4ë 2þ 0ï ¶

0µ bà ¨ ì° 0¯ 0¯ 2î E· 0¯ 0à ð g¹ î

¸ ¯ ¯ ¾ º tµ ½ ´ dñ ¸ 0· 0· 0· wº ½ 0¯

S´ 0¯ 0¨ 0º ¸ «± 0± «± ± ´ 0· ± å½ 0ÿ à À¹ 0· 0± ò 0ö tµ ± ¼± ¯

w· à ° «´ t¸ ë ¶ ¸ º E² 2¯ ñ Eí ì° »

X½ dñ ã· 2¾ Eµ 0· ¦´ ¯ Eþ ¤µ tµ þ 6æ 0º ¯ 0´

å½ «º b¸ ¹ ¾ 0· ¯ ¾ 0· 0± 0º t¸ ² «¶ 0º ¢¹

µ 0² 0¶ ¶ ± ãà 0º » 2¶ ¸ Gô E´ µ 2´

· «± ± p¹ º 0º 0· ¯ î «° g½ ìî tó ë t¸ «±

«» µ ì° tñ «´ 0ô 4¾ 2¯ 0ï 0¾ 6ò (º 0¶ tµ

E¶ 2¯ 0º 0¯ 0· ¸ ¸ 0ô 2ë 0¯ 0¯ ¸ «º ¶ º ê¹ 0· «¶

¸ Gµ (ë ± t¸ 0· t¸ ± 0± E¾ ë ¤µ 2· G¸ ¹ !µ µ «» 0¾ ñ é åè µ

2â 6ñ wº ½ «ô tµ 2º 2ë 2¯ þ (º 0¶ å½ 0º ¸ 2ë 0¯ wº b½ 6ñ 0· 0Þ ¶ 0µ G° 0º 0· 0º 0· ´ ¨

¤µ wº · E· 2ë 2¹ !º ± !º 0²

½ µ E¾ (¯ à (º b¶ Eí jâ G¸ 2º 4ï ¸ ¤¾ tñ ´ î 2¸ ¯ Ë ´ ¯ ì° 2º ½ 0º · Ô½ «ü 0¯ 0± 0· 0· ¶ ¸ ¤µ å½ 0º ¯ ¢¾ E¸ ë (º X¶ ® ± ãõ º ã´ E¾ ãõ º ã´ E¾ E± G° X¯ ® w ¡ t 6 E i} d{ dy (z ¤q po

¹ ¯ ² (º E¶ ¸ 0à 0· 4â tµ 0ï 2¶ ë Gï tµ ¸ t¾ ¤µ ½ 2ë 4ï 0¶ (¯ 0¶ ¹

0 ¦ p¬ «¢ (ª ¤ª ¢ i ( 6 d 2 p f 2 f~ i} ( ( 6} f~ i t 0 t 6 E d t (x ix by ¤{ (x Gx C 0{ ! 2 i ( ( i~ 0 f 2 f~ i 0 R C w tv C) ) ¨F dF i& Ak ¨7 E1 C) CH XF x 2p fp 9V 6' 4U Ef 63 H 61 4` (1 6T 07 fe EF 2P 23 41 (D 63 A@ 8 S@ A@ % S@ x 6` u @ A@ u @ R (7 c S@ h ¨@ 8 A@ % S@ RQ $ #" !¡ ! § ¤ y 65 1 iD 63 dD Q 2e 65 1 0 (I gc 4U 21 4` (I ED (7 6F G5 S@ 43 4P E1 ¥ 43 GF EP 27 W fe (H GF ¦ j@ i u S@ X7 S@ Q S@ Q EP y dH c 8 @ © ¨§ ¦¥ ¤¸ ¢¡ S@ @ 67 S@ B A@ y 63 x S@ Q 98

E© 6¨ 6 4| { f tv #u

f§ f¦ 0¥ 0¤ p¸ E 6} 0 d f~ 6} R| ts wr fm EF !' E1 EI 6) EP ¢@ ba !` 65 43 6Y 2U EP E7 iD E3 EU (Y 0) ('

¢ t po jn

! ~ z ix 2y x wn ¦m l

63 R 4P fF i 23 4 S@ 9x w7 (7 21

h) g H ¨7 u 7 07 X' v 2H XW 8 !& %


tò ´ ¯ å° tµ 0· ¶ ãü 0º ¸ ¤µ f½ tñ ´ 0¯ G¸ º ´ ¯ d¾ 6ñ 0¨ 0· ± º 4Þ ¯ «° ë (º 0¶ f¹ tñ Eí ì° 0º ¸ 0µ t¸ 0· dô «ñ ¾ dµ 2 2¸ j¯ å½ 2º ë Þ ² 6ö 6ò 0· à 0Þ ¶ 2º 0ë 2ë 0¯ 9¹ ¨ 2¯ ãà ¾ Eí ì° 0º ¸ 4ü 0µ t¸ 0· 9ô ¨ 0¯ ± 0´ E· t¸ «à µ ãâ 2º Sþ 0¯ ± 4Þ w¯ G½ «â ¯ ´ 0º f± ñ !º dÄ ² ´ ± º 4Þ ¯ ú° Eâ · ¯ » (¯ ¶ 0¯ 2¸ 2¯ à ì° º X¾ w² ½ Gµ fâ ñ 0º 0· «± Eµ 4ë â I ¥ $ ¤q ¤o ¦ v ¡ ¤m " pn ¸ q ¼s to v ¡ o © tr i © 6v n 2ë Eµ ¤µ å½ µ å¾ ¸ ¨ï 2ë 0º ¾ E¾ ¯ Gº (¯ ¶ S± 0µ S¾ #½ tñ 2¯ 0· 0¶ 0· «ÿ ãñ

"5 2ë 0à 0· ãà 4¾ 0º · ê¹ ¢é tµ G°

Gô Eµ b¾ ¯ å° 4à 0º 4î 0¯ ¶ 2º !ñ 0· ± RTtµ«à 0

«Þ

0·

tµ

0¯ ¹ 2ô ï

6ñ E½ 2î 0· Eµ ¸ µ `h `V Fg g fc yg RV

2ë

¯ b¾ ¯ Eâ ¦· ¨ iVå± «â)d 0¯w RY ¹ V WV UT 3S ¤ E 4î ²

tµ 0´ E¸ Eï 0± · ¾ º Þ «Þ E¶ å° ½ ¨ ¸ ½ 0à 2¯ ¾ µ 0¯ ¹ ã´ $¹ ãà ½ RT V( «¶ RQ xa ½ Y r° ± 0² 0¶ ë î ± 0¾ å¾ 0µ 4à 2º þ 0· ô ¡Ê á 0· ÿ 0º ô 0¶ ¹ äû á º ¾ 0· ± 0º ¹ Eâ · ± 0¯ ± ãà ¾ ± ¯ E· ¸ 0¶ ¹ 0º ±

2· ¯ » Xº (¯ 9¹ E· ± «ü ¨¾ 6ò 0à 4¯ 2¯ ¸

¾

å½ g° 0µ ¯ ¯ t½ ´ 2¯ º vd $u 0ï ½ G½ ¾ G° (ë Gµ ¾ ½ 2¯

0² ± 4¯ â ã· ¾ E½ î åï â

$±

2¯ «à 0µ ¸ 0¨ E· E¸ (¯ 0· ± !º ãÄ (º g¶ 0¯ 0¨ 0¨ 0· 0ÿ ± (º ¶ Xº i( 0º S¹ !´ º 0Þ «à 0µ 0º ¸ ¤µ R½ 2î 0· «± Eµ 0¾ G¸ «º µ «» 0µ G° 0¯ (º t½ E· G¸ Ê S¾ î ì° 0µ ë tº $& ãò åè iV q b Gc )dGc sr RT iVqe `h@p Fg Rc fc ba `Y Fg 3e RT 2Á 2· 2ë ² 0¨ 4ë E· 0º ½ ï 0ô tµ 2ï Þ ¸ 2ë 0¶ wº ½ ² A± ãò ìî ¤¾ t½ 2¯ 0± j± 0· 0à !º dà ¸ 2¯ E· ¤µ ½ (ë !· å½ 0· ë 2¶ «° 2ë 0´ C´ ¯ ¤µ à ú° Eµ wï Gº Eà 0º î 0· ãõ º å½ Eí 4â ¨ 2± ½ 2º ¸ X± 0ï 0± ¶ ã´ ´ ¸ G° 0¯ ¶ 0¯ dï ¯ tµ 4¾ º 0¯ ¹ 2¯ E¾ (¯ 0± Eè 0¯ ¹ ¤µ A¸ G(2± tè 0· ± ÖÞ ô þ h¾ 0¶

2ë ¯ ¶ Eþ )( E¸ 2î FH ¶ dà 0´ ´ «± 0º º Gº 2º î 2¯ ¯ µ 0· 4¾ ¸ ¤µ ¶ G¸ tµ 0± ¤» ï ÿ tµ þ ± E· 0º å½ 0º

0ò Eµ Gô Eµ ± Eí 0ô 0· 0à E· «± äö á 3e @ $á c dà ² ¯ 0¶ 0¯ ¹ 0· 0² ± 0· 0ô Eâ E· µ ´ ± å½ 0º Õ¾ ¨ 2ë tµ

2ë (¯ ¶ ¯ » Gµ â 0Á G° 2¯ !à ¦Ä » ¯ «» Eµ ë 0à E· ¸ ¤µ å½ 2þ 0ï ¹ ìî 4ë Eâ · w· §2î 0· @p 0ÿRc ba«à `Y Eµ Fg f· Eè t ip `h qg 9´ · ¯ ° ãà 0º 0ô åà â 0² 0± ¸ å½ 0º Eí t¸ ± ¨ ¾ tµ ¶ (º ¸ 0² Eï ¸ E¾ S½ ¨ 0¯ 0· ± 2¯ 0¨ w· E· å° 0¯ å° åµ 4þ 0± ¤µ ¯ ´ 4¾ 0· X½ ¤µ 0µ ¸ (º E¶ 2¹ 0¯ ± åè 0º

2î 0· Õ¹ ± 2¯ ¸ µ «´ 2¹ ë `Y 0º Fg ¸ Gcá 0· «± ¯ 0º ± ë 0µ ° dà 0· à wô E½ ² 0² ² Eþ S· å½ ¦¹ 2º

0¶ 0· Sà tµ 2ë 0¶ t¸ RT iV Eï Eµ » 0¯ ¡µ wº 0à ´ ´ 0¯ 2ï dö ± 0º ¨¯ ¨ 2º î 2¯

¹ «± dà fñ 0¯ ɹ iV 0· `h ãàFgEâ 0± é ½ 0· 0¯ 2¸ 0ë ãò 0ô 4à 0¯ G° ãà 4¾

¶ ½ dà µ ´ ´ 0² 2ô tµ 4à 0µ 2¯ ¹ (º dñ 0· !µ `h $ô Fg t¸ fct¾ 0¨ 0»ãà Rc 0¯ 2· 0ÿ 2ë 4î ¾ 0¯ S¯ · 2» S¹ E¸ 0· » 0µ 0± ± tµ ÿ · ± 2î å· C¹ ¯ 0¯ Eï 0· å° Eí «´ 0µ 0º ± Gï !à S¹ «± 1T w· ° @d 0· tò 0ÿ 2· ã´ ¨ Eí 0¯ 2î ± ¶ 2¶ 0· E¾ ë ¸

wº 0¯ 0± G° 0¶ 2î GcEí 1eEÃE· 0· 0· â · 2ë E± 0à «± tµ tµ å° ¸ 0ô E·

0· E¶ SÊ 0· ¸ 0à C¹ Eí !à 0¯ 0¯ ² ¾

tµ ÿ

º G° 2¯ X¸ Eí ¸ ¯ 0¯ E· ú° G° 2¯ t¸ 2· ¯ 0¶ ¹ E¾ t¯ t÷ 0µ ã· d¾ ¶ ° ¦à «± Eâ E· å° 2º ± åµ ¶ Xõ «Á » 2¯ E· ¤µ ¢½ 0º ¸ 2² 0º x ìî ©d0¾ © tµ å° RÞ ãõ0¨ ´ 4¾ Xõ «Á ìè ¸ 0¯ E¾ ¸ 0± 0¯ S¹ ¯ 0¯ 2¯ 0º ì° 0¶ ± 0· Gï «Þ · 2î «¹ Eí A´ E´ 2¸ 0ÿ 0· 4â ¶ ã¹ 0¯ ± tµ 0º µ ¤µ ìî ô !· ¹ å´ 2¯ 0º ± 2î E² 0· 0Á 2¯ 0à 4¾ ¸ Gº bá 4â G¸ tµ 0¾ X¶ $¾ G° S¹ tµ $½ ± å´ 0º 4à µ (º ¸ 2ë #± tµ 0± 2¶ à 0º wº tµ 0· ¸ ¸ 0¯ ¸ Gº E¶ þ ¼¾ !´ · X¸ ² 0º 0¶ Eà ¸ (º 2î 2¶ 4ë 0¯ 0µ 0ï ¹ 0ï PI E·tµ G° ãï ¦á 0¹ ± ½ º ¸ Xõ 0· ¶ ¦¹ !º ãñ ¸ 2¸ «° 2¸ 2à ¼± 0¶ à ¦¯ 0· EÞ 0² FE â ± «´ º g¾ G° 0± 6ò 4î ¾

G° 2¹

0² 0± (º ¶ ¯ A± Ä · 2± fò qg ½ WV «± ba 4¾ 0ô Eí 2ë 0ï E¸ ¸ ¸ 0¯ ± 2¯ ¯ ï 0º (º Ź 0· 0Þ Eà Rd 2¯ `Y fµ RX 0º t¸ tµ å¶ Eí t¾ 0µ ¨ 0¯ G° CÞ ã¹ 0¶ ¤µ å½ 0º

E· ¸ ¤µ «± tµ E¶ !¸ 0µ î tµ 2î ã± E¾ Xô 2î ¾ 0· ± Eí å° Eí X¸ Ä 0± ô dà 0² ± 2ï ë ² ¸ µ äö

¨á Eí å½ 0º Gà ¯ (¸ ¶ à (¯ (¯ 0¶ E· t¸ 0· 0± 0· ¨þ E± E¸ Eþ ¯ Eí å° Þ wº dö ò bá ´

0þ » 2ë dà 0¯ ãà 0µ G¸ ìî å´ ½ 0¾ î SÄ ìî tµ þ ¦¾ EÞ 0¯ å° ÿ 0¯ 0· 0ÿ 0·

«· tµ 0± Gà 0² Eí 0º ¾ 2º 3 0º tµ dà 0º ± 0¯ G¸ ´ 0· 2¯ 0· ã¹ ¾ º 2· 0± ¶

S± 0ô (¯ úò 0± å° 0ô 2ë !· ± 0² ô Eí 0± º Ã · !ë Eí ¶ â 2ë tµ 2¯

0² ¹ 4â tµ fñ 0· G¸ ´ (¯ ¤µ å½ ¯ ´ Eè ± 0± Eµ t· ô î «° 2Á t¸ 0· ½ gà ± º tµ tµ ô ° 0¾ E¸ G¸ ¡Ê þ ¤µ Eí #¸ !º åï

A¯ ɶ ã· å¾ t¸ å· !· 0º ¶ 0· ï Eâ ¸ ¶ 0ô 6ò ½ «´ EÁ 0¾ 0¯ 0µ 2Á ¸ 2Á 0ï 0·

!µ & !à º tµ !µ 0· º RX¯ 0· yV ¯ Eà C¯ tµ X½ tµ ìî 0· 0± 2¯ 2¶ ¨ ã´ 0µ r° ¨

(¯ ¸ t¸

tµ E¶ ¼Ä ¨ º ¾ 0· 2± 0· ÿ 0º tµ 0º ¸ 0· 0± E¾ (¯ ãà d¾ Rd )V dò t¾ 0· 6ñ 0· ¸ w· 0± ± dà G¸ «º C¹ 0¶ A¹ 0¯ «° 0ï 2¶ «à ¼¾ Eï ¯ ´

2¸ Eà ´ ¦ï ã¹ 2¸ 0µ ¶ 0¶ wtµ¯ ô ã· Eí E½ º ² µ º ± ¹ Eï tµ G¸ 0¯ ±

¸ E´ ´ «» «Þ ¨ Eí 0¯ Aà »

¯ ìî E± G¸ 0¯ ¨¹ · (´ i¯ tñ g¾ þ ¯ p0ÿ RpÞ ¨ `V2º 2º 0¯ E¾ t¯ 4¾ pº î ¸ ¸ 4¾ 0¯ ú± 0µ Eµ 0¯ 0± ì° 0º w¹ tµ ¶ ¯ Ê Eí 2î

¤¾ º ¾ 4à tñ ´ w¯ » qg 2þ !´ 8&w± t÷ 0µ !º fñ 0¯ ñ ¨· ¸ dñ 0º º t¸ 0· 0ÿ

Gµ ¶ ´ 2î E· ¯ õ S¾ ¸ (º ì° Eí â ¸ E· ¨° · EÞ «à

«º dà 0ô » tµ w· î 4¾ Ä «ü @p ¶ (¯ Eâ Eþ ãï 0µ ë EÁ à 4î 0µ C´ Eµ ãò 0è

½ ¸ 0º ã¹ E· 0· 0¾ å° ¶ ë 0² 0ô 2¶ «ü ì°

w² ´ Eà ãü (º 2î w· ãü 0º åè Eü t¸ 4ü tµ úü 4¾ Eü ¯ ãü (º wï Eí å½ ãü 0º Eü 0· ìî º $· Eü 2º dà ãü 0º Eü Eí Eü 0· 4ü ¤µ

«¶ 0² ¨ ɺ t¸ ¾ ë 0· ¤µ X¯ 0º ¤µ Rc2¯ ba d¶ ¤â » 0· ´ å° 0¯ ± 0µ «° X¶ 0º G° 4¾ Eþ G¸ t¾ ¨ 4¾ 2º ë G° ë tº t¸ æ ¶ ô 4ë 2¯ å° tµ 0µ 0· Eþ 2º » tµ

2¶ ï SÞ ´ 2¯ 2ë ¯ » dà E² E¸ ìî 4¾ 2º (ë E· ¸ 4¾ !º Ä 0º 0ÿ ± 2¯ à ¼´ ½ 0¯ 0± «± µ ´ 4¯ Eâ 0· «± µ 0» ¶ ¯ Eþ (¯ D5 ÷ tò » » 0æ )C åý dæ BA @9 ù åý 0± ± 2º ¯ ´ 2¯ ë 87 0· 0· ¶ º ¾ º 2´ ë Cé åè 0º 0· ± !º ãõ º ã´ E¾ (¯ 0¶ C¹ 2º 2¯ ãà 4¾ 0º 0ô E· ¸ ¤µ å½ 0º ¸ µ äö Õá å½ 0º 0· «± µ å´ 4â tµ ± 2ë 0¯ S¹ t¾ "5 w· X½ 0² ± 0º 2ô gï w· X½ E² t¸ 0· ± wº ½ tµ å± â ìî 4¾ 0º !· «Ä «´ 0µ t¸ 0· 6ô tñ ´ 2¯ 0à 0· ± Eí G° 2¯ !à Ä î «° ¼ë 0· 0· 0ÿ à º ¦° ãí t¾ E· å° ãñ åè 2º 0à E· ¸ ¤µ å½ 0º ¸ ¤µ ½ 0¯ b¹ 0· 0· 0ÿ à º $° º 0² 0± 2¶ î «° 0ï ¹ X¯ ä® já 0· 0· ¶ º ¤¾ 0ð Eµ 2ë 0¯ 0· ¶ 0º ¹ ¯ » 2¯ ãà 0¾ G¸ º ´ ¯ ¾ à 2î Eí ì° 0º ¸ tµ ô wº ½ Gµ Câ «¯ 65 w² å½ º G° Eþ (¯ 0¶ d¹ 0º 0· ãà 4¾ 0º 0ô · » ¯ «» Eµ ë 0º C¹ ãí t¾ E· å° Eµ ë 2Þ ãï E¾ Eþ ¯ 2º ë 4» ãñ åè 0º 0· «± µ ´ 4¯ 4â tµ ¶ ¸ ¤µ å½ 0º ¸ µ äö bá ¨· tè 0· 0à E· ¸ ¤µ å½ 0º ¸ ¤µ 9½ ¨ 0¯ 0± «¶ 0µ t¸ ± wº å½ º ú° Ê R· 0· 0à å· Eâ É· 4( ¨ 0¯ E± X¸ 0² ¹ ¯ 0à 0· E± ¸ 4¾ #º 32 Rá Þ å¯ 0ñ µ ´ º Eí ° ã· ¾ dµ )2 ¨ò )2 !ò 10 tµ ¶ ¯ å¾ 4¾ Xº )( (¯ 0¶ !¹ 2î 0· ± !º ãõ º ã´ E¾ (¯ 0¶ ¨¹ ¯ » 2¯ ãà 4¾ 0º 0ô E· ¸ ¤µ å½ 0º ¸ ¤µ ½ î ì° 0º E¸ úî ¸ tµ ô wº ½ Gµ â ¨ 0º 0· 0ÿ «à Eµ ë (º $¶ 2ë 0¯ t¹ åè 2º 0à E· ¸ ¤µ å½ 0º ¸ ¤µ A½ S´ · 2º (ë · º ² ´ X¯ äç á 4à tµ 0à 0· 0± ¶ 2¯ þ S¾ 0· ã· å¾ E¾ t¯ '& EÁ G° ¯ ´ (º ¶ 2¯ ë !´ Eà !· «Ä 0´ 2· 2ë ¯ dà ² ´ ¯ å½ 0º 2± iî ½ 0¯ t¹ ø ò 0Á 0· ¶ 0¯ ¸ t¾ ¼· 2Á Eï ¸ µ » 2¯ þ Õ· Á 0Á ± «´ Eµ ë G¸ Gº wº ¸ ¤µ $½ 0¯ Õ¹ 0² 2¶ Eï ¸ tµ ¶ 0º t¸ E· !° ¨ 0¯ 0± 2¶ î «° 0ï ¹ 0¯ ä¹ «ü 0¯ 0± 2ô Gï tµ S± · ¨ 0¯ 0± 2¶ î «° 0ï ¹ 0¯ ¹ 2î 0· «± Eµ 4ë Eâ · 2î 0· 0ÿ 2· 2ë $# to v ¡ o "! o ¥ q ¸ tn o ¸ is ¤q ¤o ¦ pv ¦ r wo ¦ r ¦¥ ¸ ts v ¡ n ¸ § q tv 6v 6n po q ©¨ §¸ ¦¥ ¤¸ ¢¡

0µ ± E E· ´ ¶ 0º ® ãõ wº 0ô E· 0à «± `Y Fg 0º H «± tµ 9· 0¯ ¸ ® ¸ 0µ 2¯ ¯ E· 2¯ 2¯ 2ë & «± µ 2î 4Ã tµ ¸ «± ¯ 4Ã !ë ¨ t½ X· 2º p¶ %



¸ E¾ 4þ 0º ¸ t¾ 2º ¸ ½ ¸ Gc±tµ µ ± w· 0± Eí t¸ ãà 0¯ å° tµ ãà Þ (º (¯ C´ 0· 0à tµ Eµ 2º 0µ ¯ 0¯ 0± 0à


@C B æ 6 0G 3U TQ `S y Tw 0a Al 0 3D a 3e TQ nD b y Tw 0a Al 6 HG TF mQ ( !e 0 xe m TQ TQ nD b PG 0I Tu ¢a X Gù æ 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò nG b G W `U 3D a WV 3G S He EF 5 TQ Wa EG ( 0± 2· Ai (' t) 8 6 4 $) !6" 54 3) 32

)C ý Cò ò ò Cò ò ò y w 3c xQ 0b kV 5y TQ WV 5U !e T H me TQ Ra TF Q w 6I nG vb 0e HG F 5e Hc WF U Al 6 HG F 5D 0f 3D V ´ 5e 2¯ Rh à 5G ´ 3e(º WV¶ 0U PH3G Åò !!" 1(' ¨# 0% !) (' ¨# m% 7 ! 6" 54 3) 32 604 (4 $# 5 " Ai x' r ¨) 1% 0g $# x Pf (% 0 T# r' H4 H ¨p (% 1 ( )C ý Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò He Cò ò ò Cò ò Cò ò
X 3e vb 0p G

ý 0 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò Ýò TQ TV S He ¢F s 6f nG b 3G `S 5y sQ T{ r 5h Ae ry ne b A TV TQ a 3e V 3G TV S ´ ó 0 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò ò 0I 3e a 3h Q 0c 3G S e Rc 5G 3e a 3h Q 0c 3G S 0e 3G a 3 TQ Wa xG W HG WF sU 0±

3e !e 0 ë 1('

0a Al 6 HG xe W 5U ! !ò i0 ¨# 0% !)

F nD ¦b ¨ò (' ¨#

3D WS PG P2 G tñ Tw $% nf

f 3e a ´ 2¶ x0 0 nG ¦b ´ 2¶ x0 $# ! 0% r)

¯ G° ¯ ¾ tµ X¶ 0® F Ee 0 nD b W 0· 0à ± (º ¶ !

0I 5D Gº (º 0a Al Gº (º 0 3u H

X (ë X± PD 6I (ë X± e PD

6I

5h `e !ò WF !ò 4 nG vb ¨ò HG Xò TS Q $

W G A 0 D w 6I nG vb 0e HG ~F ù 9 Cò ò ò Cò ò Cò ò ò xw 2æ wv Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò ( ù Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò

ò ò Cò

3e

´
0e 5h W 6

F Xï WF 0U W{ Xï WV xG t¯ 5e Rl v

p· p·

d Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò 0 æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò

$ 3Q

x% x%

´

C Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò

a 5c 3e Wa 5U ~e ry 5D Hc WF U Al 6 HG F 5D 0f 3D V 5e dh 5y TQ WV 0U 3G TS 0Q !e 0 xe A 0 oD w 6I nG vb 0e HG mF X 3e a 5c 3e Wa 5U me 5e Hc WF U Al 6 HG F 5D 0f 3D V 5e xw vb 0p G A 0 D PG 6I nG vb 0e HG mF X 3e a 5c 3e Wa 5U Ee kV 0D 5U Tu Q 5h nD tb e ò Cò ò xw vb 0p G A 0 oD w 6I nG vb 0e HG mF X 3e a 5c 3e Wa 5U me Hc WF U Al 0¨ 0· ãà t¾ ± 0º 㹠ɾ 0ø ¨ò i2 ¨ò i2 3i 5h T) !g 6 # ¨# 0% ) ( !) `' Wt $# ( ( Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò jò 5 xQ ¦b WF PG ( ! !" !( ò TQ 0Q !e 0 xe He ¢F X 3e WV 0U 3G TS Q 5h 3e xQ b xG 5e 5h 0c 0G xU ry 3D S !t !r ò Cò ò Cò ò ò Cò ò ò TQ TQ a 5D 5h gf 0I 5e 5c 3e Ha dc ¦b TF Wa &G `Y !B A@ ¤98 7 ! 6" 54 3) 32 ¦¥ ¦ ¤ ¨© ¨§ ¦¥ ¤¸ ¢¡

Rh 6 HG tñ $ 0I 3 5D !) TX 1('

y xw vb 0í «¶ tµ !à 3e Ta Wa 5G 2¯ 0à E· ° Al 0 nD ¦b 0± 5D 0f 3D V 0¶ w· ½ ¯ $ 1f $# r Q w 0¶ w· ½ ¯ s" R !t y vb 2ë Eí 0¯ $' $) 6" 54 TQ 0U 3G RQ xw G° ! TS 0± !) (' ¨#

X¶
PD 32

F

!

9F }| 5G ´ 0a F (¯ T4 G (¯ ! 5D f s2 WV 0¨ 0· ¨# 0%

ãà t¾ ã· E¾ ɯ E ¨ò tÈ !ò

He Ä Hc à TF 0· ¶ Hh Eà ¨) (% 5h 3D Eà r dq He 0± 3) F &% $#

3e WV 3G 0® Xò RG t® ¨ò W sU 3r !ò TF ò s ¨# 1I ò !! 3e WV 3G x0 !ò r 1) Tq 6I HG !" !

u tç Q 3U tç ç x2 2 TF x& È 1f ! E vb p u 3q zy x ® x2 u 0 q j tö 2 )e AQ u tö 2 s) xI u 2 'i F C

p ò V !ò r # 0e G ¨ò a ¨ò RQ ò ( xw a !ò G !ò i0 F Xò 0U kG ¨ò 0% ¨ò r" a ¨ò Tp ED ¦

0




ù åý 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò u 0I 5e h ´ ¯ G° ¯ å´ Eâ · (¯ X¶ t® ¨ò i2 ó åý 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò «ù v 9æ Cò ò ¦¡ TQ a 5D 5c 5e 0f nD vb 5p `e u 0I 3e WV 0U 3G TS RQ F PD 6I HG F PD RI xe & 0U 0U nG b T a 3e EV X ´ !t !0 1# ( 1 W@ $# Th H T g ! (d C 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò 5D 5h 3D 3Q 1I AQ 0 9e r 3D WV 0U 3G TS RQ F PD
Tw ne 3D 4¯ «â ò 6" 54 6I HG PD
¥¤

©¨

a 5h t¯ x& 3) 32 F 5i Aq $#

vb 0Ë 1(' `I !

´ 0¯ 0± E· t¸ «± 0µ ¸ C¯
¢¡

` C Xò q U Aq # ey #ò r nu
§

u 6I RG ¢ ¨ò 2 0ñ µ ´ !t !0 ò S 5D 5h W@ $# a r EG !ò 6ñ ¶ 4º ¨# (' ¨# % `Q 5e 5h ne W m v 1) Aq u Eh tç 0% !) 5c 3% !

«â C¯ !r A@ 5i ( 5 !e 6 P7 1# X Wl 5U º xQ 0% Th d xa vb tç }i n4 !"

!ò ç



1 rd 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Àò Tw Wa !G 1 S e 3e a I 3G sQ P{ 2¯ ù åó 9æ Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò Cò ò Cò ò ò Cò ò ò 5c 3e Wa !G 1 S e 3e a I ( 0 Eh 5 TQ Wa 3G a 5c nD vb gu ´

0à ± «º µ 2» ï 0È ò H ¨ò 2 w 5c He TF a D 3e Q j ¯ G° ¯ ¾ tµ X¶ 0® ¨ò x2 ¨ò 2

5D c ¯ ú° 1# Aq 5D f m mC Eâ ¨ i vb e t¾ ± xu 0b RQ

u tû #ò t¦) Q 5c 3i T r2 Pe WI 2° 3r ò !) W 0b TQ tû !ò 5 3p F u I

¸

0I e


..
. , ) . . , , , , , (. , -


7

, , , , ( , , , , , , , , , . , , . , . { , , ? ( , { ,

, . ( ) ? . ), , ( ). , .. , : , { , . 26 , , 1996 . , , ). -

,

.. (

, . ,

),

,

19 . ,


8

..
, . ( . ), . , . .. .. . , , : ( . , ( , , , , , | , . : . ? ), , 20, , . , . , , , .. . , ). .. , | , . .. , . . , , , , ,

, C | :

. , -

,


9

,

,

,

, , . , , { { ) ,

, . ,

, . . ): . : ! , , ,

(

,

,

, ,

( ,

, -

-

?
, . ) , , , 6{10 , .. . ( . .

.

.

, , -

. , . ,

, ,


..
, 14 1992 . -

-

:

,

,

, , , , ( ) , . -

, , .

.

. , .

:

,

, -

Zn Rn. Zn.

,

a=b |
, .

ax + by ax + by = c = const
( . 2).

(. :

, . 1).

a=b

-


11

. 1.
.

. 2.

.

1.
na=b
, .

a=b
,

.

Tn = Rn=Zn (
( . 3).

). . .

-

(

n-

)

k l m, ak + bl + cm = 0 ax + by + cz .

a b c|

. 3.

.


12

..

.
) .

(

,

, ax + b sin 2 x. ax + by + f (x y),

-

f (x + k y + l)= f (x y) 8 (k l) 2 Z2:
. ! , ? .
,

, (
, ,

,

. 4).
).

,
-

.
.
0

, ?
0

(

, . . fx = fy = 0. ax + by :, a + fx = b + fy =0. , ( . 5).
0 0

, (

f

: f = 0),

. 4.

.

. 5.
.


13

. 6.

.

. 7.

.

..

,

. ,

z

.

. .6 . ( . 8). ( . 7).

,

z
Y( . 9). . 7,

. ,

. 8.

. 9.

.


14

..

. 10.

.

. 2. .
.
. 1 . .

,

(
( )+(

(x + y )
2 2

xy .
) =2:

-

).
);(

.
.

,

. 10.

.

-

.
( . 11). ,

,

(

-


15

. 11.
.. ), .

.

-

n
= 0). ( . ,

n

. , ::: , -

( )|n 0), .

. 12)

n(

(a = b = . ,
-

f = 0, f 6= 0,

g(x y)= ax + by + f (x y ), g = const
. (
0

f|
),

.

g = const

jfxj 0

, , ..

. 12.

(

).


16

..

. 13.

.
,

. 14.
.
.

g = const
, . 2]. . ( , , . 13), | ?
.

,

Mc = f(x y ): ax + by + f (x y ) , | . . , , , , , , |

-

g|
( . 14). |

f = 0,
| | , .. | , . ,

c|

. .
( : .)

Mc ? a=b 62 Q,

f|
c

. f?

3.

a=b 2 Q.
.

,

-

( . 3]).

n


17

.

-

.

1

f|

. ,

-

+qb + r 6=0
(

f (x y ax + by )= 0 (x y ) (a b 1 p q r =0). 6 ,

pa +

.

..

, ) 4] 1)?

vi , H (z)=
5 X
i=1

.

-

coshvi z i
)| ,

(

?

vi .
?

,

,

,

-

ax + by + cz + f (x y z ) px + qy + rz + g (x y z ) f g|
. , (f = g = 0) 1 | , , . , .
ab

. -

?
1)

.
a=b

1993 . .

(.

,.

).

,

-


18

..

. 15.
.

. 16.
.

.

7],

.

2)

fg
,

(. . ),

. -

(

. 15). .

fg
,

(

?). -

.

f = 0, ax + by + cz = const px +~ + g (x y x + y)= 0 ~ qy g px +~ +~(x y)= 0: ~ qy g
.

z: z = x + y

,

.

g ~
(x y ), 1?
( . 8]) ,

,
?

-

.
2)

.

.


19

. 17.
(

.
3)

. 18.
, . , ,

.

g| g|
:

1).

-

R3 ! R2 : (x y z) 7! (x y): R3
, | ,..

R2 ( . 16).

-

u = x + f (x y z ) v = y + g (x y z ) fg|
) . . : ,
3)

(. . .

0 ( , (
,

, . 17). , , .
f

-

.

. 18).
,

,
,

:

, .

.

.
g

0,


20

..
( . 19). ) .
(

.

z = xy
(

-

,

,

.

fg
) .

v = const
,

u = const

u = z v = z + x2 + y 2 , u = z v = z + x2 ; y 2.

, ( : .

, . 22).

-

. 20, 21 . 23).

.
. .

u = z v = z + x ; zx + y c
( ( (R3
2

, ).

| ?

) , -

.
( .24).

u = z v = z + x3 +(z2 ; 1)x + y
| (

: 5].

. 25). ( )

,

.

, ?

(x y z ) 7! (x y )

R3 ! R2, , -

-

?


21

. 19.

.

. 20.

.

. 21.
.

. 22.
.

. 23.

.


22

..

. 24.

.

. 25.

.
-

.
( :

(x y z ) 7! (x y ) .)

R3 ! R2,
? ,

?(
)

.)

:
{

-

(

.

(x y z ) 7!

u = ax + by + cz + g (x y z) v = dx + ey + fz + h(x y z)
. ,g , , , , ).

abcdef|
( u = u 0 v = v0 ) ?( , f =1 e =0.)

h | 1-

b=1 c=0 -

.
,

.

gh

(

1]

.. 1950. . 24{134.

//

. . 5,

. 1.


23

2] 3] 4] 5] 6] 7] 8]
..

.. //

. . 93, 5. 1953. . 763{766. // .

1.

. 25, . 2. 1991. . 1{12. Topologocal Methods in Modern Mathematics // J. Milnor's Jubiley Volume. Houston: Publish or Perish. 1993. Burlet O., De Rham G. Sur certains applications generiques d'une variete close a 3 dimensions dans le plan // Enseignement Mathematique. XX. 1974. P. 275{292. .. // . . 4, . 6. 1992. . 54{62. .. // . . 49, . 1. 1994. . 213{214. .. // . . . 30, . 1. 1996. . 30{38.


..
, LVI

27

1993

.

1.

, , ,

, , .

, ,

| , , | ? . ( ). , 776

? ,. , | ? , ,

. : 625{527 | : ( | , !).

,

,


25

. , 1894 . 1934 , ( LVI ( 1942 43 , .
1)

, 1889 { , ,

-

1935

),

. .) ) .( , -

)2). 1961

1959 , , . , | , , , , , . , . ( ( , ,

,

, ,

.

) .

: . , ,
.

,| , . ,
1) 2)

,|

,

.
, , 1997 1993 LX | !

. ,


26

.. , , LVI |
,

, . ) .

, . ,

(

. , .

-

,
2.

!).
1. (
| .

:
, .1, .

(
53) )

-

.(

,

, ,

-

.) .

AB C ,
B

::: AB = BC .
B

A

C

C

A

. 1.
. , . ? ,

C
3)

BC
(. .. -

.

-

A,
5,

C.
: . .:

A
5): ,

AB,

,
-

, I-IV.

.

,

, 1948.


27

C

. ).
2. (

A.

-

, ,
. , .1,

C
, .

,

,.. , A. , , -

.(
| .

32)

.

,

,

AB A.

.

B,
A B

BC

AB C . C

CA

-

C

. 2.

A, B C , AB
,

-

,

B BC ,
,

C, A. A
,

A.

B,

2.

. , ,

CA

C
, . -

4d (

d|

.

, . .6d.

A, B C , , \A + \B + \C =2d,

).

A, B C


28

..
( ).
, .

C.

AB

C
|

2d, . . \A + \B = .
. , .1, , ,

C

2d .
4).

C

3. (
,

| ,

.

-

. (

A1 B1 C
,

1

) A1C

A
1

.
1

A, AC .

A1 B1
. ).

AB

. ,

,

( , , , . , ,
. , .3,

? ,

. ,

. : ,

.

( .
1. (

, )
| ,|

.

31).

,

:

1

2.

-


29

A

O

AB, O | Oc .
B

C

.

C

. 3.

\C = \AC O + \OC B . 1 \AC O = \CAO, \OC B = = \CB O. 2 \AC O + \CAO = \COB , \OC B + + \CB O = \COA. COB COA | , 2d. , \C , . . d.
).

AB AOB.

2(
.

C
1,

-

(
C O A D

. 4).

,

B

\AOD =2\AC D \BOD =2\DC B \AC B =1=2\AOB :

. 4.

A BC ,
0

\A = \A . . .
0

.

AA B
0

AB C
,

,

LVI

8{10

.

,


30

..
3.

):

8

(

|..

-

D AB AC
.
. .

BC D AO |

AB C

,

AB
,

O ABC

\D = \ADB .
, ,

(

. 5): (i) (ii)

\AOB =1=2\D \BAO =1=2\A
(i){(ii)

BO
,

\FB O =1=2(\D + \A) , , \FB O =1=2\FB C ( ) \FB C = \A + \C ( (iii){(v)), \D = \C , . . ABC D
A B C O

(iii) (iv) (v) . .

D

. 5.


31

9

(
.

..

\BAM =30 , \AC M = 150 BM C .
.

AB M C
,

,

):

AM

|

AB = BC AM .
M

,

B

B

A B
0

C

. 6.
= 60 .

B. \AC B =30 , . . B , C M MB MA. , MA | . , , 10 , . AB ABC O. M N|
0 0

,

AB B

0

jABj = jAB j \BAB = A, B , C
0 0 0

,

,

BM C .
.. -

,

.
.

OM + ON

,

AC B
(
0

AC BC b a.
.

. 7 a)).
00 0

, OM = 1=2CB , ON = 1=2CA ( .
0

),

-

AC C A .
000 000

B CB
0

\AC B

A B , . . 7 ). (AB = BB C B = BB \AB B = \CB B ) AB B . , CB ,B A, , , , 135 , . . 7 ). CA , AB A AC A . p , 1+ 2 (a + b). \AC B =135 2
00 00 0 00 0 00 0 000 0

CB

AC

CBB C
00

00


32

..
A A C
0

B O CN C
00

0

A

0

B O B B

0

A A C
0

B O CN C
00

0

A

000

A A M C

B B A B
00 000

000

C

A A M C

000

C

CN C
00

A B
00

000

A A M C

B B B
00

000

C

.7 )

7)
9 10

7)

4.

( 9 LVI ) ).

: . 10 8

. ( .

,

. , ( 10

).

. , -

.
, .

.

2/3 .

,

,

.

,

-

, ,

|

.

9

10

. :

-

.

4.

ABC D

.8 )

a+b

a b.
.

.

,


33

C DD , D CA
0 0 0

0

c,
2

c|
0

AB CD
0 0 0

0

, ,

,

d.
.

,

, ,

A BB , B AC ,
0 0 0 0

,

,

.

.

. 8 ).
B a B
0

a2 + b2 = c2.
B a B
0

a b,
Aa C a
0

b

Aa C a b D a D
0

b

b D a D
0

b A aC
0

b A aC
0

.8 )
, , ,

b

8)

b

,

' (cos ')
( . .9

' (sin '), , tg ' =sin '= cos '.
).

'

-

|

5.
:

ABC
( ( ), ).

ab

c
-

a=b=c sin A sin B sin C c2 = a2 + b2 ; 2ab cos ' B|
0

, .

.

B BD B

,

.

c= sin C = 2R, . . a=sin A = b=sin B = C=sin C = 2R,
,

. 9. ,

AB C

-

AC (

. 10).


34

.. , : ),

sin2 ' +cos2 ' =1 (

c2 =

=(b ; a cos ')2 +(a sin ')2 = a2 (sin2 ' +cos2 ')+ b2 ; 2ab cos ' = = a2 + b2 ; 2ab cos ' .
B B

O A B
0

C

' A D

C

. 9.
9 .

. 10.
9 10 . 11 : .

.

AB M a = b =2b sin ' sin 30 BM C b a = : sin (90 + ) sin (' + )
,

2sin ' cos = sin (' + ) ) tg ' =tg ) ' = :


35

(

sin 30 =1=2

sin (90 + ) = cos \BC M = 90 + , , , : sin (' + ) = sin ' cos + cos ' sin :)
B b C

:

A

a 30

'

M

. 11.
10 .
0

.

. 12.
B c
0

): A 2 = d2 = a2 + c2 ; 2ac cos( +90 )= jCB j = a2 + c2 +2ac sin (i) 2 2 2 c = a + b ; 2ab cos ': (ii)
0

(

b = c ) c sin = b sin ': sin sin '

(iii)

A

( (i){(iii)), d2 =2a2 + b2 +2ab(sin ' ; cos '): , d 2 =2b2 + a2 +2ab(sin ' ; cos ')
0

b

' C

a

B

. 12.

sin ' ; cos ' = 2 cos(135 ; ') ' = 135 .

p

d = CA : : ' =135 , ^
0 0

p p d1 + d2 = p b2 +p 2 +2 2ab)1=2p 2a2 + b2 +2 2ab))1=2 = ((2 a +( = p2b + 2a + b + a =( 2+ 1)(a + b) ) jOM j + jON j = 2+ 1 (a + b): 2


36

.. . ( , -

)?

5.

9

LVI . ( | , , , . , . , ( ( XIV , , ,

.

, ) 11
?

( :
,

)

. -

a
.

.

, , ! , , )

, .

, . : , , , !) . , , . , ) , , | ?, , , , ,

:

. -

,

| , -

.( | , :, . . ,

,

,

9-


37

). :

,

, . ( . . : , , ? ,

( , , -

). .

, 2 sin ' cos = sin(' + ), | : ,

(

)

:

2/3 .

.
.

.

: ,

| ?

. .

| ,

,

,

LVI

! , , -


38

.. . -

. . , i| , , , .

a + bi,

= ;1.

a

b

a b| i2 =
2

z = a + bi
,

: a =Re z b =Im z .

(a+bi)(c+di)= (ac;bd)+(ad+bc)i. ((ac + bd)+ (bc ; ad)i : , , ): (a + bi): (c + di)= c2 + d2 z = a ; bi z = a + bi. y , z j : (a b) 7! (a + bi). jz r = arg z z '= x O . r| z , '| , . 13. , fz j z = a + 0i a > 0g, z ( . . 13). r' z( : r = jzj ' =argz). : : z = rei' = r(cos ' + i sin '): , , z, ( C ). Oxy : ,
,

i

;1 . .

z
|

|

.

|

,


39

ABC

D|

0

)

. (z = x + iy ): Az z +(B ; iC )z +(B + iC )z + D =0: , (
0

A(x2 + y2 )+ 2Bx +2Cy + D =0

(z ; )(z; -

( ; z ) ; ( ; z )+ z ( ; )= 0
0 0 0

; )= r
,

2

, , (

, -

r az + az = a + a :
( |

az + az =

.

,

: ei' = cos ' + i sin '): , ). ,

.

ab = bei' , B = a:

'

,
;

AB C C = 0, A =

jABj2 = c2 = ja ; bei'j2 =(a ; bei')(a ; be i')= a2 + b2 ; 2ab cos ' = jAC j2 + jBC j2 ; 2jAC jjBC j cos ': . , ' = =2, 2 = a2 + b2 : :c
,
.

R) . A = Re i'2 C = Rei'3 , = Re , jBC j2 = R2jei'2 ; ei'3 j2 = R2(ei'2 ; ei'3 )(e i'2 ; e i'3 )= =2R2 (1 ; cos('2 ; '3 )) = 4R2 sin2 '2 ; '3 : 2
; ;

AB C

i'1

(

.

B=


40

.. , jBC j = 2R sin A, :

jAC j = 2R sin B jABj = 2R sin C
b c

-

sin A = sin B = sin C : 1): . | . . ,

a = b,

a

(. ,

, ,|

,

. .

. .

z1 z2 z3 |

z ;z (z1 z2 z3):= z1 ; z3 2 3
,

.

z1 z2 z3 z4 |

(. . 1. ,

z z ;z (z1 z2 z3 z4):= z1 ; z3 : z1 ; z4 z2 ; 4 2 3 (z1 z2 z3) (z1 z2 z4)) . : z1 z2 z3

-

(z1 z2 z3)= (z1 z2 z3) (1) ( , (z1 z2 z3) ). . z = x + iy w = + i detfzwg = x ; y . z1 z2 z3 , detfz1 z2g + detfz2z3 g +detfz2z3 g =0: (2) : detfzwg , , Oz Ow. , Oz1 z2, Oz2z3 Oz3z1 .


41

2. (z1 z2 z3 z4) 3. z| ,

,

fz1 z2 z3 z4g
. 2 z = 1= +1=
z b
0

,

0

0

(3)
0

(

(

0

:z ) ( . 14)).

,
e c

a d

. 14.

. 15.

a, b, c, d,

4.

e

jzj = 1 ab cd ( .
b) e = (a + ab ; (c + d) : ; cd

. 15) (4)

5. 6. ,

z1 z2]
(5)
3

z (z2 ; z1 )+ z (z2 ; z1)= jz2j2 ;jz1 j2: z1 z2 z

z(z2 ; z1 )+ z (z2 ; z1 )= jz2j2 ;jz1j2 z (z3 ; z2 )+ z (z3 ; z2 )= jz2 j3 ;jz2j2: (6)
7.

z

3

j2 z j2 z = z1z z2 ;jz 2z z1 : 2 z1 ; 1 2 AB D

,

z,

a b d|


42

.. : , . 1960 ( . , " , ) , , : , , ( , , , !
. .

,

D

AB,

(7) ,

z =(a + b + d ; abd)=2:
, . ) ]| , , , \. , : ) , , ), , , ,
(..

,

| : , ( :

,

-

,

. ( ) -

-

,

!

,

: , ,

, .

. . 16 . 43).

(

(

. 17

,

. 43).


43

z

3 3

A = be z '
1 1 2 2 3 2 1

i'

' z

2

'
4

3

z

1

4

C =0

B=a

. 16.

.

. 17.

.

c0 b A a0 a c d b0 MN

E B

C D F

O

. 18.

.

. 19.

.

. 20.

.


44

..
,

.

(

.

,

,

-

. 18
,

. 43).
|

E
.

.

AB C D

|

. 43).

EF

BC AD, M | M, N, O
.

AB CD, F AC , N |
,

|

(

BD, O
,

. 19

| -

( , , , ! . , ,

. 20 .

. 43).

, , , , . ,

-

1

= (z

1

, z2 '2 |

,
1 2

z2 z1 =
+ +
2 4

(3): z4) 2 = (z1 z2) 3 = (z2 z3) 4 = (z3 z4): ( 1 + 3 )=2 0 ( 2 + 4 )=2 (1). , | . '1 | z1 z3 '3 | z3 z4. , 1. : i'1 i('1 +'2 ) i('1 +'2 +'3 )) = (1 + e i(')(e'2 +'3 ) + e = (1 + e 1 + )(e i'1 + e i('1 +'2 ) ' '3=2 = cos(' cos ' 1=2cos =2cos ' =2 2 R: + +' )
; ; ; ; ; ;

1

2

3

2

B = a A = bei'.
,
3

,

AC

: :

.

C

= b cos ' + a + ib sin ' , 1 = b cos ' + i(a ; b cos ')ctg ' 3 a b ; a cos ' . , 2 = +i 2 2 sin '


: post scriptum
1 2

45

; 3 =2. ;3
, (2) :

. | (2) .

,

M, N, O |
(2)

-

M , N O,

detf(A + C )=2(B + D)=2g + detf(B + D)=2(E + F )=2g + 1 + detf(E + F )=2(A + C )=2g = 4 (detfAB g + detfCB g + +detfADg + detfCDg + detfBE g + detfDE g + +detfBF g +detfDF g +detfEAg +detfFAg +detfEC g + detfFC g) (2)

fA B E g fC B F g fA D F g fC D E g
. (7) (4): , | (1). -

bd h = a + ab; (de+ e) ;
,

ce k = b + bc; (ef+ f ) ; h;k 2 k;g
R

d f+ g = c + cd; (fa a) : ;

a =1=a

(1).

..

, ?
,

Post scriptum

, !

,


46

.. , , . : a| -

z ! az
.

z ! iz |
,| ( ,| 1997 , , ),

a|

, ,

. . 1. (LX |

n.

, 10

.)

.
1

.
;

n-

, ,

-

.

,

nnn"=e
2 =n

| -

z0 z1 ::: z

1 " "2 ::: "n 1

n;1

|

2 =n (

"| , ;2 =n ), . . " = e2 =n
|

;

, z1 +(z1 ; z0)= 1: :
n;1

:

2z1 ; z0 =1 2z2 ; z1 = " 2z3 ; z2 = "2 ::: 2zk ; zk 1 = "k 2zk+1 ; zk = "k+1 ::: 2z0 ; zn = "
;

:
n;1 n;1

1 2 2 ::: 2
2

n;1

, ,

|

n-

,

"n =1 : z0(2n ; 1) = "k (1 + 2" +4"2 + 2n 1 "n 1 ): , zk = "k z0 ( k = 0 1 :: : n ; 1),
; ;

, , 2+ z0(2 ; 1) = 1+2" +4" +2 , k( (k ; 1)- ),
n

"

.

|

2. (III

|

.

,
.

ABD

,

:

(

,

)

,9

)

AB C |


: post scriptum , . , ,

47

,

C CM = BD.

C CK = AD.
, , . (

,

AB = 2, D
,

CD =1. AD
, ,

KDM
,

c =0, a = ;1 ; i, b =1 ; i

jdj =1:

)

.

-

k ; d = i(d ; a) ; d = d(i ; 1) ; a =(d + 1)(i ; 1) m ; d = ;i(d ; 1) ; d = ;d(i +1)+ bi =(1 ; d)(i +1)

d

jdj = 1 | . . d (d +1)=(d ; 1)
, ,|

,

.

( , .)

,

;1 1] |

,


50

..
1.

..

. ).

.

. (

>1
: ). (
\), " . , ( . 1797 ., , 1799 .) , (a b) ,

-

-

,

3], 4, .69]:
ur le "Recherches, s1746 \ " "demonstratio nova\ , \

16],

{ ,

,

,

,

calcul integral\ (" .). < > \, (" ,| . ,

, . XVIII .

,

XVII XVIII . , .

):

.

2, . 161{162] (

,

,

,


51

+iY (x y),

a + bi
. .

P (x + yi)= X (x y)+ X =0 Y =0.
, ,

, ,

, . .

, .

. p(a) = 0, . : | : -

p(z ) | a,
: ,

jp(z)j
a

jp(z)j
, . , . C.

p(z)
.

, ?

.

1746 ., { .. |

. , . : : | . 17, . 4]). , , , . ,

,

, . , . , .. ,

-

(

, -


52

..
. , , , . . . , . : ,
2.

,..
, , 17 -

.

.

:

| .

, ,

.

a + bi,

,

( . 7, 5]).

, -

a b| z
.

i2 = ;1. z;1. K K X] K ).
+ a1 X + a
0

, i| ,

C.

,
-

K|

K( p(X )= an X n +

K.

x2K

p(X )|

a0 ::: an 2 K: K K, p(x)= an xn + +a1 x+a0 2 x 2 K, p(x)=0.


53

p(X )= an X n +

+a

0

p(X ) | an 6=0.

n,
-

1.

.

p(X )= anX n + + a0 n+1 a1 ::: an+1 . = an (X ; a1 ) ::: (X ; an ). p 6= q, r =p;q n p a1 ::: an.
.

n

n p(an
+1

.

, -

q(X )= )= 0 6= q (an+1 ).
K

( p(X ) . ) .

p(X )

),

.

. 5, 9]), (,-

K
( ?

.

K.

R X ],
X +1
2

R

R,
i ;i.
, ,

X 2 + 1,

R|

>2 C,

C X]
X 2 +1).
,

> 2,

C. C
K.

C,
,

p L L

C, R
L,

C X] p
(

-

K|

K L L : K ].

-

K

, ,

C

.

(.. :

C)

-

K >0

K


54

..

,..
. , -

K. K

, , :

K

Z
:

K X]
, ,

K X] K X] K.
. ,

>0

.

> 0.
-

K X]
1 ,

K X]

-

K

E| A,

.

v2E v 6=0 Av = v
.

K

A:E!E|
:

2 K.
>0 K K, A:E!E
, ( -

1.
1) 2) ,

K
,

K X]

K

)

E K

|

3) 4)

K
1
.

K

1) =) 2). A:E!E| p(X ) = = det(X 1E ; A) | A. 1E | E. K , , 2K p . 1E ; A ( 1E ; A)v = 0 v 2 E. Av = v , v| A. 2) =) 3). L| K. x 2 L, A:L!L| x, A(y)= xy . 2), A K. , xv = Av = v v 2 K, v 6=0. , x = 2 K L = K.


55

3) =) 4). 4) =) 1). : , 1.

p 2 K X] | K X]
, .

,

K(

n).

n> 1, p,

R
pa 2 R X ]|

R
,

6 2. R X] R X ],
a

: , C.

,

a, . .
.

a2C

-

fp 2 R X ]: p(a)= 0g
pa . a q
, ,

a 2 R,
.

a = x ; yi).

,

pa = X ; a,

62

q 2 R X] | a 2 C.

p| p.

62
p pp a 2 C.
.
3.

a

p

a

pa. , a 2 C n R, pa =(X ; a)(X ; a), a( a = x + yi, x y 2 R, , C > 2. ,q R X] pa . , R X] 6 2. R X] C. C, p | , . , ,p, p. , a

n>1 z z
n

.J
,

p(z)= z n + an;1 zn;1 +
, (

,

p

(. .

R R
n

.

+ a0 | ). ). -


56

..
,n

,..
: .

+sin '), z n , = an;1 z n;1 +
n

z
,

= Rn (cos n' + sin n').
n

z

zn ,

+ a0 . ,

n

z

z. z = R(cos ' + b(z) =
, ,. , -

R

b(z ) p(z ) = zn + b(z),
0( , . ,

z , . .n p(z) z n, p(z ) z
,

p(z)
0
n

zn.

.

jb(z)j < jznj),
p(z )
, p(z )

,

R a0 .

a0 .

z
-

p(z )

0),

a0 6= 0 (
,

p

0

R

p(z )
. , .

R R.
, , .I ,

,

z

n(R) p(z ) z,
,

n(R)

R.

n(R)

p(z) 6= 0

R.

n(R)

-

R|
.
.. " \( , )

n(R)= n

R n(R) = 0
6]. , 30. 8, .11]: 1937 .. . ", , 6].

-

.. \

-

:

,


57

,

, . , f| 0 1] , f (t) 6= 0

,

. . 1( , .

U = fz 2 C : jzj =1g |

f ( t) W (f )),

t.

t

0

, , -

h0 |

). U, jf (t)j = 1 h : 0 1] ! R, ,

e(t) = cos 2 t + i sin 2 t (

, e : R! U|

t. f (t) = e(h(t))
. , ),

f

W (f )= h(1) ; h(0)

c(

t 2 0 1]. 0 = h+c h -

,

, f W (f )= W (g ), g : 0 1] ! U | , g(t)= f (t)=jf (t)j. s 2 0 1] a fs : 0 1] ! C nf0g, fs (0) = fs (1). , ffsg s , F (s t)= fs(t) 0 1]2. W (fs) s( ,

U,

.

,

H : 0 1] ! R, W (fs )= H (s 1) ; H (s 0) W (f )
2

F

F U( F=jF j). F = e H. s F : X ! U| H:X!R

).

-

.

, -

e : R ! U:

F = e H. e. X
:

,

X| H
: , , , 15,13].

F H

X|

, ,

U,

F
.

-

e


58

..

,..
. -

e
: 12]. z. , . , , e(t)= e
2

it

e,

,

ez = 1 z n =n! n=0 e : R! U
P

n

10]. J
.I ,

p 2 C X] n > 0.

n-

p(z ) = 0
.

. ,

.
, CP1 = C

CP

1

. k. -

C. C.
.

f1g, CP
1

p : CP1 ! CP ^

1

p:C !C , p(1)= 1. ^
, (

,

CP

1

) .

.

f:M!N|
, , .

x2M Tf (x)N ,
.

. 10],
+1

y2N ::: xp+q | x
p
+1

dfx , TxM x 2 X,

x 2 M.
,

f (x) = y , x1 ::: xp f

.

y2N

x1 ::: xp xp f p ; q. y 2 N.

f (M )

,

::: xp+q . N,

, -


59

p = q = 0.
,

,

y 2 N n f (M )
,

,

, , (..

f (M )= N . p : CP1 ! CP1 ^ 0( p n> 1) 1. z p0(z )
^ .

y f :M !N
. ,^ -

.

y
1

p ^

,

.

p(z ) = y y)
.

n.

n
-

14].

p : CP1 ! CP ^
.

n,

-

J
n > 0. p ^
.I .

,

.

.
n> 0 p : C P1 ! C P1, ^
,p ^

,

-

n-

14].

-

CP
.

1

p
, ,p

-

.
(. . ,

1.

| )

-

U C. k > 0 14,

f :X !Y
, 2.1].

,

z 7! z

U x 2 X y = f (x). f X, x, y X Y, , ' : U ! Ox : Oy ! U

k

Ox Oy k > 0,
,

x

'(0) = x,


60

..

,..

(y ) = 0, f (Ox) = Oy

Oy nfyg

k

f '(z ) = z f
, .

k

ef (x). ef (x) > 0, XY ki = ef (xi), i = 1 ::: p. f ;1(Oy ) = Ox1 Oxp,
k
i

f y

Y n-

f jOxi : z 7! z U , i =1 ::: p. y0 2 Oy nfy g f ;1 f , n(y) y 2 Y,
.

f

,

x. , y 2 Y , f ;1 (y ) = fx1 ::: xpg, Oy , Ox1 ::: Oxp Oxi ! Oy n = n(y )= k1 + + kp . (y 0) n , 0) = n. , n(y Y. n. , n(y ) > 0 . , f , f , p n p
,

Ox. x.

z 2 U. k

-

14, 16]. J CP1
, ,

n 1.

n
.

, . .I

-

,

X, f

C P1,

f x 2 X. x = 0. z 2 U nf0g, g | 6 = 0. ordx f = k. k.
P

X| f : X n D, D a 2 D, . . limx!a jf (x)j = 1. X f. ordx f , X=U k, f (z ) = zk g (z) U, , g (0) = 6 k = ordx f > 0, f x, ordx f = ;k < 0, f f
,
-

k(

k)
,
,

.

x2X ordx f

X

,

,

.

f


61

ef (x)

X C P1.
,

x| ordx (f ), x| P ordx f = 0 x2X
1

,

f, ef (x)= ; ordx (f ).
P

x2f

;1 (y ).

y 2 CP

y 7! n(y)= f (x)=y e(x), .

,

J XC

! x. P1 n, x f (z )= n=k an(z ; x) k =ordx f < 0, f x, resx fdz = 0.
,
.

resx !

!

! = fdz , f | x2X |

!

resx fdz = a;1 . .

f

2i

X.

!|

X , x1 ::: xn 2 X | xj V = V1 Vn .
X

V
resx ! =
j

j

!. !=2 i =
j

-

x2X

resx ! = ,

X

n

X

n

Z

Z

j

=1

, @V

V

j

=1

@V

@V

!=2 i:
-

.

Y = X nV. @Y = ;@V , !.
Z

.

!

: d! =0.
X

X nfx1 ::: xn g
,
@V

, @Y ! = Y d! .

R

R

Y

Y

-

x2X

resx ! =

!=2 i = ;

Z

(

X.

f|

.

@Y

!=2 i =0
-

, f ), . .

P

x2X ordx f = 0. ! = df=f .


62

..

,..

f, x =0 f (z )= z k g (z ), g (z ) ! = df=f = kdz =z + dg =g. res0 ! =res0 kdz =z = k =ord0 f .
X

resx ! = ordx f

dg =g
X

,

,

x 2 X. , g (0) 6=0.

x2X

ordx f =

x2X

resx ! =0: , .

I
-

14].
f :M !N
:f , , .

:

,

J N.
.

N.
, ( ,

M

N
, , ,

,

,

,.. , f (M )= N .I , . , , -

f (M ) f (M )

f (C ) f.
, , .

,

.

) , ,

, !

f

,

.
,

J

p|
,

. > 0, f = p : C P 1 ! C P 1 | ^ . X CP1 | . ,

, ,f

f

f

p0 x 2 CP1 nX x.

p


63

CP 1.

x, . . f (x).
. .

F = V f (X ), CP1 VF
| ,

,

, :

x V = f (C P 1 n X ) F = f (C P 1 ) F nV f (X )
,

-

V F = S2. J V.
,

.

F
:

,

V

F F nV a 2 S2 n F . @V
,

.

S2,
a b.

b2 V.
,

,

ab

@V

@V . F nV. I
. -

.
, ,

-

,

J

z, inf z2C jp(z )j = inf z2B jp(z )j, B| . inf z2B jp(z )j B. , p(a) 6= 0. p(z ) p(z + a)=p(a), , p(0) = 1 jp(z )j > 1 p z. p(z)= 1+ak zk + +an z n , ak 6=0. , ak = ;1. k( ). c| , ck = ;1=ak . p(z ) p(cz )= 1 ; zk + ::: + an cn z n , , ak = ;1. p(z) p(z)= 1 ; z k + b(z ). z , k j. jb(z)j jz , x| , jb(x)j ,

a 2 C,

, p(z ) |

,

jp(z)j

jp(z)j

7, 12]. n> 0.

.

(1814).

(


64

..
) . , . , , , .

,..
, ,

p(a) = 0,
,

a|
,

jp(z)j

1=p

.

. , 1=p.

p(z)

z 2 C,

>0
.I

14, 16]. J
.

1=p

, . | ,

.

,

:

z 2 C,

,

.

Rn,

U Rn,

. ,

f,
, ,.. -

-

P

U, U,
,
R

n i=1

@ 2f=@ x2 = 0. i f
. : .

f, B,

B

f,
,

, x2 B| C = A \ B. (
R

Rn,

f

Rn.
,
R

.

,

.

, f (a) = A f=m(A) = ( C f + AnC f )=m(A). AnC f=m(A) 6 m(A n C )M=m(A) R . , f (a) f=m(A). C

m(X )

,

AB
R

f| jf (x)j 6 M a b 2 Rn. a b. m(A n C )=m(A) XR ).

A

-


65

f (a)= f (b). X| A; A 2 B (X )
1X

f (b)
, B (X ) |

. . . : .

, -

C

.

X 2 C,
2,

,
,

A:E!E
.

C
..
,

> 0,

E|

:

X
1X |

,

|

,

f( ) = A ; g : C ! B (X ),

. ,

. 2 C. g ( ) = f ( );1, . 0,

A 2 B (X )

-

J

.

,

,
Z

p|

. 1=p

,

jzj=R

1=p(0),

,

dz 6 2 max 1 ! 0: zp(z) jzj=R p(z ) R!1 1=z p(z )
Z

jzj=R

dz zp(z) =2 i
. 2,

R> 0 |

.I

E

|

C

.J
C

A:E!E

n +1

,

: .

-

-


66

..
, . , , P (E ) = C P n | E. . ^ A ^ A.

,..
: -

A

,

nA
.

^ A : CPn ! CPn. , .I

A
,

-

| ,

. x 2 X , f (x)= x. f :X!X
13,11]. ,

f L(f )
).

,

X f,

-

f L(f )

idX ( . . f idX C (X X ) (X ) . .

f X X X.

1

F

0

F

1

::: Fn = X | X, ,

Rk

.

, F;1 = ?, P (X )= n=0 (;1)k ak . k F0 ::: Fn. : X|
, ,

ak F0 |

Fk n Fk;

-

.

f :X!X

,

CPn, E. CPn n + 1. C P 0 C P 1 ::: C P n , Ck. E E. L = L(E E ) |

,

^ A : CPn ! A:E!
k;
1

, .

GL(E )

CPk n CP

. -


67

E x y,
n

. 2

GL(E ) D = fB 2 L : det B = 0g.

L L.
,

D

x y 2 GL(E )= L n D D , xcy l GL(E ) ,
n

l L, D.
^ A

,

L
,

-

C (C P C P )
.

,

,

A.
^ A -

.

,..

G| G, aH . xH 7! gxH H.

G=H

,H| . ,

g2G

-

H G=H
.

(. .

g2G
.

T| G=H G

, , .

,

T.

, gaH = aH , a;1 ga 2 H . , G = GL(E ), H | A 2 G, E. G=H C P n , n = dim E ; 1. ,G, ) E. . (n+1)!. , g2G H, , . G| (. . ). G R=Z . G, G, ,G ,, 1].

G=H

-


68

..
.
,

,..
.
-

9].
(.. ),

:

.

. . : , .

R

,

:

. .

n > 0.

a b 2 R. x yp | (;a + a2 + b2)=2. 2xy = ;b, , , , .
.

C

C

x y 2 R, (x + iy )2 = a + ib. x2 ; y 2 = a 2xy = b. p (a + a2 + b2 )=2 x2 ; y2 = a x2y 2 = b2=4, 2xy = b. x y. R X] R , z2C , ,
. 2. , . , ,

, , -

,

.

(1815 .)

7, 5].

J
.

f

L,

K.

,

f 2 H. LG = K .

H, . . L| L,
-

. L| G(L=K ) f (x) = x x 2 K. H G = G(L=K ) LH | x 2 L, f (x)= L K.

x
, -

-

P

G.

H2H

K,

H LH 2 P .


69

P2P H!P P!H G H1 H2, P P2 P1, P1 : P2 ]
1, .

1

G(L=P ) 2 H. . H1 H2 | P2 , (H2 : H1). K| L K, G, . . G 2 G, 2,
. ,

H

1

H2 ,
C. -

C
,

R
2-

R.
G p, H

, L| G = G(L=R). 2, .

G

H = G(L=C ) | C
2.

p-

H
.

C.
, -

L = K = C. I
1] 2] 3] 4] 5] 6] 7] 8] 9] 10] 1972. M.: 1989. 1967.
. .

. M.: . .

. 1963. . 1965.
.

.

. 1979. . M.: -

.

.

XIX
. ., . .

. M.: . 1994. ? M.:

. .

. M.: . M.:

.. .. . . ., .

. 1971. / // .:
.

.: . M.:
.

. 1965. . 1968. .

.


70

..
.. . . . . ., . .

,..

11] 12] 13] 14] 15] 16] 17]

. 1989.
. .

. .: . 1976. . .: . 1966. . .: . 1971. . M.: . 1980. . .: . 1972. . 1994.
. .

. .:
.

XV

. .:

//

-


71

..
-

Cn

.

C
. .- . , . , , analysis situs ( , , 1799 . , 30-

, , , XVII , .

.

, . XVIII , , . ). -

. |

, ,

R
,|

(


72

..

,

, . ,

. . (

). , ) -

x y, x(yz )= x(y + z )= (x + y )z = ( x)y = xyz A
2 2

A,

C

(xy )z xy + xz xz + yz (xy )= x( y ) ). 1(

C.
y,
( ( , , ). )
k

= yx = 1.

,

y A,
2

x

xy =

2

A

x

x;1.

,

kk

C,
( . , , , ,

xy 6 x
k k

k

y

kk

1 =1.

,

),

, -

C z]
, ..

. . .

,

,

A

,

-

.

-


73

, .
2

. , 1;x -

C,

A|
SpecA (x). ,

x A.
2

x.
|

xA
2

, , . , (

-

.

, 1
,

,

{

.

,

.

).

.
,
jj

. .

-

0,

x

-

x 1 = nlim x !1
k

n k1=n

(

)

. .. , . )

. ) ,.. (

( , . , ,
2

1938 .

.{-

,

C

jj

6x
j

j

1

,

.


74

..

.. { ), . . , , 3]. ,

(

,

-

50, , , ,

, . -

.

|

. , T det(T ) 6= 0. M (n C ) det( 1 ; T ) = 0, , ,1 n T. , . , .1 ( .2 ). , , , ( ). . .3 ( , .
2

M (n C )
,

n.

M (n C )

det( 1 ; T )

. , ) -

| .4 .


75

.

, .5 . .. , . . .. TEX , -

. .. | . , ..

, ,

TEX,

1.
A|

,

1 .

,

, .

, -

,

(

,

)

.

S Z (S ) def x A xy = yx =
2

S
2

A.

-

y S:
1. ,
),

Z (S2) Z (S1).
(

,

Z (S ) |
,

S1

S2 ,
| -

1.

S A| a;
1
;

S
,

A,

Z (Z (S ))
; ;

.

S

Z (Z (S ))
1. ,

b;1 = (a b) a;1 b; a b A.
2

1

(1)


76

..

xA
2

ra = ra (x) def (a x);1 =
;

ax
,
;

(1) ra ; rb = ;(a ; b) ra rb .

.

,

axbx
; ;

(2)

z1 z2 ::: zn n zk =1 (1 6 k 6 n)
f g

A,
(3) (4) (4)

n X

, (4). ,

k

=1

m zk =0

(1 6 m< n): , | (3) (4) + un;1 :

m,

zk

; wk = zk 1 ,

n.

,

n-

(3) 1

.

n

'n (u) def 1 + u + u2 + =

2(
n
.

.
n;1 X
0

).
z

xy

2

A

-

X xk yn;k;1 = z 'n(zx) 'n(zy)
z=z
k

(5)
-

(5)

x=y , X n2 xn;1 = z 'n (zx)2:
z

(6)


77

.

3.

X2 n2 xn;1 =(1 xn )2 z rz :
;

,

z=z

k

zx
;

-

.
, 1 ; wx
w

X n2 xn;1 = w 'n(wx)2:
,

,

w

z

(7)
fg

z;1 .

z,

f

(6)

w

g

(1 ; wx);1 = z (z ; x);1 = zrz : (1 ; wx)'n (wx)=1 ; xn , 'n (wx)= (1 ; xn )zrz . , X n2 xn;1 = w 'n(wx)2 = =(1 ; xn )2 . 1,
w

X
z

2 z rz

A|

(7)
;

C
2

n xn;1 =(1 xn )

Z
T
j j

, zk = k |

r 2 d n:

(8)

|

Tdef =
1, . . .

2

x
. ,

, n| T,

C
,

=1 SpecA (x) ,
2

n-

1=n.

. -

x A, . .
2

C

( 1 ; x);1,

r

(8)

. | .

.

,


78

..

2.
4.
.
f

,
kg | k +l

-

,

6

k

l

(9) (10)
.

kl
, ,

.

lim k!1 1=k = inf 1=k k kk
f

1=k

(9),

m.

.

k

g

k>m,
1=k

k = ms + r,
1

, 0 =1. 0 6 r< m. (10)

, -

k
.

k
!1

6

r

=k

s=k m

:

1=m

m

.

,

m
. -

A|
1. 2. 3. 4. , 1. (1) = 1. 2. (xn)= (x)n 3.
: :

p
j j

p(1) > 0. p( x)= p(x) xy A C. : p(x + y ) 6 p(x)+ p(y ) x y A. : p(xy ) 6 p(x) p(y ) x y A. A
2 2 2 2

:

A

1

C

,

-

xA
2

n. A
.

xA
2

5.

|

.

p

|

(x) def nlim p(xn )1=n = !1
| .


79

.

.
, (xy ) 6 (x) (y ). , , . (xk )= (x)k .

p

xy = yx,
.

.

,

,

.

A|

,|

x= 0 1 00
, ( , . ) . ,

y= 0 1 00
, . ,, ,

. (a) < 1 (

A|

3.
, . (1 ; a) b =1 1 ; a.

| ),

.

,

,
-

6.

(a) < 1, (b) < 1 ; 1 (a) :

, b =1 + ab, (b) 6 1+ (a) (b):

C Spec A(x)
n

x

.

x A.
2

,

r =( 1 x);1 :
;


80

..

7.

x
,

!

,

(r ) |

,

.

.
;

, )r );1 r :

,

-

r =(1 (
, ,
j ;

;

(r ) < 1, , 6,
j

,

-

(r )

;

(r ) 6 (r ; r )= =; (r r ) 6 2 6 1 j; j; ;j (r ()r ) j .

,
,

T
A
, |

.

C.
xA
2

. . -

SpecA (x) 6= ?

A

.

.

,

A

, , 5, | .

T

1, . . x 2 A. (x) = 0, 0 2 SpecA (x). , (x) = 1. 7, . . . (r ) 6 c. 3.

x
,

,

-

c> 0,

T
(x) = 1,
2

x.

-

T
-

-

.

.

,


81

: , ). .
;

, , ,
;

, ( ,
j j

, , ,

A|
,

x 1 < 1,

y =1 + x + x2 + ::: (1 x)y = y (1 x) = 1. A
, 1;x , ,

, . . -

A
j j j j

> x 1.

,

4.

:::

. ( , ). ,
n
!

,

.

,

. -

,

C

n

M (n C )
,

T: C

C.
n

jj

.

B = B (C n ) | n.
k

2

C

n

,
k

TB
2 j

-

T def sup T =
jj
=1
j

, . (. )

,B

,

.

B.


82

..

(

), dim(A) = n. C n. , . ( )
2

A( aA

,

).

!

A

Ta : x

B = B (C n ) A B, A
,

xa. -

C
TB det(T )
2

n

. ,

B = B(C n ) M (n C ).
, , det(T ) 6= 0. ) |

,

-

T

.

,

SpecB (T ) , .

(

det( 1 ; T )= 0: ,, , n

B = B(C )
, , . ,
n

.

, , ,

, .

-

TB
2

-

f ( )=
,

+

1

n;1

+

+ n;1 + n . -

n=4

0 B B @

;

1 0 ;1 00

0

0 0
;

4 3 2 1

1

+

1 C C A


83

f g C z ], q, g = fh + q ,
2

,

C z]
deg(q ) < deg(f ) ( ;1). , :
2
2

. . ,

. ,

h

0,

(f ) (f )

,

h C z].
(f )), ,
2

(f ) g 2 (f ),

f gh
(

f
2

(f ), ,

(

.

)
-

g1 g
;

(f ).

g1 g
,

2

C z] (f ).
deg(f ).

, , -

C z] (f ) |
,

,

( | . , ,

f
, deg(f ) = 1,

) ,.. .

f
:

.

.

,

-

-

,

5.
30, , , . ( , , , . ) , |

-


84

..

. , . . . ( ., : .. .. 10 ( . 1], .. .. |

.. , ,

.. ,| . . 3]

. , , , ,

:

. , ,

60-

, , 2].

4]). )

.

,

, .. ,

. ., .. // . I, 2(12), 1946. . 48{146. 3] Rickart C. E. General Theory of Banach Algebras. Princeton, N.J.: D. van Nostrand. 1960. 4] Rudin W. Functional Analysis. N. Y.: McGraw-Hill. 1973. . /. ... . .. . .: . 1975. . .,

1] 2]

Gelfand I.

Normierte Ringe //

. . 9 (51):1, 1941. . 3{23.


85

..
| , .
C

,

,

( .

)

-

.
p(x)= xn + a1xn;1 + a
i
2

+ an

a

i

2

R

R,

)

p(x)=
i pj qi
2

Y

:

(
(x
;

-

i

)

Y(

x2 + pj x + qj )
, . . -

R.

-

,

. ,

.

1.
. .

(

.

)
.

-

-


86

..
. ) ,

k3

.

n n>3

p. P
k

n =1 2
( -

k:
+ ak :

Pk g = xk + a1 xk;1 + a0 =1. P
k

ai

-

3

Pk = Rk g (a1 ::: ak )
7!

(a1 ::: ak )

Pk .

(

)

-

-

k

: Pk Pn;k ! Pn k :(g h) 7! gh

, k =1 ::: n ; 1, . ,

Pn Z=
n; k
1

Z Zk :

.

k

k, -

1.
(

=1

n,
,

ZP
.)

n

.

.
':
R

Z = Pn .
. , ,
k

2.
!

R,

x .

7!

sin x

2.

.


87

.

(
Rn.

P

k

Pn;k =

,

k

?), . + amk + bmn;k

-

gm = am 0xk + am 1xk;1 + hm = bm 0xn;k + bm 1xn;k;1 +
= bm 0 = 1, , 1) tm =maxfjami j jbmj jg ij 2) , m.
m
0

a

!1

m (gm hm )

!1

, ,
;

, 1) 2)
j j j j

,

:
j

j j j j

a

,

mr

j

j

bms

j

i
j j j

bms = O( bmj )), ami = o( amr )( (i
j

gmh

,

m

s r (0 6 s 6 k, 0 6 r 6 n k) m ami bmj amr bms j (0 6 i 6 k,0 6 j 6 n k) : amr = O( ami ) ( , (i j) , , bmj = o( bms )), j) . u 6 r v 6 s. xn;u;v j j j j ; j j j j j j j j

.

!

3.
,Z|

Zk ( ,
.

, Z)
. ,

Pn .
. -

Pn =

Rn

: .

Z = Pn .


88

..
f Zk |
2

,

h

g = xk + b1xk;1 = xn;k + c xn;k;
1

f = gh

1

+ + bk + + cn;k :

3.
| (
(g h) 2 Pk Pn;k
k

(
: Pk Pn;k = Rn
!

) -

Pn =

Rn

. , ,

4.
.
.

)

d q
2

k

gh
,

Pm m 1. l
;

Pm ,
k

q + w,
P

w|

,

:

l.

(g + u h + v )
Rn

7!

gh +(gv + hu)+ uv: d k:
7!

= Pk;

1

P

n;k;

1

3

(u v )

gv + hu
3

2P

n;

1

= Rn:

,

4

.

R(g h) Z
= 1.

:

g h. f. n

d

k

-

5.
.

fZ
2

f = gh, (g h)=1.
.

6.

fZ f =(x a)n
2 ;

f = gh, (g h)= , n =2l, f =(x2 + bx + c)l .


89

Y
.

Pn | (
.

)

,

7. Pn Y
n

.

Pn Y (
n

,

,

3).

,

ZY
n n

.

P

n

n

Y
n

: ( 5)

Pn Y (
n

Z Y !)
n

Z Y = Pn Y:
, Z = Pn . . .. , .. .

..


90

..

, : .. , 1]). ( , . ..

. | ( ., .. , .. . ,

, ,-

).

1. .
,
96{01{01104)

. .
(

|
INTAS{94{4373.

,
-


91
M

n+ k

| ( > 0) :
M

n

k

f

M

n+k

!
f f

M

n

| ( ,
n

n

+ .

k

n

,
f

).

( |

,

f

n

).

,
f

.
f

.
n

f

:

R

!

R

fx

( )=

x

+

ax

1

n;

1

,

+

+ n?
a

f

) ) .

, ,

1.
:

f

:

M

n+k

!

.

M

n

f f M

n

.
1. 2. .
a

,
M

.

. -

n

.

,
f

.

M

n

|

.

. ,
f y f

( i)
x

a

| ( i)
y f M

n+k

M

n

.

. ,

i

fz

), ( )= .
f a

(

x

i

.

, ,

( i)
x

z

| , .-


92

.. ,
a

f

.

f

.

f a

. -

1 ,

,
f f

. . .
1

1.
f

1 |
f

.
C
fz

:

C

.

!
, .

( )=

z

n

+

az

1

n;

+
f

. + n.
a

( . 2]). 2. , (C )=
f

C

, :

.

.

.

, -

|

..

1. :
). :S i=1
i n;1

n

.

>3

-

Ri

(
i

i

:

Ri Rn;
i

i

Ri

Rn;

!

!

Rn

()
fg

!

f

g

Rn

. ,

. , 1. .
f g

, , .

.

-

i

()
fg

, 1 ( . 1]).

-


93
n

1]

-

(

, 2 1. . , ), | 1 , ). ,

( + )n, ( + + )n=2. ). ,
x

2

x

a

n

ax

b

| 1,

(. 1

.
, | . , . ( . ,

,

( . 4]) ,

(

) -

2.

,
: ,
f

.
,

,

2.
f

:

M

n

!

M

n
N

N

n

| ,

.

n

|
n

((

fM

)=

N

n

). : 3]).

,

|

(.


94

.. 1) . 2 )
f f

( ()=
n

2| |

.
f

( . :
C

C

fz

z

+

az f

1

n;1

z

!

z

n

,

(3]): + + n. ,
a n

!
. ,

, . -

2.

.

2.
n

R2.
u

.
n

x

2 1

. ++
ax f

2
b

n

()
ab

:(R2)

!
,
u

R2n
u

( |

f

1 f2

:::

fn

)

7!

f

2

fn :

1.
RP 2.
u

.

. f ::: f

^ :( ^
u

RP 2)

n

!

RP 2n

( 1]

n

])

7!

f

1

f

n

]

:

(

RP 2)

n
B

u

^
2

.
RP 2
n

,
R2n
B

u

1

, ,
B

, ^( 1)
uB

.
u

2

. ,

(R2)n

u

^

R2n
u

. ,

u

^. 2.
u

n

u

!.
R2)

(R2)

n

1(

-

, .


95

u

.

. : .
p

p

=

n Q( 2 + ) | i=1
x i

u

. !
n: u

i

.

( + ) =1
i i

2 x

n

:::

| ,

1.

(

. .

), 2

.

,

,-

1] 2] 3] 4]

.. .| . .. . | .: . 1975. . ., . ., .. . | .: . 1979. . ., . ., .. . . | .: , 1982.


-

:

.
,

.
,, ,.
, , . . ,

.

,

.

,

. .

. , ,..

, . , , . . ,

,

, -

,


97

(

S1
.

R2,
,

).

-

, f : S1 .)

?( , , . f_ : S1 . f g
,

! R2

t

N (f ) f_(t) , N (f ) ,

1 (R2

.

,

;f0g) ! Z.
, .
).

! R2 ;f0g

|

R2
, . , ,

(

S1

-

: N (f )= N (g ).

, n. n = 0,

jnj

. .

n n 6= 0, , N

!)

.

, ,

Sn

n (Vn (Rm)) 3)) = 2 (S )=0 3 2 (V2(R

Rm

. , , n-

Rm (


98

.

.

. 1.

, . ( , , n. ,

, ( , . , .) , ,
Z

. , , ), , n ( , )| .

, -

-

. 1. -

,

K 2ds , , ,.. . x(t), y(t)|

K|

, ds | , 1 ,

_ x(t)2 + y(t)2 =1 _


99

t. ) , x(t)=cos '(t) y(t) = sin '(t): _ _ ( '(t):
Z

:

x(t)=
Z

t
0

cos '( )d
Z

y(t)=
1 0

Z

t
0

sin '( )d : (1) (2) '(t). :
-

x(t), y(t) sin '(t)dt =0 |

1 0

cos '(t)dt =

n = N (f ) '(t),

,

'(t +1) = '(t)+ 2 n n 2 Z , K = '(t). _ 0 1],
Z

1 0

'(t)2dt _ (1)
1)

(1), (2).

,

, 1, 2, L(' ')= '2 +2 1 cos ' +2 2 sin ' __ { d @L @L dt @ ' = @' : _ (4) (3), '=
1)

(3) (4) .-

,

., , . 56. .:

, 1986.

..

;

1

sin ' + 2 cos ':


100

.
'
_

.

'

. 2.

'= '
2 0 2 1

;

sin(' ; '0) sin '0 = 2= : '0, '(t) , '0 = (5) . -

= , ,

+

2 2

cos '0 = 1=

=0.

,

6

=0 '=

;

sin '

=0| , . .

' = 0, . . '(t)

6
, '(t) | (' '), _ .)

, , (1) (2).

=0. { .

,

, (5),

, , ,.. '(t)

-

('(t) '(t)). ( _


101

,

:

(5)
2 E (' ')= ' _ _2

;
(5)

cos ' = const: E = const , ( . | , , (5) (1) (5)

(

. 2). ( .) U
max

,
max

) E
|

max

. ,

'(t) _ ,

,

E>U '( _
1 0

,

.

' _

),

;

Z

1 0

cos 'dt =

Z

1 0

d1 ' dt (') ' dt = ' _ _ ( . ,

;

Z

0

'' _ '(t) |

(2)), .

,

'=' _ .

, (1), : Z1 1 d1 ' dt ( ' )dt = ( ' )2dt: _ _ 0' , , . , , 6= 0 (5)

A

B

A

B

A

B

A

B

. 3.


102

.

.

(5), , , , . , . , , . . , , , ,

, . AB . 180 . ,

6

=0 . , , , , .3 , ? . -

.

, a priori . ,

, . ,


103

:
..

(, , , ,

,

. ,

). , , -

, . , | .

, .. , ,

.

;1

. , . . -

, , .( .) , , | | : , | ,

, . , , . . ,

,

, . ,

.

(

, ).


104

..
,

,

F (x)= x | x> 0 ( ). G(x) |
,

-

F (x)

(1) (2)

G(1) = 0: F (xy)= F (x)F (y):
| G(xy)
1

,

G(xy)=
= G(y )+

Z xy

G(x) G(y).
Zy
1

,

Zx
1

F (t)dt =

F (t)dt +

Z xy
y

(1) (2)

xy.

-:

F (ty)d(ty)= G(y)+ F (y)y = G(y )+ y +1 G(x):
= + 1. G:

Zx
1

F (t)dt = F (t)dt =
, , (3) (4)

G(xy)= y G(x)+ G(y): xy = yx, y G(x)+ G(y)= x G(y)+ G(x), G(x)(y ; 1) = G(y)(x ; 1):
,

G(x) = G(y) x ; 1 (y ; 1)
.. .

G(x)= c(x ; 1) c.

(5)


:

105

(1)

= 0, (3)

x = 1,

(4)

(5)

|

, x ; 1= 0: (6) -

G(x),
(6) . , , , , .

. (3)

G(xy)= G(x)+ G(y): 1=x,
. ,

G c
. (5).

F.
: . : = ;1

, -

, . , , =0

(3).

G(x)
,

y.

x
.

y). G(x)
, .

(

xy:

. -

P| Px = ax + b c, Px ; c = a(x ; c)
:

(7 ) (7 )

(7 ) P

c = b=(1 ; a):

c.

(7 )


106

..
,

6= 0,
.

y. y
, (3)

y G(x).
,

(3)

-

PQ
( . . Qc | | , )

.

x

-

y> 0.

Q, (3) ( . (7 ){(7 )), G(xy) ; c = y (G(x) ; c) G(x) ; c

P

P.

. .

, c| P (Qc) = Q(Pc) = Qc, c. ,c

c

.. ( : .( ,

),

.

y

, , , ,

(3), (7 ) (7 ) . , , .

G(x) ; c. c = G(x)=(1 ; x ),
. | . | ,

x y, G(x)= c(1 ; x ).)
, ,

. :

= ;1 . |

|


:

107

1:
:

G(x) G(xy),

G(y)

(3), . (

.

x> 0)
, ,

G(x),

(8)

G(xy)= A(y)G(x)+ B(y) A(y) B(y). G(x) (8),
(

G(x)+ const A(y)).
(9) (10) . -

x = 1,
, (8) (10) ,

G(1) = 0: G(y)= B(y):

,

,

G(xyz)= A(xy)G(z)+ G(xy)= A(xy)G(z)+ A(x)G(y)+ G(x) G(xyz)= A(x)G(yz)+ G(x)= A(x)A(y)G(z)+ A(x)G(y)+ G(x): , , G(z) | , A(xy)= A(x)A(y). A(x) A(x) | G(x)|
(3): G(x) , . , , , . (8) y =1. . (8) . A(x)| (10) (9) , , , -

-

B(x),

A(x)


108

..

2:
. , , . . , = 0,

|
e
)
x

, ,

(

-

e (x+y) = e xe y (x + y )= (x)+ (y ): H x + y, H (x + y)= e y H (x)+ H (y)
, (3). | .

-


109

,
..

4
, -

ax AB
, ,

2

+

bxy + cy

2

+

dx + ey + f

= 0: , , -

lBC lAD
, ,

ABC D
.

. lAB = 0.

lAB lCD
=0

l

AB lCD +
.

lBC lAD

ABC D

.

A B C D,

1. .
lAB l

,

ABC D

y
(

=0

f AB P (x y P xy

CD + lBC lAD = 0: . , AB AD x=0 ( ). f=0{ . lAB lCD + lBC lAD = ylCD + xlBC

,

AD

).
;

)= f (x y )

,..

x P (x y
=

ylCD (x y

)

;

f

lAB lCD

= 0, ) = xy Q, , xy 6= 0. +

Q

y

xlBC (x y
= 0.

) ,

{

lBC lAD :

Q

. = 0, . .

C


110

..
K M O B B

A

C

L N A D

. 1.

. 2.

,
f lAB l
CD = 0

1.
+ ,

f
=0

=0

g

=0

{

, g

ABC D.

ABC D
, 1

.

.
, = 0. , ,

ABC D,
-

lAD lBC
.

f

=0

g

=0. . -

,

,

.1

.

AB

2.
AB h
: =

, .
f
+

KL MN . f
. = 0,

g

.

g

=

KLM lKL lMN AB

=0

KN O. N

ML h x
, = lKN

O

-

lML

= 0.

AB

O


,

4
, ,

111

h = bx c O.
2
;

.

.

f

=

h

=0

x

2

;

ag

=

x

2

,

,

.

3.

,

4

.
AB

,

O.

AB

O .
-

,

.

.

KLM N

K LM N AB . PQRS
0 0 0 0 0 0

4.

0

0

,PQRS P Q R S PQRS .
0 0 0 0

.
lKLlMN
+

1, =
0

lKN lML = f

l

K L lM N +
0 0 0 0

0

lK N l
0 0

ML
0

0

:
0

AB
(

x p)(x q
; ;

)+ (

x r)(x s
; ;

)=

0

(

x p)(x q
; ;
0

)+ (
0

x r)(x s ):
; ;

(1)

(1)
00

, ) = (x
;

s=s:
;

(

x p)(x q
; ;

r

)(
0

xs
; ;
0

)

;

0

(

x s )]:
;
0

(x

,
;

r):

PQRS (x s)

;

(

xs

)=0

:

,(

x p)(x q) ,s= s:
; ;
0


112

..

,

f

= 0.

f f f f
1

ABCDEF , ABC D, AF E D BE F C
= = =
1

: (1) (2)

lAB l lAF l l

CD + ED +

1

lAD l lAD l l

BC EF

2

2

3

BE lCF +
(2),

3

BC lEF

:
2

(3)

(1)

l

AB lCD

;

2

l

AF CD

lED

=(

1

lBC

;

lEF )lAD:
.

X
1

|
2

lAB l
;

lBC

lEF

BC EF

CD AF
.

,.. ,

.

lAF l X
,

ED ,

AB ED X l l
BC = , EF .

lAD l
EF
1

X
=
2

-

lBC

lEF

.

.
1

1

2

l

BC =

2

FA

,

5(

).
.
AF
.

ABCDE F AB DE , BC EF , CD BE , ED CF , AD BC
, (2) (3), ,

2 1

lAD
.

=

l

AD =

3

lEF

(1) (3), 3 lBC . AB CF , CD BE , AD EF ,
2

1

l

BC =

l

EF
. ,

2

lAD

=

3

lBC
,

1

l

AD =

3

l

EF

X

{

12

l

BC (x)lAD (x)=

23

l

EF (x)lBC (x)

:


,
2

4
1

113
3

l

BC (x),

l

AD (x) =

lEF (x)
,

( ,
2

lBC (x)

= 0).

-

,

,

.

.

.

ADEBCF ADCF EB
, .

.

6(

).

ABCDEF ABC DE F , .

-

ABC D AF E D BE F C . ABF E ABDC CDF E .

ABF DC E AE F BDC ABDF E C
60 , . .

7(

).

.
-

8.
.

,
,

,
-

.
, =0 . ,

x a
+

2

+

y

2

+ ,

c1

= 0, = 0.

c a

1

= 0,

a1 = b

+ ,

b

1

). = 0,

+

a1

=

ax2 + by2 + = 0. a1x2+b1y2+c1xy+ = .. a b( a1 = b1 = a1 b1 b + b1. ,
; ; ;

.

-

.


114

..

ABC

9. .
,

, .
ax2 + bxy + cy

H,
,
2

=0

+

a+c

= 0. , ( ) , lAB lCH = 0 . ,

= 0. -

ABC H
, .

,

lBC lAH

10.
F xy xy
. ;. 1. ; 2. 3. 4. , . ; | .

;

.

,

A B C D, lCD + lBC l Fy = 0
AD .

= 0, ,

.

F

=

,

Fx

l

AB =0

ABC D
,

,

-

3

6

,

,

-

D

A B C D. ABC ABC D
;. . , . ;|

,

;| -


:

..

..

) ) )

, )? ?

: ( ,
p
aa

N

-

? .
a b a

ab

S

= f(

xyz

)2

R3

j

x

2

+

y

2

+

z

2

=1g |
(N ) a

R3, j j =
a

|

R3.

.
q1 : : : q

N

(1) a

:::

.
qq

N

-

W

=

X

i6=j j

a

(i)

; a(j ) j
a

ij

ja(i) ; a(j ) j |

,

.

(i)

a

(j )

, ..

,


116

.. ?
. . 1] ,
(N )

,.. ?
. .
N

,

= -

= 4 6 12 .
a

:

( .

,

,
N

N

=5)

(1)

::: a

,
W

N

=

X
.

i6=j j

a

(i)

; a(j ) j

1

N

? : N =2 3 4

|

,

,

N

|

WN

( ). : , ,

.

-

N N

=2| =3| =4| ,
N

N

= 6 12 .

. . -

,

:
P

P

n

,

n

|

,
::

0

=1
P

P

1

,

0

P

1

= 1 (3t2 ; 1) P3 = 1 (5t3 ; 3t) : 2 2 (n +1)Pn+1 =(2n +1)tPn ; nPn;1 : P2 : : : , , . =
t P

2

.


117

.
n

()

X
ab2M

M

P

n

(ab) > 0

:

()
. .
r

() . 484] 2k +1 P (ab)= 4 k =0 1 2 ::: , 2,
k

.

Z
S

-

Pk (ar)Pk (br) dr

=(x y z ) k =0 1 2 ::::
a b2M Pk (ar)Pk (br

X
2

Pk (ab

ab

M

)= 2k4+1
S

Z 0X @
S ab a

()

.

= 2k4+1

ZX
2M

2M

1 )A

,
dr

: =

Pk (ar

) dr > 0:

2

fti gq=1 i

(

ab

).

(

ab

)

t1

<

t2

<


q

,|
q;1

h

(t) ,

q

q

;1

t

1

::: t

q

,
h t1

yt

()

-

( )= y (t1 )

:::

( q )= y (tq ): 2q ; 1
ht h

fti gq=1 i

h

0 (t1)= y 0(t1 )

:::

0(tq )= y 0 (tq )

...
q ).
2
:

yt

. 2(
t

yt

()|

( ).
1
t

1

t

yt

(2q) ( ) ; h2q;1 (t)= y ( ) (t ; t1 ) (2q )!

q

),

,

2q
2

(

t

q

]|

t1 t

::: t

( ; tq )


118

..

,..
y

<

q,

,
yt

(2q)

( )>0

t

1

<

..
.

( ) > h2q;1 (t)
yt

t

1

66
t

t

q

( ). . (
h2 t t

1) 2)
h2

yt

()

2q +1
i

0

h h

q (ti

)= y (ti ) (t0 h)
yt

=0 1

q

0

] )

t

0


1

<


q

6,
h : : : q:

::: q

0 0 h2q (ti )= y (ti )

2

q

,
i

(2q+1) ( ) ( ) ; h2q (t)= y (t ; t0 )(t ; t1 ) (2q + 1)! . t ,

,

=1 2

2

::: t

( ; tq )
i

2

:

()
::: q

t

6= ti

=01

.

;h ( )= y ( ) ; h2q ( ) ; y (t) ! (t)2q (t) ! ( ) 2 2 ! ( )= ( ; t0 )( ; t1 ) : : : ( ; tq ) . , z (t)= 0 z (tj )= 0 j =0 1 : : : q : , , , , q +1 , t0 0( ) z . , 0 !( ) , z (t1 ) = = z 0(tq ) 0( ) , z 2q + 1 (t0 h). 00 , z() 2q (t0 h). 2q ; 1 , (2q+1)( ) = 0. 2 (t0 h), z (2q+1)(t) = 0. h2q (t) 2q , h2q 2q+1 (2q+1) ( )= ( 2q +1, 1, ! , 0= z (2q+1)( )= y (2q+1)( ) ; y (t) ; h2q (t) (2q +1)! ! (t) .
z

:::

= 0. , ,

tq , -

() 2q +1)!.
!


119

.
h

.

;1 6
yt

>

0

K> t<

1

0,

q

|

( )= K (1 ; t); > h2q (t)

2q

yt

()

,

|

yt

( ) ; h2q (t) > 0

;1= t0 < t1 < (;1 1), . . (;1 1). ;1 6 t 6 h. , .

q

6

h<

1. 1. ,

-

()

WN

( )|
1.

, .
h N h

,

1)
h

, ..
m

m

(t) + cm Pm (t)

m

(t)
i

,
c0 >

0:

(t)=

c0 P0 t

( )+

c1 P1 t

( )+

c

>0

2)
h

m

(t) 6 y (t)=(1 ; t);1=
N N

2

;1 6 t 6 1

:

>2
0

WN

N ( )> p ( 2

Nc

; h(1))

:

fa(i)gN , i=1

.

ja(i) ; a(j )j = ja(i) ; a(j ) j2 = pp = 2 1;t

q

p

S

. = a(i) a(j

a

(i)

2 S,

N

a

(i) a(i)
t

; 2a(i)a(j ) + a(j ) a(j ) =
)


120

..
,
j
(i) a
i

,..
j

6=

;

1

(j ) a

:
WN

1 1 = p y (a(i)a(j ) ) > p hm (a(i) a(j )) j 2 2 , ,
ja(i) ; a(j

:

WN

() -

( )=

N X
ij

1

i

N N X 1X = p @ hm (a(i)a(j ) ) ; hm (a(i)a(i) )A 2 ij =1 i=1 = j a(i) a(j ) =1,
c

0

i

=1 =j

)

6

> j

N X
ij i

6

=1 =j

1 p hm (a(i)a(j ) )= 2

1
:

WN

1 ( )= p 2

0

N X ij
=1

1+

c

1

N X ij
=1

P

1

(a(i)a(j ) )+ + cm

:::

N X ij
=1

P

m

(a(i)a(j ) ) ;

Nh

(1)

!
:

c

i

-

WN

1 ( )> p 2 .

;

Nc

2

0

;

Nh

(1)

,

. .

N

=6 12

,

W (6)
(0 0 1). 3 + 12 2.
p

:

, ,

(1 0 0) (0 1 0) W (6) .


121

.
h2

h

2

(t),
yt

, ( )=(1 ; t);1=
2
:

(;1) = y (;1)

h2

(0) = y (0) h02 (0) = y 0 (0) :

-

h2 t

1 ( )+ 1 P1 (t)+ 5 + p P0 (t): 2 6 32 c0 c1 c2 . 1 2, 1 , h2 (1) = 1 + p 2 6 6 5 + p ; 1 ; p = 3+12p2: 1 1 W (6) > p 6 32 2 2 p , W (6) = 3 + 12 2.
P2 t

1 ( )= 2 p ; 1 3 22

.

W (12)
. ,
ab

12

?
p

, 20 |

30
ab

2

.
S

;1),

ab

= +1. = 1+2 5 . : ( 1 0), (0 1), (1 0 ), ( ;1 0), (0 (;1 0 ).p , 2 + 1. , ,p , 1= 5 1. 2: 1 1 1 1 p )= y ( p ) h0 ( p )= y 0( p ): h(;1) = y (;1) h( 5 5 5 5
2
N

.

12

-

-

:

= 6,
W

,

.

(12) = 6 + 15 10 ; 2 5+ 15 10 + 2 5

q

p

q

.
p
:

-


122

..

,..

.

. (ab) > 0. .
1.
N X
x q

? : y (t) > h(t) ,
M

P

ab2M Pk

,

. ,
D

. = fd(i)gN i=1
::: q

-

.

,
k

D

S

-

2 S.

i

P

=1

(xd(i)) 0

k

=1

2.
N X
ij i

q

,
k

D

= fd(i)gN i=1
::: q:

D

S

-

P

=1 =j

(d(i)d(j ) ) 0

k

=1 ,

6

q

, , , 12

, . |

. . | |
N

. ()

. : (k +1)(k +2) (k +1)2
q q q

=

Nq

Nq

( )>

=2k +1 =2k:


123

, .

,

q

=1235

, ,

,.. .

-

(x 2 +
xyz

y

2

+ z 2 )s =

N X k
=1

(

xa

(k) 1

+

ya

(k) 2

+

za

(k) 2 3

)s

.

,

, 1859

,
x1 x

24(x2 + x2 + x2 + x2 )2 =16x4 +16x4 +16x4 +16x4 + 8( 1 2 3 4 1 2 3 4
8

2

x

3

x

4

)

4

, ,
k

. . , . , (a(k 1 2N
) (k) 2

-

.
a a

.

(;a(k) ;a(k) ;a(k)). 1 2 3

,

(k) 3

),
(k) 2 (k )

.,.. f (a(k) a(k) a(k))g 1 2 3 ( (a(k) a(k) a3k)), 1 2
a3

f (a(k 1
N X k
=1

)

a

)gN=1 k
(k) 3

),
(x2 +
y

q

(
1

S

,

2

+ z2)

q

;1
2

=

c

(xa(k) + 1

ya

(k ) 2

+

za

)q;

.

c

|

,

,
. | , |
4

.

-

(x2 +

y

2

6 5X + z 2 )2 = 6 (a(k)x + a(k)y + a(k) z ) 1 2 3 k=1


124

..
, ,
f (a(k 1
)
a2

,..
(k )
a

(k) 3

)g6 k

=1

.
.
a a

. 2
a
q

)
::: a

N

f (a(k 1
k N a x a

(k )

N d )gk=1
1

,

1) ( (k))2 +( (k))2 + +( (k))2 =1 1 6 6 1 2 d 2 2) ( 2 + 2 + + 2) ;1 = PN=1( (k) 1 + (k 1 2 1 2 d k , .
x x x C C d

)

x

2

+

+ a(k) xd )q; d
q

-

3. (x +
2
y

|
2

5-

.

)s

s+1 (2ss!)2 X(a(k) x + a(k) y )2s = (s + 1)(2s)! 1 2 k=1 , f (a(k) a(k))gs+1 1 2 k=1 (2s + 2){ , . : k , k{ .
2

-

2 x1
d

+

x

2 2

+

+ xd =
f(a(k 1

d X k
) =1

(a(k 1

)

x

1

( + a2k

)

x2

+

+ a(k) xd ) d

2

|
a

,
(k) 2
::: a

(k)

d d )gk

=1

(a(k))2 +(a(k) )2 + +(a(k) )2 = 1 16k6d 1 2 d (i) (j ) (i) (j ) i 6= j: a + a(i) a(j ) = 0 1 a1 + a2 a2 + dd kk1,

|

, .


125
n

=3 ,

f (1 0 0)

(0 1 0)

(0 0 1)g 98280

: . , 11 -

24,

(x2 + 1 . , .

+

x24

2

)

5

:

, .

1] Whyte L. L. Unique arrangements of points on a sphere // The Amer. Math. Monthly. 1952. Vol. 59, no. 9. P. 606{611. 2] .. . .: , 1974. 3] .. , . . 1958. 4] Reznick B. Sums of even powers of real linear forms // Memoirs of Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 96, no. 463.


126

..

,

{ . ). ( , , , ), | , | , ( ,

-

-

-

,

. . . , ,

O(log max(p q))

:

n
, !

,

O(log n)
: ,

,

p=q

, -

.


127

1.
( ) . . , . , -

N

F

,

Q+ {

q0 q1 ::: ql ] def q0 + =

1

q1 +

... + 1

1

(1)

,

ql > 1 (

q0 = 1

,

q

l

q0 +
(1).

l = 0)

+ ql

1 (ql ; 1) + 1 .

-

.
(

h(r) q0 + + ql

r
): . ,

1. h(r) 2. h(r)= 1 3. 2.
r 2 Q+

,

= h(r)+1.

1 : h r = h(r) h(r +1) =

r =1.

1 = r(n)+ 1 . r (n),

r(1) = 1,

,

n2N

r (n) :r(2n)= r (n)+ 1 r (2n +1) =

n2N

.


128

..

1.
n 2 N, h(r).

r(n)

. 1)

. ,

, ,

r (n)= r.

r 2 Q+ h> 1
0

-

r =1,

r 6= 1, h > 1. h(r ; 1) = h ; 1 , n 2 N, r(n ) = r ; 1, , n= 1 = 2n , r(n) = r (2n ) = r (n )+ 1 = r. r < 1, r > 1 ;1 ; ;1 h = h(r) = h r = h 1 ; 1 +1, h r ;1 = h;1 r 1 , n 2 N, r (n )= r ; 1, 1 = r. , n =2n + 1, r(n)= r(2n +1) = r(n )+1 2) , m2N r(n) 6= r(m) n 2 N n 6= m m. : n = 1, 6 n = 2n n 2 N, r (n) = r (2n ) = r (n )+1 > 1, n = 2n + 1 1 n 2 N, r (n)= r(2n +1) = < 1. m> 1, r (n )+ 1 m 1 > r (m), n n =2n +1, n 2 N, , , n =m, 6 r(n) ; r (m)= = r(2n +1) ; r(2m +1) = r(n 1 ; r (m1)+1 = )+1 r r n) = (r (m (m ) ;r((n )+ 1) 6=0 ) + 1)( .F , , r (n) ,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

h(r) < h h(r) = h h = h(r) = h(r ; 1) + 1,

n = 1,

r (1) = 1.

h(r) = 1

, r, r > 1,

,,

N,

,

Q

+

n(r).

-


129

3.
, , ,

,

n = n(r) r = r(n).
. ,

r

n

-

n 2 N r 2 Q+ , r = r (n) n = n(r). n : n =2m0 + +2m1 + +2m , 0 6 m0 < < ml, r : r = q0 q1 ::: ql 1 ql ], ql = 1, , l = l + 1, k 1 6 k 6 l, mk = q0 + + qk .
l
0; 0 0

2.

0

,{ ,

, .

.

,

,

.. ,

n,
0

-

: n =1=20 r = 1 = 0 1], l = 0 m0 = 0 l = 1 q0 = 0, . n> 1 , n 2 N n 0 n =2m0 1 + +2m 1 , , r = r (n ) r = m0 ; 1 m1 ; m0 ::: ::: ml ; ml 1 1], r = r +1 = m0 m1 ; m0 ::: ml ; ml 1 1], . n , n = 2n +1, n 2N n 0 0 0 0 0 0 ; l; 0 0 0 ; 0 ; 0 0 0 0 ; l; 0 0 0 ; 0 ;

,

.

n (r )

r r(n)
,

n

, ,

O(log max(p q ))
, ,

,

r = p=q

. , . ,

n n O(log n) r,

,


130

..

,

.

4.
, .
r(n) r(n)

, , :

.

,

-

1.

k2N
r (4k +1) + r(4k +3) = 1:

1+ : r(4k +1)+r(4k +3) = r (2k)+ 1 1 1 + r(k)+1 =1. F 1+ 1 + r (2k +1) + 1 = r (k)+ 2 1 +1 = r(k)+2 r(k)+2 r(k)+1 2. k2N :

.

,

r (4k)+ r(4k +1)+ r (4k +2) + r(4k +3) = r (2k)+ r (2k +1) + 3:

(2)

1 , r(4k)+ r (4k +1) + r(4k +2)+ r (4k +3) = r(2k)+1+ r (2k + 1) + 1+1 = = r(2k)+ r (2k +1) + 3. F , 3=2 r(n). R(n) k P r (k), r (n), . . R(n) = 16k6n R(n) ; 3 n , 2 , , R(n)= 3n ; 1+ (n) , = 2 ) (n), (n2 ; 1 .

.


131

3.

m2N
1 2

:

R(4m +1) = R(2m +1)+3m +

1; 1 2 (r(m) + 1)(r(m)+2) 1 3 R(4m +2) = R(2m +1)+3m + + 2 r(m)+2 5 R(4m +3) = R(2m +1)+3m + : 2

R(4m)= R(2m)+ 3m +

(3)

:
R(4m +3) = R(3) +

.
k X

(2),

m>1

k X =7+ (r(2k)+ r(2k +1)+3) = 3m 2 16k6m k X 5 =3m + 2 + r (1) + (r(2k)+ r (2k 16k6m = R(2m +1) + 3m + 5 : 2

16k6m

(r(4k)+ r(4k +1)+ r (4k +2) + r(4k + 3)) =
k X + 7 + (r(2k)+ r (2k + 1)) = 2 16k6m k X 5 +1)) = 3m + 2 + r(k)= 16k62m+1

m=0

m m ; 1, m>1 5 = R(2m ; 1) + 3m ; 1 . : R(4m ; 1) = R(2m ; 1) + 3(m ; 1) + 2 2
, : 1 ; 2 + r(2m)+ 1 =

,

= R(2m)+ 3m + 1 2 1 1 R(4m +1) = R(4m)+ r(4m +1) = R(2m)+ 3m + + 2 r (2m)+ 1 = = R(2m)+ 3m + 1 + 1 2 r (m)+ 2

R(4m)= R(4m ; 1) + r (m)= R(2m ; 1) + 3m


132

..

R(4m +2) = R(4m +1)+ r (4m +2) =

1 = R(2m)+ 3m + 2 = R(2m +1)+3m

+r +3 2

1 + r (2m +1)+1 = (m)+ 2 + r(m1 : )+2
R(2m), R(2m + 1)

:

R(4m + 1)

R(4m +1) = R(2m +1) ; r (2m +1) + 3m + +

= R(2m +1) ; r (m1 1 )+ = R(2m +1)+3m + 1 ; 2

1 1 2 r (m)+ 2 = 1 +3m + 2 + r (m1 2 = )+ 1 : (r(m)+ 1)(r(m)+2) :

F

4.

m2N
(4m)= (2m)+ 1

r(m)+3) (4m +1) = (2m +1) + (r(r (m)(1)(r(m)+ 2) m)+ (4m +2) = (2m +1) + r(m2 2 )+ (4m +3) = (2m +1) ; 1 :

(4)

(3)

6 n< 2
n =2

l+1

3.

.F

3n ; 1+ (n) 2

.

R(n)

l+1

l. : r(1) = 1 r(2) = 2 r (3) = 1=2, R(1) = 1 R(2) = 3 R(3) = 7=2, , , (1) = 0 (2) = 1 (3) = ;1, . l =0 l = 1

; 1.

n = 2l,

l>0 j (n)j 6 l,

n
(n) = ;l {

2l 6 (n)= l

.


133

l > 1, , j (n)j 6 l ; 1 2l 1 6 n< 2l , (n)= l ; 1 n =2l 1 , (n)= ;(l ; 1) n =2l ;1. , (4), (2l )= (2l 1)+1 = l (2l+1 ; 1) = (2l ; 1) ; 1 = ;l, . 2l 2l, 2l +4 6 n 6 2l+1 ; 4, l 1 < 2m < 2l ; 1, , 2 , ;(l ; 1) < (2m) < l ; 1, (4) (n)= (2m)+ 1, ;(l ; 2) < (n) ; ; ; ; ; ; ;

5.
, . , , 1. , , ,

Q

+

, : , , -

N


134

..

, .

r
1=r ,
nnN
2

4. .
r r r{

r

. .

1

, ,

r+1

, n = n (r ) . .

,

n

{

, ,

r

1 6 m< n. r = r (m).
0

{1 n> 1 ,

n,

,

r = r (n)
n

n

,
1

n.
0

r = r (m).

n

n. F

, m n , n =2m, m 0 0 0 0

r (1) = 1,

.

1=r
r+1 r

.
:

,
1,

r (m)= r( m )+1 > 1. 2

r> 1: r> 1
r

,

r

m
-

,

.

r

1=r ,

6.
, ,

-

1.
;

,

Q+.

2h 1 6 n(r) < 2h . 2. , r 2 Q+ 0 < r < 1, 1 ; r). h(1 ; r)= h(r) n(1 ; r)= n(r) + 2 sgn( 2

h2N h,

n(r)

2h 1
;

-


135

..
. , , . , ,
n

, . ), , -

..

,

, (
f +g =h

,

n

>3
f n + gn = h f , g, h

.
n

xn + y n = z

, .

,,,

.

.

.

1(

,

).

a(x), b(x)

c(x) |

a(x)+ b(x)+ c(x)= 0: n0 (abc) ; 1, n0 |

.

,

.
,

f = a=c g = b=c. f f + g + 1 = 0. f = ;g .
0 0

g|

-

bg =f = f = ; f =g : a g
0 0


136

..
fg Q R(x)= (x ; i )
0

r

i

2 Z.
Q

Q
r
i

(x ; i)r ,
i

a(x)= (x

; i )a , b(x)= Q(x ; j )b , c(x)= Q(x ; k )c .
i j k
0

R X ri = x; : R i

f =f =
0

;x x; i X bj X g =g = ;x x; j
N0 =

Xa

i

Xc

;

k k

; k:

ck

Y

(x ; i )(x ; j )(x ; k )
f =f
0

n0 (abc)

n0 (abc) ; 1. a(x) b(x)

g =g
0

,

-

b f = ; N0 f=g a N0g= n0 (abc) ; 1.

0 0

,

c(x)

a(x) b(x)

. -

1

2(

2{4.

,

1 deg(f 3 ; g 2) > 2 deg f +1: . deg f 3 6=deg g 2, deg(f 3 ; g 2) > deg f 3 = 3 deg f > 1 deg f +1: 2 , deg f 3 =deg g 2 =6k. F = f 3, G = g 2 H = F ; G = f 3 ; g 2. deg H 6 6k. 1, max(deg F deg G deg H ) 6 n0 (FGH ) ; 1 6 deg f +deg g + deg H ; 1

.

).

f

g|

-

,


137

..

6k 6 2k +3k +deg H ; 1: , deg H > k +1 = 1 deg f +1. 2

.

f (t) = t2 +2 g (t) = t3 +3t

3.

.

|

f, g h |

.
n

,

f n + gn = h

f n, g

n

hn

.

n

> 3.
1, -

deg f +deg g + deg h ; 1: , n(deg f +deg g + deg) 6 3(deg f + deg g + deg h ; 1): , n< 3. f +g = h fgh , 1. > 2.

, 26 6

6 6.
(

4.

|

,

f +g =h f, g h.

): (2 2 ), (2 3 3), (2 3 4) (2 3 5). . a, b c | , 1, a 6 a+b+c;1 b 6 a+b+c;1 c 6 a + b + c ; 1:

(1) (2) (3)


138

..
, (a + b + c) 6 a + b + c 6 3(a + b + c) ; 3 1 , < 3.
a b+ c

> 2, 6 b + c ; 1:

= 2.

=2

(4)

(4), (2) (3),

6 3(b + c)+ a ; 3:
(1),

,

6,
(b + c) 6 4(b + c) ; 4 3.

, 6 4, . . = 2 ,

=3,

6 5.

=3

(2) (5)

2 6 a + c ; 1: (4) (5),
b a c

6 2c ; 2:
, (3) ,

(4)

6 3c ; 3: 6 6c ; 6
. .
f +g = h ,

6 5.
, .
1989.
1)

.

1)

.

. | .:

.


139

|

= = 2, = n n. n; xn +1 2 ; x21 2 =2, =3, = 3

2

= xn : . . .

12i 3(x5 ; x)2 +(x4 ; 2i 3x2 +1)3 =(x4 +2i 3x2 +1)3: =2, =3, = 4 (x12 ; 33x8 ; 33x4 +1)2 +108(x5 ; x)4 =(x8 +14x4 +1)3: = 2, = 3, = 5 T 2 + h3 =1728f 5, T = x30 +1 +522(x25 ; x5) ; 10005(x20 + x10) H = ;(x20 + 1) + 228(x15 ; x5 ) ; 494x10 f = x(x10 +11x5 ; 1): 3 , , . 2z 2 = n(n +1) |
n

p

p

p

,

, ,
x +y = z

xn + y n = z

. .
z

,

n

x y z|

.

|
x = n(n

x2 + y 3 = z

4

,

,

; 1)=2 y = n z2 = n(n +1)=2:
.

(2n +1)2 ; 2(2z )2 =1: { , . , n=8 x = 28 y = 8 z = 6 : . x2 + y 4 = z 6 . , . x =37 59 7 298 y =2 33 55 294 z =32 53 293:


140

..
| , , | , . , , . , . id (
n
def {z

fg

fg f g(x) def f (g(x)): =
id(x) x).

:

,

-

,

,

f =| f f ;1

f, . . n,.. = f (g h). , g (x)= x2,

, f ;1 f = f f ;1 = id ( 1 , f ;n def f ;1 {z f ;}, f 0 def id. =| =
n

n.

n

f }

,

). f (x)

(f g ) h = f g g f, . , f (x) = x +1, f (g(x)) = x2 +1, g (f (x)) = x2 +2x +1.

f (x)n.

f, g h

f g=g f
.

(1) .

fg


141

, ) ) ) ) )

f f f f f

(x)= (x)= (x)= (x)= (x)=

h

g (x) x + a, g (x)= x + b ax, g (x)= bx x , g(x)= x hm(x), g(x)= hn (x)
, ,

:

f

g ab
) . , ,

ab h
( 2, 3, 4], . -

m n.

x2 ; 2 x3 ; 3x.
.

. 2]

1]. . , . . 1977 | , | . .
,

XI ,

x Q(P (x))
) ) ) , ,

PQ
).

, (..

1.

P (Q(x))

-

P| P.
2.

2, k | 4 8,

Q P (x)= x

2;

.

.

k,

-


142

..
) ) .

P
,

Q

2.

R

,

-

P2 P3 P4 ::: Pk ::: ,
1979 .. ) 5]. .

Pk |

k, P2 (x)= x2 ; 2.
. , ( : ,

(

,

), 2.

x

2;

?

,

.
.

P
( , .. , .. 4, 6 . 7, . , . , 7 9, . . . .. . , . . , , , 1979 , ) .. , .

.

, 8| -

x2

;


143

.
,

, . ,

:

, . | | . . ( , , . | . , .
1.

, .

,

, .

, -

)

x3 + .

,

.

, .

, -

H (x) = ax + b (a 6= 0) |
, , ,

H

;1 (x) = 1 x ; b . (

, .)

|

a

a

H P

. PH = H P H ;1 . P H.

,

-


144

..
, , . . , : -

1. P = Pid 2. Q = PH , P = QH ; 3. Q = PH1 ,a R = QH2 , , . ,|
1.

1

R = PH
, .

2

H

1

. .

,

, |
,

P

Q

.
.

P

H

Q

,

H

H|

(H P =H P = , ,

H ;1 ) (H Q H ;1)= (H ;1 H ) Q H ;1 = H P Q H ;1 = H Q P H ;1 = H Q (H ;1 H ) P H ;1 =(H Q H ;1) (H P H ;1 ):
1 , . ,
1.

P

, , .

P,
, .

-

n>2
(n ; 1).

-


145

.

H (x)= ax + b.

P (x)= Axn + Bxn;1 + ::: n ; 1,

! 1 x ; b n + B 1 x ; b n;1 + ::: + b = PH (x) = a A a a aa

A = an;1 xn +
,

; n;1 a

nAb + B xn;1 + ::: an;2 a.
, ,

an;1 = A, aB b = nA .
|
.

b,

,-

n
1
;1.

,

.

n

|

x
2.

2;

.

,

3 = 4 b2

;

ax2 + bx + c 1 b ; ac. 2
-

2.

P
.

2.

Q
2;

n,
1 1,

P (x)= x . Q(x)= a0 xn + a1xn;1 + + an;1 x + an a0 6=0: P Q( 2n P Q(x)= b0x2n + b1x2n;1 + b2 x2n;2 + + b2n;1 x + b2

)
n


146

..
Q P (x)= c0 x2n + c1x2n;1 + c2 x2n;2 + bi ci P Q.
+ c2n;1 x + c2n

a

a0 = 1.
.

. . ,

,

: b0 = a2 , c0 = a0 . 0
i

.

, -

i

a2 = a0, 0 Q
. 0
a

ai ak ,

i < k.
,

,

i< k ak bk c
k

bk = ak a0 + ::: ,
, 06i6n . .

a

i 6 k=2] ( bk = ck
,

, i< k) ,

-

i

ai (i< k).

P.
1.

a0, a1 , ::: , an . bi = ci n +1 6 i 6 2n, Q n, P|
.

bi = c

i

-

2k , 2.
n

k P. P

2.
k

.
2.

,

,

-

x (n =1 2 :: : ) x.
2

,
.

. ,

x2 , | x
n

,

. 2 . , ,

x2

,

,

P|

Q.


147

3.

a,
.

P| Q m;1

P.

n
.

m > 2.

-

Q

P (x)= A0xm + A1xm;1 + Q(x)= a0 xn + a1 xn;1 +
m A0a0 = a0An , 0 m;1

+ Am;1 x + Am + an;1 x + an : ,a

am;1 = An;1 , 0 0 A
i

P Q Q R,
0

.

ak (1 6 k 6 n) P (x) P Q Q P. P Q(x) ak xmn;

6 i< k)
Q P (x)

Q(x) ai (0 6
k

(mn ; k)-

ai
)

xmn;k
4.

i > k), ai i > k. P| ,Q|

(
(

,

) deg P =2 ) )

:

. (-

.
.

Q Q
, ) . 2 3,
(

).

Q

(
3.

-

,
5.

,

,

.

,

P,

QR QR

P.


148

..
.

(Q R) P = = Q (R P )= Q (P R)= (Q P ) R =(P Q) R = = P (Q R):

P RQ
,
.

6. .

,

QR
5 , . , . , , . ,

.

-

P.

QR

2

x3 , P

x

2

;

x

,

,
4.

P, Q R
.

,..

-

,

f (;x)= ;f (x).
,

f (x) f (;x) = f (x)
, .

, ,

, ,

,

x
-

-

xQ(x2).
,
2.

.

, ,
,
.

Q(x2),

Q|
.

-

.

. .

,

,

,

.

-


149

P (x)= x

2;

7.

, .

Q(x),

,

.

-

P (x)

,

-

P (Q(;x)) = P Q(;x)= Q P (;x)= Q P (x)= P Q(x)= P (Q(x)):
= x2 .

P (x1 )= P (x2 ) x2 1 x1 = Q(;x), x2 = Q(x), x

Q(;x) = ;Q(x). Q(x) Q(x)
.
8.

,
2;

, x1 = Q(;x) = Q(x). x. , Q(;x) = Q(x), 2, x, Q(;x) Q(x), , Q(;x) ;Q(x),
; ;

= x2 2

P.
,

P (x)= x . Q = Q0 P , Q0 |
.

Q|

Q n,
7

2n,

-

,

Q(x)= Q0 (P (x)), Q0 (x)

x. Q0 | P (x).
2

,

Q(x) n. y = P (x).

P Q0(y)= P Q0 P (x)= P Q(x)= Q P (x)= Q0 P P (x)= Q0 P (y ): P Q0 Q0 P
. ,

P (x),
,

, , .

2, -


150

..
5. .

Pn (x)

9.

n

, .

n

Pn (t + t;1 )= tn + t;n : Pn (x)(n =1 2 :: : ) P1(x) = x P2 (x) = x2 ; 2 Pn(x) t n = k +1. P
m k
+1

n.

.

,

n 6 k.

.

n=1 2
,

,

+ t;(k ,

+1)

=(t + t;1 )(tk + t;k ) ; (tk;1 + t;(k;1) )

,

Pk+1(x)= xPk (x) ; Pk;1 (x) P
n

x = t + t;1.
,
.

. = Pn (tm + t;m )= Pn Pm (x): . ,

Pn (x)= Pm(tn + t;n )= tmn + t;
2,

mn

Pm P Pn(x)
.

n

P

n

Pm

t + t;1 ,
9.

,

x P
n

2;

2, -

x Tn ,

2;

2

. .

,

.

2,

n
cos nx = Tn (cos x):

(2) . . (2) -

,


151

:

2; 3;

T1(x) = x T2(x) = 2x T3(x) = 3x Pn
, 2x. | ,|

1 4x: ,

n,

ix ;ix cos x = e + e : 2

P

0 Pn (t ; t;1 )= t

0 n

0 Tn ,

P

n

Tn,

n ; t;n

P

n

T

n

,

0 sin nx = Tn (sin x):

H (x) = ix n
, , .

. .

,

. , 1,2, (xn xm) -

3, 4]

P
, . 8.
6.

(P n P m ) n m, ,

n m,

|

,

.

-


152

..
, , . , . . | -

P. Q
= Q( ).

P (x)= x
10.

P.

P.

Q( ) |

P,
-

. P (Q( )) = P

Q( ) = Q P ( ) = Q(P ( )) =

P (x),

x0 x
. .
.
11.
n
+1

, = P (xn )(n =1 2 :: : ) , |
|

(3) -

P (x) = x
. Q(x) | 7

2;

,

P (x).
,

.

,

,

Q(x)
10

, , ,

-

Q(x).
, .
3.

(3) ,

.

x0 = 0

Q(x) ; x Q(x) x.
-

(

.

,

),


153

.

,

,

-

.
12.

x
(

2;

) <0 ) j j > 2, 6=2 ) 0 < < 1.

,

)|

)

) ):

xn ,
a) =0 <
jxn j, ;

.

x0 =0, x
3.

n+1

= x2 n

;

. .

= x1 .

)

xn 0 6 xk;1 jxn j

xk ,

k

, x0 =
+1

. , , -

> 2.
|
jj

.
= 2. j j,

. .

,

|

j ; 1j

>

j j;

1 > 1.

.

j 2; j

>

jj

,
jxk+1 j

,

jxk j

)

> jxk j.
| ,

> j j. jxk j2 ;jxk j > j j jx , jx2 ; j > jxk j, k

> jx1j. (xk > xk;1 ) jxk j; 1 > 1.

jx2 j

j ; 1j

> 1.

-

2 j; j j k

> jxk j.
. -

x

n

x

n+2

>xn (

n) (n = 0). 0 6 6 1.

.

xn+2 ,

n)
0

.

x

2;

xn 6 0


154

..
> xk xk xk+3 >xk+1.
.
+3

x

k

+2

< xk+1 ,
|

,

x

k

+2

,

k

13.

xn , x1 (

.

. . .

,, , (3) x0 = 0, , , , ). ), ,

, -

,
,

x2
(
14. .

;

x

2;

1.

,

Q(x) | P (x)= x2 ; 1. Q(x)= P (x)
. (4)

Q(P ( )) = P (Q( )) = P (P ( ))
, =1 2 5| P ).
jx0j p

P ( )|

P. x
2;

.

,|

.

'1 2 =
. ) > 0: -

x;1 (
(3)

>'1, , xn+1 = P (xn ) > jxn j,
;jxn j

P (xn ) P.

= x2 n

;jxn j;

1=(jxn

j; '1)(jxn j; '2

,

'1 ,


155 jx0j

<'1.
;

x0 < 0,

x

n

,

0
1 0], , , xn+1 = P (xn ) 2; n

), ,

(

.

'2
P (xn ) ; xn = x
, ,

x

n;

1=(xn ; '1 )(xn ; '2 ) < 0: 0 '1). (3), ;

{

xn

xk
( ,

.

P (x)= x,
,

'2,

1 0]

x

n

k- )

.

, xn+2 = P 2 (xn ).

-

P 2 (x) ; x =(x + 1)(x ; '2)x(x ; '1) ;1 < x < '2 P 2 (x) > x ;1 < x < '2. P 2 (x) < x xn 2 ;1 '2], xn+2 2 ;1 '2] xn+2 xn . P , 0 ;1, , 0 (4)). xn | , 'i (i = 1 2). xn;1 = ;'i , P (x)= ' , x = '. P ('i ) = Q('i) P (;'i ) = Q(;'i) , P| ,Q| , P ('i) 6=0. '1 '2 | (4). 4 (4) , '1 '2 . , . '1
, (4)

'2 (

,

, ,|

x

2

x

2;

2.


156

..
7.

x3 + . (
).
15.

x3 + x + .) P (x) = x3 + ( | P (x) x, Q(x)
( 7 3 ) ,

,

,
-

P n (x).

P (x)
. x2Q0(x3). | .

.

-

, Q(x)

Q0(x3), xQ0(x3 ) x.

P ( x)= P (x)
,

P (Q( x)) = Q(P ( x)) = Q(P (x)) = P (Q(x)) Q( x)3 = Q(x)3,
0= Q(x)
3;

Q( x)3 =(Q( x) ; Q(x))(Q( x)
:

;

Q(x))(Q( x)

;2

Q(x)):
(5) (6) (7)

Q( x)= Q(x) Q( x)= Q(x) Q( x)= 2 Q(x): x, x. Q(x)

-

Q(x)= Q0(x3)+ xQ1(x3)+ x2Q2 (x3): Q( x)= Q0 (x3)+ xQ1 (x3)+ 2x2 Q2 (x3): Q( x) = Q(x), Q1 = Q Q( x)= Q(x), Q0 = Q
3
1

3.

Q(x) Q(x)
,

2 2

Q0 = Q
3

,

1. 0

Q(x)

,

0, , Q( x)= x2Q(x) 2.

0, ,

-


157

Q

,

3n, n,

8,

P,

,

P.
,

Q0 P ,

Q0 |
, , -

-

P.
( , ), n. 3

n,
, ( 3

3k n, .

P

3 , P n (x)| , P, P. . 3,

Q|
,

, ), , ,

10

P
,
,

Q(x)= x. x0 = 0 (
, 3

,

xn , <0
.
16. .

P

. -

> 0).

(3)

P. n =1 2 :: : ). x.
3

xn (

x3 , |
. . -

,

3,

x

3

8.
;1

,

(x +1)F (x)

4. )

2;

1
.

F

(

n > 1, (x +1)F (x)

. F (x)= axn + bxn;1 + ::: (a 6= 0) | .

n

,

-

-

2;

1= a2 x2n+1 +(2ab + a2 )xn + :::


158

..
, b 6=0. 2n, :

a = ;2b,

F

F (x)= U (x2 )+ xV (x2 ) U (t)2 +2tU (t)V (t)+ tV (t)2 =1
( (8)

U (t) u0, V ( t) | v0. n , u0 = a, v0 = b, , u0 = ;2v0 deg U = deg V +1 = n=2 , u0 = b, v0 = a, , v0 = ;2u0 deg U =deg V =(n ; 1) , (U V ) | (8), (U + 2tV ;2U +(1 ; 4t)V ) ((1 ; 4t)U ; 2tV 2U + V )
. , , .
+

t = x2 ).

=2.
| -

n

;

.

,

,

+

( ), + . , u0 = ;2v0 deg U = deg V +1 , deg(U +2tV ) < deg U deg(;2U +(1 ; 4t)V ) 6 deg V . , , . ; ( n > 2) 2. , , . F| ; ( , , ). (F ) | ; . deg F = deg 2. ,
+ +

.

( ; (F )) < deg

+

(F ) < deg F: , ,
;(

2 ,

;
+

(

F
,

.

).

2 -

F,

+


159

F
|

, 1

), , (2t ; 1).
17.

. ,
(

, , .
;

-

1.
) ,

=0
6

2

P (x)= x2

;

.
.

-

P (x). Q0(x) |

7 Q(x)= xQ0 (x2)

Q(x) | n

,

2n +1 (n > 1), 1.

x2Q0(x2)2 = P (x)Q0(P (x)2)+ :
= (y + 1). ,
6

= 0, (y +1)Q F (y )= Q
0( 0(

y = P (x) ,

x2 =

F

n,
9.
n

. (y +1)F (y )2 = yG(y 2)+ 1: Q(x) Pn(x), (9) , = 2.

y + )2 = yQ0 (( y )2)+ 1: y + ) G(y)= Q0( y ).
n

(9)

4,
n

2n

.

= 2. , 12 ) |

F,

F Q(x)
; ;

x2 ; 2, F-

-

jj

1. . 2, , , 9

x2

.

8 17,

2,

-


160

..
.

P (x), . xn , . Pn(x), . P n (x)
.
9.

P (x)= x2
=0

;

.

(n | 9,

,

):

.

=2 -

,

1

1,

,

y 2 = x3 + px + q.
. 1.

.

G,

p =1, q = 0

. -

" "" " "" B" "" " "" "" A
. 1.
G.
)

6

C0 " "

" -

C G A G B ).
.

( (

(

) ,

A G

B

A, B

C

0.

y = kx + b.

y 2 = x3 + px + q y = kx + b:


161

(

,

,

y
) |

C 0. C
0

B A.
5.

C, AB A
.

. ,

x. A B. C0 A
.

-

G

. -

G
6,7]. , 5 ,

-

, = xnA ( ).

A xnA
18.

nA = A + A + + A. | {z }
n

x

A

F F

n

A nA

Fn (xA )=
-

-

.

n

.

x = xA F
m

.

A 2 G.

F

i n

-

Fn (x)= Fm (xnA )= xmnA = Fn(xmA )= F
,

Fm (x):
n

n.

k1(x) |

.

x

A

xnA , dy dx

k

,

,

F1 = id |
,

xA .

,

G.

3 0 2+ k1(x)= (x +ypx 0+ q ) = 3x2y p ( 2)

(3 2 )2 2 k1 (x)= 4(x3x+ + p+ q) : px


162

.. .

2 Fn(x) kn (x) x. A, nA ;(n +1)A y = kn(xA)x + b, , xA, xnA = Fn(xA ) x;(n+1)A = x(n+1)A = Fn+1 (xA ) (kn (xA )x + b)2 = x3 + px + q . Fn+1 (x)= xA + Fn (xA)+ Fn+1 (xA )= kn(xA )2. 2 ; F (x) ; x. 2 = kn (x) Fn (x) kn (x) n , Fn+1 (x)| . A, nA ;(n +1)A kn(xA),

yA ; ynA = kn(xA )(xA ; xnA ) yA + y(n+1)A = kn(xA)(xA ; x(n+1)A): k
n+1 (xA

,

),

A (n +1)A
= kn+1 (xA )(xA ; x(n+1)A ): ,
2

-

y y k

A ; y(n+1)A

2 2 A ; y(n

+1)A

= kn (xA )kn+1 (xA )(xA ; x(n+1)A )

n

+1

(xA ) = (x (x = = (x

2 2 A ; y(n+1)A = A ; x(n+1)A )2kn (xA ) 3 + px + q ) ; (x3 A A (n+1)A + px(n+1)A (xA ; x(n+1)A )2kn (xA ) 2 +x x A (n+1)A + x2n+1)A + p) A ( : (xA ; x(n+1)A )kn (xA )

y

+ q)

=

,

2 2 +1 x kn+1 (x)= x + xFn+1 (x)+xFnk ((x)) + p : (x ; Fn+1 ( )) n

kn(x)2 ( Fn (x)

kn+1 (x)2.

)

Fn+1 (x) (

,

)

-

n.


163

1] Ritt J. Prime and Composite Polynomials // Trans. AMS. V. 23. 1922. P. 51{66. 2] Dorey F., Whaples G. Prime and Composite Polynomials // J. Algebra. V. 28. 1972. P. 88{101. 3] Engstrom H. T. Polynomial substitutions // Amer. J. Math. V. 63. 1941. P. 249{255. 4] Levi H. Composite Polynomials with coe tients in an arbitrary eld of characteristic zero // Amer. J. Math. V. 64. 1942. P. 389{400. 5] . // . 4. 1979. . 19{ 23. 6] . ., .. . . .: . 1993. 7] . . .: . 1991.


..
1.

| , , , , . , . | , .

,

. , , , | .

| , | . .

,

, -

.

.

. , . , , .

. . ,


165

.

, . .

,

, .

| ,

, , . , , . ) | , : . | . . . , , . , . , . , , , | , , . . ,,

. . , , . . , , -

( . .

,


166

..
, , . 6{7 , . : . . . , . .), . , , , | . , . , , . , , . . , | . , . , , . , ( , . , , . ( ( ) | 4{5 ). , . . , -

,


167

,

.

, ,

, ,

, .

, . | .

-

. , , , .. .

, , , . . | . , , ( . . , ). . . . , . , .

.

-

.

, . , . , . .

.

, .


168

..
2.

. . . | , . . . , | , . , , , .

.

, | . , | . , ,

,

, . ( -

, , , , , | ). , . . , ,

. | , .

| . . ). . , , (17- ) . , , , , ,

, , ,

,

|

(

, -

, ,

,

.


169 1. ( , , , , , , ?( . ) ,

.

.

).

17,
2. )

.
(

, .
, : ). ( .

). .
? ) ).

.

-

?(

,

,
3. , , ,

.
, .

|

8{9
6

).

(

17-

-

, | . .

. ,

, , ) -

, ?( .

, .

.
. | , ,

|

10{11 . | ,

). ,

(

17,

|

, ),

, ).

: , | ,

( , (

-

|

.


170

..
, , . -

, .
4. ( .

|

.

,

.

,

.
. , , , ). | , . ) , , -

8{9 ,

). .

(14. , ,
3.5 , 5

.

, ?( .

, ,

,

, , , ,

, . . . . , , | ,

, ?
5.

.

.

.
(
6. ? ,

5

.

/?

,

.

, 7{8 , ).
-

.
,

(

, ).

-


171

3.

. . , | , . | . ( ( 100 200 , 800 , . . , | , , ( , , , , . , , . , , . .

|

., , . , . , , | , ? , ). 300 ,

.

. . , , , . -

, , , ) ):

.

.

.

. . , -

, .


172

..
. , . ( ). | , , , , . , , . . . ... . , , . . , . . , , , , , . . , . , -

, ,

) .

. ,

,

(

. . , . . ,


173

, , .

,

, .

-

. | . | . . , , | | , . , , , ( , , , ), . , . , . , . , | ,

-

, , 1980 .

. , ... , . . , , -


174

..
, . . . , , , , . . , WFNMC (World Fed50 + 3N ). 65 -

eration of Nation Mathematics Competipions) 1992 . (N = max(5 =100000), | , 500 . . , ( :
121002, " ,. "

).

,

., 11, .211,


..

(

)

..

(

)

(8-th International Congress on Mathematical Education, ICME-8) 14 21 1996 , . , , (National Committee .

, ,

Gonzalo Sanchez Vazquez) (Lo al Organizing Committee : Antonio Perez Jimenez) (International Program Committee Claudi Alsina). (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI Miguel de Guzman) . | -


176

..

,..

(International Mathemati al Union, IMU), cians, ICM). ( 1897 1969 , : ICME ICME ICME ICME ICME ICME , . . . , . , , , ) . , ( , , , . ( )| , ,

(International Congress of Mathemati100 1998 ),

1966 .

. -

. . . . . .

2 3 4 5 6 7

(1972 (1976 (1980 (1984 (1988 (1992

.) .) .) .) .) .)

| | | | | |

( ( ( ( ( ( ). , , ) ) ) )

)

, , -

,

-

,

|


ICME-8

177

. ) , | . . .

, , ,

(

ICM ICME | |

. , . -

,

, , ,

,

, , , , .

, , | , | , , , 14

, , ,

. ICME-8. . | |

,

-


178

..

,..

. , ( ICME-8 90 600 3000 , . , , : . ), , . , , , , , .( ,

, ICMI 4000 . . .

, -

| , .) , , . ( ). | .( 26 ,

-

, ? ,

, 13

4

ICME-8

, .) 1988 (

... ! ICME-8 (plenary lectures),

)

50 4

:


ICME-8
. . . .

179

. Sierpinska ( M. de Guzman ( D. Tall ( J. de Lange ( . , ,

? ), ),

-

ICMI), ICMI),

-

:

, | . .( , 56 , , . , ,

.) 1 , ): -

(regular lectures). ( P. Broman ( C. Kieran ( Th. Cooney ( J. L. Vicente ( Nguyen Dinh Tri ( Zonghu Qiu ( G. Vergnaud ( : ), ),

. . . . . . .

), ), ), ), ),

| -


180 . . . . . . .

..

,..

P. Bender ( D. Moore ( G. Howson ( O. Skovsmose ( J. Dalmaso ( , A. Thompson ( L. Arboleda ( . , ), , . , ),

), : ), ), ), ), ), , . . , | , ? | . , , ( ) ? , , , , , ( | : , | , -

-

! ,

,

(


ICME-8

181

ICME-6). , . , , :
.

... , (

. -

, , ( , , ICME-8 , .

),

, , ).

, .

: . -

(!)

.

(

), , .

:

,

,

,

,

, , . . 200 ( -

, , , , .

,

.

, , ) 26

,

1{1,5{2 , , , ,

,

(working groups) 26

(topic


182

..

,..

groups). . , , , ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

,

,

-

.

. ICME-8: . .

,

-

.

.

.

. . .

.

.

. .

. .

.

,

. .

.

.

.


ICME-8
. . . . .

183

, .

,

. . . . ), , . . . . . . . : , . . . ? -

, ( .
. . . . . . . . . . . . . . . . .

,

|

,

ICME-8:

, . . , .

. . .


184 . . . . . . . . .

..

,..

. . . . , . . . . . , . . , , , (advisory panel). , , , . , , , , . , . ? , ICMI (chief organizer) , , , , 15{30 . , , . -


ICME-8

185

. . . of National Mathematics Competitions, WFNMC) ( : ). , , ,

(World Federation , , ICMI , , . (videos) -

,

,

,

.

, , |

,
.

(posters), (software). ,

: (pro jects reports) , (meetings) ( , .) (study groups)

.

. .

(round tables) (studies) ICMI (


186

..

,..

, ?
.

, -

.)

. , ICMI, , WFNMC ( R. Dunkey, ), (International Organization of Women and Mathematics Education, IOWME), (Ada Byron Society) . : (International Council for Computer Algebra in Mathematics Education, IC-CAME) (European Association of Researchers in Mathematics Education, ERCME). (national presentation) | , , | ( , ). , (exhibition). , . , , , ( ), , , . , , . , . ICME-8 685 stracts of short presentations) , 64 .( (ab-

,

(

(workshops) .).

,


ICME-8

187

, { 78 { 5). .

, { 68

, 15 ,

, { 33

, , { 23 (

. .) : { 10 -

), . ), . ( ) , , ,| . , , , , ., , . ICME-8 | ), . . , ICME-8: ( ), . (

.

. ( (

(

), .

.

,

.

, ,

, | |

, ,

-

Internet. , -


188

..

,..

, 1. , . , , 2. , , , . . 3. . . | , , , , . , XXI . , , . , , . . , : , , , , , . | ,

-

.. . -


ICME-8

189

4. , , , ,

.

, , , . , ,

-

.

5. ,

,

, . ,

. , , . , ? (

, .

, 6. , , . ?)

|

, .

, ,

| , ,

,


190

..

,..

7. ( , . 8. , : ,

,

.

, . .), , ) | , | , , . . ( ( , , . , , . . | , . -

.), , | , ? ,

,

,

.

9. , ,

-

. 10. , -

,

| .

.

-


ICME-8

191

3. . , . ,

4,

, 1 ,

,

1 , 7

.

, , 1994 ,

, 1996 11 -

. ), . , ( ( . , . ( ). . , 9, , , de Sevilla . ) ( ,

I

. . , )7 , . , Diario -

.

2000

-


(

, | , , , .

!) , , .

. .. . , . ,

-

-

. ,| , ( , 1, 3 6) 4 ,.

, . . , . . .. . , , . , , 5| . , , ,

, ., .

).

.

.

. 8

2, 6 ), 9. 10. .. -

.

..

7


193

1*. 2*.

1000 , N. ,
p

? N a sin(k =n) a| , 2N , -

3.

k n|
4.

1997?

BC ,

AK

ABC . K | BC . , ). ,
A

, 4 AB C ( .

B

K

C


194

5.

? ) P (X ). P = Q=T , Q T | . )* P| . Q
7. 6.

. . X> 0: P (X ) > 0. ,| 2=. 0 1],
Z1 ;
0

,

-

f (0) = f (1) = 0

f 0(t) 2 dt 6 1: , , -

y = f (x). ) )
9. 8.

? . , .
10.

, A, B 1 ?A xn + yn
j j j

P
j

P

? , ) .

j

1 Axn + Byn AB
j

. .

,

, (

|